數(shù)學問題提出與問題解決研究的新進展

姚一玲 賈隨軍

【摘? ?要】提出問題和解決問題一直以來都是數(shù)學教育的重要目標。關(guān)于問題解決的研究已有較長歷史，但關(guān)于問題提出的研究卻相對缺乏。近年來問題提出越來越受到數(shù)學教育工作者的廣泛關(guān)注。以在上海舉辦的第14屆國際數(shù)學教育大會（ICME-14）中“問題提出與問題解決”小組的研究為基礎(chǔ)，從“教學資源和要素”“教學模式與教師準備”“學生的認知過程”以及“如何運用技術(shù)開展教學”四個方面進行簡要介紹，為讀者梳理“問題提出與問題解決”國際研究的進展與趨勢。

【關(guān)鍵詞】問題提出;問題解決;ICME-14;綜述

提出問題和解決問題一直以來都是數(shù)學教育的重要目標。問題解決在數(shù)學教育領(lǐng)域備受關(guān)注已經(jīng)超過半個世紀，有了很多相關(guān)的研究成果。然而，對各年齡階段的學習者來說，解決問題依然有很多困難和挑戰(zhàn)[1]。已有研究表明，教師很難如課程目標要求的那樣，將問題解決很好地融入自己的課堂教學中，這主要是由于教師在教學過程中擔心產(chǎn)生不可預(yù)測的結(jié)果。因此，教師依然需要加強問題解決的教學實踐，從而推動自己的專業(yè)發(fā)展。

雖然問題提出與問題解決同樣重要，但數(shù)學教育領(lǐng)域真正開始關(guān)注問題提出也僅有三十年左右的時間。盡管波利亞的解決問題步驟中的“回溯”需要問題解決者提出問題，但直至20世紀80年代問題提出才受到更多研究者的關(guān)注。Kilpatrick（1987）指出，問題提出不僅僅是一種教學目標，還是一種教學方法或手段。但無論是何種功能的問題提出研究，都依然處于起步發(fā)展階段。

第14屆國際數(shù)學教育大會（ICME-14）設(shè)置了“問題提出與問題解決”主題研究小組（TSG17），以期在強調(diào)問題解決研究重要性的同時凸顯問題提出的教育價值。該小組提供的37篇文章中有12篇涉及問題解決，21篇涉及問題提出，4篇既涉及問題解決又涉及問題提出。由于該主題小組文章較多且內(nèi)容較細，無法將所有文章涉及的內(nèi)容都納入本文中，只能選擇較為重要的研究內(nèi)容和趨勢進行分類整理和綜述，以幫助讀者了解目前該領(lǐng)域的國際研究進展與趨勢。由于個別文章會涉及多個主題，同一篇文章有可能在多個主題中討論。此外，有3～5篇文章或因會議論文較短很難凸顯研究主題與研究結(jié)果，或因作者未做會議報告，在本文中沒有涉及。

一、問題提出、問題解決的教材文本分析及使用

王嶸和王翠橋從歷史發(fā)展的角度分別對人教版三個系列的初中（1992、2005、2012年）和高中（1996、2007、2019年）數(shù)學教材中問題提出任務(wù)的數(shù)量、類型、內(nèi)容領(lǐng)域、習題等進行比較分析。研究發(fā)現(xiàn)，兩學段教材在問題提出任務(wù)的設(shè)計和呈現(xiàn)上基本一致：2000年后問題提出任務(wù)開始增多，但相較于問題解決任務(wù)來說，依然較少;內(nèi)容領(lǐng)域分布不均衡，主要涉及數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域;年級分布不均，年級越高，問題提出任務(wù)越少;問題提出任務(wù)要求學生不僅達到對知識的“知道與理解”，更要突出“抽象與一般化”“探究與發(fā)現(xiàn)”以及“歸納與反思”的思維過程。類似的，Yan等人基于Cai和Jiang提出的問題提出任務(wù)類別，比較了人教版和北師大版兩個系列（1990年和2000年）的初中和小學數(shù)學教科書中的問題提出任務(wù)。[2]比較結(jié)果顯示：雖然問題提出任務(wù)在兩個版本教材中占比普遍較低，但有增加的趨勢;年級分布不均，內(nèi)容領(lǐng)域大部分只涉及數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，且結(jié)構(gòu)化情境占比較大;小學教科書的問題提出任務(wù)更多要求學生基于給定信息和樣例提出額外問題，而初中教科書多要求學生提出一個與給定運算相匹配的問題。

