基于學(xué)習(xí)路徑分析的“平行四邊形和梯形”單元整體教學(xué)

白常平 章勤瓊 羅嬌嫦

【摘? ?要】對(duì)“平行四邊形和梯形”的認(rèn)識(shí)需要學(xué)生從邊的位置關(guān)系視角來認(rèn)識(shí)四邊形。本單元要實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)四邊形的研究從整體感知到元素分析、從直觀水平到描述水平的跨越?；趯W(xué)習(xí)路徑分析對(duì)單元教學(xué)進(jìn)行整體思考，確定單元的核心目標(biāo)有以下兩個(gè)，一是認(rèn)識(shí)平行，有從直觀上不會(huì)相交以及平行線之間距離相等這兩個(gè)不同水平;二是利用平行的位置關(guān)系認(rèn)識(shí)四邊形。根據(jù)對(duì)核心目標(biāo)的理解水平進(jìn)行劃分，確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)和學(xué)習(xí)路徑。在此基礎(chǔ)上，對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重新構(gòu)架并設(shè)計(jì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)與教學(xué)活動(dòng)。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑;單元整體教學(xué);平行;平行四邊形和梯形

目前，單元整體教學(xué)已經(jīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究需要重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容，針對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行分析，可以為單元整體教學(xué)提供切實(shí)可行的思考框架（如圖1）。[1]

小學(xué)第二學(xué)段對(duì)圖形認(rèn)識(shí)的要求是：對(duì)圖形自身特點(diǎn)的認(rèn)識(shí);對(duì)圖形元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。具體到四邊形，學(xué)生需要經(jīng)歷從整體直觀認(rèn)知到從邊、角等元素進(jìn)行分析的過程。對(duì)“平行四邊形和梯形”的認(rèn)識(shí)是學(xué)生第一次從邊的位置關(guān)系視角來認(rèn)識(shí)四邊形。那么，如何幫助學(xué)生建立對(duì)四邊形的研究，實(shí)現(xiàn)從整體感知到元素分析、從大小關(guān)系到位置關(guān)系、從圖形元素之間到圖形與圖形之間關(guān)系的跨越，達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)的理解呢？基于對(duì)學(xué)習(xí)路徑的分析，對(duì)“平行四邊形和梯形”單元進(jìn)行整體思考和把握。

一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）單元內(nèi)容概述

人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形和梯形”單元包括平行與垂直、平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)兩部分內(nèi)容，關(guān)注平行、垂直與平行四邊形、梯形之間的內(nèi)部邏輯關(guān)系。而北師大版教材則將這兩部分內(nèi)容安排在四上和四下分開教學(xué)，更關(guān)注從線與形的區(qū)別來認(rèn)識(shí)圖形。這兩個(gè)版本教材分別將目標(biāo)定位如下。

人教版：通過觀察、操作等活動(dòng)，使學(xué)生理解平行與垂直的概念;使學(xué)生經(jīng)歷動(dòng)手操作和自主探究的過程，掌握平行四邊形和梯形的特征;通過分類、比較、歸納等多種方式，理解平行四邊形、梯形、正方形、長方形之間的關(guān)系。

北師大版：（四上）結(jié)合生活情境，認(rèn)識(shí)平面上兩條直線相交（垂直）和平行的位置關(guān)系。能借助三角尺、方格紙等工具或通過小實(shí)驗(yàn)、折紙等方法獲得已知直線的垂線或平行線，發(fā)展空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（四下）經(jīng)歷量、擺、拼等直觀操作活動(dòng)，認(rèn)識(shí)三角形、平行四邊形和梯形的特征，以及它們之間的聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。了解三角形、四邊形的分類情況。

通過對(duì)比得出，本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容和要求主要有三個(gè)：理解平行與垂直的概念;掌握平行四邊形和梯形的特征;梳理四邊形之間的關(guān)系。

（二）單元核心目標(biāo)