為了考察教材中的問題解決任務(wù)對于教師課堂教學的影響，Maud分析了瑞士Geneva州數(shù)學教科書中有關(guān)推理的問題解決任務(wù)，同時以兩名教師為個案，評估他們對教科書中有關(guān)推理問題解決任務(wù)的選擇性使用。Maud發(fā)現(xiàn)，該州數(shù)學教科書中涉及的數(shù)學推理有實驗法、試誤法、窮舉法、例證法、邏輯推理和演繹推理等。其中，大部分屬于演繹推理。而兩位教師在實際教學過程中更加突出對學生邏輯推理和解題策略的培養(yǎng)。出現(xiàn)這一偏差的主要原因是，教科書或其他官方課程材料并未提供給教師明確的教學目標和實施策略，這使得教師只能依賴于自己的經(jīng)驗，并以容易達成的目標為導向，選擇教材中的問題提出任務(wù)。

雖然許多國家的課程標準呼吁在問題解決教學中要突出數(shù)學思想方法的滲透和應(yīng)用，并且要發(fā)揮問題提出的作用，但從以上研究可以發(fā)現(xiàn)，實際的數(shù)學教材、課堂教學與課程標準的要求之間存在一定的差距。教師很難根據(jù)課標的要求選擇教材中的問題解決任務(wù)，教師對教材中問題解決任務(wù)的選擇具有隨意性。此外，相較于問題解決任務(wù)，教材中的問題提出任務(wù)非常欠缺，且在類型、主題分布、年級分布等方面不均衡。[3]

二、問題提出、問題解決的教學方式與教師專業(yè)發(fā)展

Cai等人闡述了問題提出的10個研究領(lǐng)域，問題提出的教學方式以及教師在實施問題提出教學時所具備的知識與能力是其中的2個領(lǐng)域。[4]由此可見，研究問題提出的教學方式以及教師為此所具備的知識和能力是非常必要的。

（一）問題提出、問題解決的教學方式

為有效幫助教師和學生提出問題，Dickman設(shè)計了兩種問題提出的方法：反向提問和提出相似問題。反向提問法不同于常規(guī)的給定條件求解結(jié)論，而是在講解完問題解決方法后提供結(jié)果，讓學生補充條件。提出相似問題則類似于波利亞的問題解決方法之一，即讓學生改變已有問題中的部分條件，創(chuàng)建一個相似問題，之后解決該問題并解釋自己提出的問題與給定的問題之間的相似關(guān)系。該研究基于學生可能會遇到的困難，通過實際案例展示教師如何使用兩種方法開展問題提出與問題解決的教學。

Amado等人設(shè)計了一個關(guān)于馬桶年用水量的實際生活情境，引導學生從中提出數(shù)學問題，從而考察七年級學生問題提出與其在問題解決過程中提出假設(shè)的能力之間的關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，基于實際生活情境進行教學對發(fā)展學生問題提出能力有重要作用，且學生提出假設(shè)的能力與其問題提出能力之間有顯著關(guān)系。

Andrade綜合了維果茨基的社會文化理論、Paulo Freire的批判教育理論以及Lakatos的數(shù)學哲學理論，進而提出在探究性問題解決教學過程中需要依賴課堂環(huán)境，持續(xù)不斷地延伸問題，使學生能夠深入挖掘問題并運用多種方法解決問題，他更多地從宏觀領(lǐng)域提出探究性問題解決教學需要關(guān)注的要素。而Subramanian等人的研究更為具體，他們指出，盡管探究性問題解決教學備受重視，但目前幾乎沒有相應(yīng)的教學理論幫助教師開展這方面的課堂教學?；诖?，他們在現(xiàn)實數(shù)學教育框架下，設(shè)計了本土探究性問題解決教學框架。該框架包含七個要素：低門檻、高天花板的起點，陌生內(nèi)容，多策略，多方案解決，關(guān)鍵想法，關(guān)鍵點以及解決過程。

（二）問題提出與教師專業(yè)發(fā)展

教師的數(shù)學知識、教學知識等都對學生的學習結(jié)果有顯著影響。因此，考察數(shù)學教師的相關(guān)知識與能力也是本小組研究者們關(guān)注的重要內(nèi)容。姚一玲等人利用圖示及問題提出等手段考察職前數(shù)學教師對分數(shù)除法運算的概念性理解。研究發(fā)現(xiàn)，職前教師能夠提出一定的數(shù)學問題，但相較于畫圖，他們在問題提出時對概念性理解表現(xiàn)得更為突出。由此也表明問題提出作為一種評估手段，能夠更加準確地診斷出學習者的數(shù)學理解程度。類似的，?skendero?lu考察了31名土耳其小學數(shù)學教師在分數(shù)加法內(nèi)容上的問題提出能力。研究者提供了4個開放式問題提出任務(wù)，隨后對教師提出的問題進行分析。研究發(fā)現(xiàn)，教師在問題提出過程中存在三類困難：語言困難、概念困難、由教學習慣引起的困難。Beltran比較了在職和職前數(shù)學教師問題提出的表現(xiàn)差異，主要從問題的情境、內(nèi)容、類型、清晰程度以及準確性方面考察研究對象提出的文字問題。研究發(fā)現(xiàn)，職前教師提出的問題會基于更多種類的情境，但涉及的數(shù)學概念較為基礎(chǔ)。在職教師所提問題幾乎很少有情境，但會涉及更多數(shù)學內(nèi)容和過程。該研究也得出與前文研究相似的結(jié)論，即問題提出可以作為評價學習者數(shù)學內(nèi)容知識掌握情況的工具[5]。

為了探討問題提出策略是否會影響小學職前數(shù)學教師對分數(shù)概念的表征和理解，Vula和Berisha調(diào)查了101名塞爾維亞大二職前小學數(shù)學教師。調(diào)查結(jié)果顯示，問題提出活動會顯著影響職前教師對分數(shù)的表征和概念理解。同時也發(fā)現(xiàn)，職前教師在正確建構(gòu)分數(shù)概念方面存在困難。張丹等人則將問題提出作為教學手段，以工作坊的方式指導教師開展問題提出教學。通過一年的縱向跟蹤研究發(fā)現(xiàn)，接受問題提出教學的學生在問題解決、問題提出以及數(shù)學情感等方面均有顯著提升。然而，Lautert等人認為，要開展問題提出教學，教師首先要具備提出問題的能力，因此他們對39名教授1至9年級的巴西數(shù)學教師進行了調(diào)查研究。研究者讓教師提出8個關(guān)于乘法和除法的問題，隨后對教師提出的問題進行類型和數(shù)量兩個維度的分析。結(jié)果顯示，教師提出的問題類型較為單一，大部分是能夠一步解決的簡單問題。

三、問題提出、問題解決的認知過程與表現(xiàn)

問題提出與問題解決過程也是調(diào)動和發(fā)展學生認知的過程，因此，了解學習者在問題提出和問題解決中的認知過程和表現(xiàn)是非常重要的。在專題小組研究的項目中，共有12項研究涉及這一內(nèi)容，其中9項研究主要關(guān)注學習者在問題提出和問題解決中的認知過程或模式，其余3項研究主要考察學習者在完成問題提出和問題解決任務(wù)上的表現(xiàn)。

（一）問題提出與問題解決的認知過程

Wang和Walkington基于現(xiàn)實情境，考察了9名8～10歲學生在校外參與WalkSTEM俱樂部活動過程中的問題提出情況。該研究為學生提供了四個現(xiàn)實情境（回聲屋、餐廳、穹頂及大數(shù)屋），讓學生基于自己所看到的現(xiàn)實物體提出數(shù)學問題。研究發(fā)現(xiàn)，學生能夠在現(xiàn)實情境中提出超出自己知識水平的問題，同伴和教師的支持是影響學生問題提出的重要因素。

Hartmann等人在關(guān)注學生問題提出能力的同時考察學生解決自己提出的問題的能力。該研究為82名來自德國的9～10年級學生提供了6個現(xiàn)實情境，要求學生基于每一種情境提出一個問題，隨后解決自己提出的問題。研究者采用Mayring（2015）的方法分析學生提出的問題：是否數(shù)學問題、是否同一個問題、是否開放性問題、是否現(xiàn)實問題。結(jié)果表明，現(xiàn)實情境有助于學生提出數(shù)學問題并提升他們的數(shù)學建模能力。然而，學生更傾向于提出封閉性問題，這也是未來問題提出教學需要進一步關(guān)注的情況。

Huat以一個9年級學生作為案例，考察該學生在面臨一個幾何任務(wù)時的問題提出過程。該研究詳細描述和分析了學生在問題提出每一個階段的具體表現(xiàn)，從而為教師和研究者提供了了解學生問題提出認知過程和設(shè)計問題提出教學任務(wù)的具體實例。其中認知過程主要包括：關(guān)注性質(zhì)、關(guān)注問題結(jié)構(gòu)、檢查結(jié)果及回溯。

Ramírez建構(gòu)了一個問題提出的啟發(fā)式教學流程，該流程類似于學習者的認知過程，包括六個階段：選擇、分類、聯(lián)想、查找、口頭表達、轉(zhuǎn)換。盡管這一針對問題提出的啟發(fā)式教學流程與學生的認知過程很難區(qū)分，但它能夠具體地刻畫問題提出教學過程。

Baumanns和Rott指出，盡管目前有很多關(guān)于問題解決過程的模型，但問題提出卻缺乏類似的過程模型，因此他們在綜合已有研究基礎(chǔ)上構(gòu)建了問題提出五階段模型，包括分析、變化、一般化、問題解決和評價，具體如圖1所示。

Stéphane考察了學生在課堂上解決常規(guī)數(shù)學問題的認知過程。他對Rott等人（2021）提出的問題解決過程一維模型（圖2）進行改造，新增了監(jiān)控維度，從而形成能夠刻畫學生解決常規(guī)數(shù)學問題實際過程的二維模型（圖3）。此外，Bos和Lemmink設(shè)計了一個名為啟發(fā)樹的工具來激發(fā)學生解決問題的能力，該工具能夠幫助學生在遇到困難時將問題進行分解，從而一步一步地解決。

（二）學生問題提出和問題解決表現(xiàn)

Yan和Dong運用三個任務(wù)（無情境、半結(jié)構(gòu)化情境、結(jié)構(gòu)化情境）調(diào)查了我國新疆地區(qū)238名五年級學生的問題提出能力。研究者讓學生分別提出2個容易問題、2個中等難度問題以及2個較難問題，并采用創(chuàng)造性思維評價維度（創(chuàng)新性、靈活性、復雜性）評估學生所提出的問題。研究發(fā)現(xiàn)，女生問題提出能力高于男生，漢族學生能夠提出更多數(shù)學問題，維吾爾族學生和漢族學生提出問題的能力無顯著差異，學生提出問題能力與其數(shù)學成績存在顯著相關(guān)性。

Luo等人從國際比較視角，對比了我國內(nèi)蒙古地區(qū)58名學生和美國蒙大拿地區(qū)28名五年級學生在除法學習上的問題提出表現(xiàn)。該研究主要通過問題提出方式了解學生對除法運算意義的理解。研究發(fā)現(xiàn)，學生提出的大部分問題涉及分數(shù)的平均分思想或?qū)ξ矬w進行分組，其中涉及的情境主要以食物為主。中國學生所提問題涉及六類結(jié)構(gòu)（均分、包含除、等分除、部分—整體、比較、比率或速率），而美國學生僅提出涉及前兩類結(jié)構(gòu)的問題。

Yazgan等人考察了18個來自6、7、8三個年級的優(yōu)等生在“不同問題間策略轉(zhuǎn)換的靈活性”和“同一問題內(nèi)部策略轉(zhuǎn)變的靈活性”等方面的表現(xiàn)。研究發(fā)現(xiàn)，被試學生在“不同問題間策略轉(zhuǎn)換的靈活性”方面的表現(xiàn)較好，且整體而言，優(yōu)等生對問題解決策略使用的靈活性普遍較好。但該研究僅調(diào)查優(yōu)等生的表現(xiàn)，難以幫助讀者了解一般水平學生的表現(xiàn)，這也是未來需要進一步研究的方向。

四、技術(shù)手段對問題提出、問題解決教學的影響

關(guān)于技術(shù)在數(shù)學教育中的應(yīng)用已有很多學者進行了嘗試和研究。一系列研究表明，技術(shù)有助于學生在計算、建模及項目學習中轉(zhuǎn)換問題、解決問題、描述解決方案[6]。

Hernández等人考察了GeoGebra軟件對職前初中數(shù)學教師問題解決的影響。研究結(jié)果表明，職前數(shù)學教師在運用GeoGebra解決問題時表現(xiàn)出較高的創(chuàng)造力和推理能力，因為該工具的動態(tài)特性能夠為教師提供新的途徑來表征數(shù)學對象、轉(zhuǎn)換表征方式、形成猜想以及觀察和證明性質(zhì)。

教師在課堂上無法估計所有學生的問題，針對這一現(xiàn)狀，Pozdniakov等人考察了如何運用幾何軟件幫助學生自主解決空間幾何問題。該研究對波利亞的問題解決過程進行擴展，在其基礎(chǔ)上增加了考察問題所涉及的范圍、簡化問題、構(gòu)建子問題、改編原始問題等環(huán)節(jié)。研究者采用質(zhì)性研究方法，描述了學生在這一過程中遇到的問題，以及動態(tài)幾何軟件如何幫助學生解決問題或產(chǎn)生新的問題。研究表明，動態(tài)幾何軟件能夠為學生提供更多學習機會和更自由的學習環(huán)境，而且能夠在學生遇到困難時自動提供初步的反饋，幫助學生解決問題。

從以上研究可以發(fā)現(xiàn)，目前關(guān)于技術(shù)使用對學生數(shù)學學習的作用或影響還都僅限于問題解決領(lǐng)域，盡管Barana等人的研究提及運用計算機技術(shù)有助于學生提出新的數(shù)學問題，但整體而言，關(guān)于計算機技術(shù)對學生問題提出的作用的研究還比較缺乏。一方面由于問題提出研究還處于起步階段，另一方面由于技術(shù)在數(shù)學教育領(lǐng)域的應(yīng)用也還不夠深入。此外，主題小組有關(guān)計算機技術(shù)的相關(guān)研究都僅限于空間幾何領(lǐng)域，缺乏在其他數(shù)學領(lǐng)域的運用研究，這也是未來需要進一步研究的方向。

五、總結(jié)

ICME-14會議的“TSG17”主題研究小組聚焦于問題提出和問題解決，為我們了解該領(lǐng)域研究進展和教學狀況提供了非常重要且便捷的途徑。通過對這些研究進行梳理和介紹，可以提出未來亟須進一步研究的問題：（1）作為期望課程的課程標準和教材、教學之間依然存在差距，應(yīng)關(guān)注如何設(shè)計適合學生問題提出和問題解決的任務(wù)，如何以問題提出與問題解決為載體促進教師的專業(yè)發(fā)展;（2）對問題提出與思維發(fā)展之間的關(guān)系的研究尚淺，需關(guān)注如何運用問題提出發(fā)展學生的數(shù)學推理和數(shù)學思維等能力;（3）關(guān)于提出問題的認知過程與模式的研究不夠深入，需關(guān)注學習者提出數(shù)學問題的認知過程或模式是什么樣的;（4）信息技術(shù)輔助教學是未來發(fā)展的重要方向之一，需關(guān)注如何運用計算機等技術(shù)手段開展問題提出與問題解決教學。

參考文獻：

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（1.杭州師范大學經(jīng)亨頤教育學院? ?311121 2.浙江外國語學院? ?310023）