平行與垂直是兩條直線的特殊位置關(guān)系，是認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形的基礎(chǔ)。平行四邊形和梯形之間的區(qū)別和聯(lián)系，它們與其他四邊形之間的關(guān)系，都取決于邊的位置關(guān)系，其本質(zhì)特征是平行。同時(shí)，對(duì)平行概念的理解是幾何學(xué)習(xí)的開始，學(xué)好平行概念是為今后應(yīng)用平行來解決問題打基礎(chǔ)，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何推理、幾何證明等做鋪墊。[2]因此，建立平行概念是本單元學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。

此前，學(xué)生已經(jīng)積累了從邊和角的大小關(guān)系去認(rèn)識(shí)圖形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平行四邊形特征的研究是學(xué)生第一次從邊的位置關(guān)系（平行）去認(rèn)識(shí)四邊形。對(duì)學(xué)生而言，邊的位置關(guān)系比大小、長度的關(guān)系更為抽象。從邊的位置關(guān)系來描述四邊形在教學(xué)中顯得尤為重要，因?yàn)橛羞@個(gè)研究方法作為支撐，才有后面對(duì)梯形的研究，才能建立關(guān)鍵元素邊和角與圖形的聯(lián)結(jié)，掌握四邊形之間的關(guān)系。

因此，本單元的核心目標(biāo)是認(rèn)識(shí)平行和利用平行認(rèn)識(shí)四邊形。

（三）核心目標(biāo)具體化

1.認(rèn)識(shí)平行

“平行”的定義為：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫作平行線。平行概念具有直觀性，但不能僅憑直觀而確認(rèn)，對(duì)于“不相交”，學(xué)生很難判定，需要進(jìn)行相關(guān)的位置和度量分析。[3]也就是說，平行概念的建立需要將抽象的位置關(guān)系通過度量轉(zhuǎn)化為可測(cè)的具體表象：如果兩條直線間的垂直線段的長度處處相等，那么兩條直線平行;也可以從另一個(gè)角度看，如果兩條直線與第三條直線相交，形成的角度相等，這兩條直線平行，其中垂直于同一條直線的兩條直線互相平行是夾角相等的一種特殊情況。但利用角度對(duì)平行進(jìn)行分析在小學(xué)階段不作要求。

因此，認(rèn)識(shí)平行的內(nèi)涵具體為：不僅要在直觀上理解不相交，還要能調(diào)用垂線、垂直線段、長方形等概念，形成“兩條直線之間的距離相等”的判定依據(jù)和方法。

2.利用平行認(rèn)識(shí)四邊形

“利用平行認(rèn)識(shí)四邊形”的內(nèi)涵為：能關(guān)注四邊形中邊的位置關(guān)系，能利用不同的位置關(guān)系認(rèn)識(shí)圖形，并對(duì)圖形進(jìn)行分類。

對(duì)長方形的認(rèn)識(shí)，能在角和邊大小關(guān)系認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，利用垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)長方形的兩組對(duì)邊互相平行，繼而理解長方形是特殊的平行四邊形。在對(duì)平行四邊形的研究中，能關(guān)注四邊形邊的位置關(guān)系，能從平行的角度去認(rèn)識(shí)平行四邊形的本質(zhì)特征是兩組對(duì)邊分別平行，并能運(yùn)用特征進(jìn)行判斷。能遷移運(yùn)用研究平行四邊形的方法研究梯形的特征，能從平行的角度對(duì)平行四邊形和梯形進(jìn)行分類。能用角和邊兩個(gè)關(guān)鍵元素構(gòu)建四邊形之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)圖。

二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)

為了解學(xué)生對(duì)核心目標(biāo)的理解水平，對(duì)一所學(xué)校四年級(jí)兩個(gè)班的44名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)。根據(jù)目標(biāo)，設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)任務(wù)，制定評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，并結(jié)合調(diào)查數(shù)據(jù)對(duì)學(xué)生的理解水平進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

學(xué)生對(duì)“平行概念”的理解可以分成以下不同水平：水平0，不能正確判斷平行線，概念不清;水平1，能正確判斷最基本的平行線，不能說明理由;水平2，能正確判斷基本的平行線，能從直觀視角說明不相交;水平3，能正確判斷平行線，并能從等距視角說明不相交;水平4，能正確判斷平行線，并能從方向、角度上說明不相交。通過測(cè)試題（如圖2）對(duì)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)。

通過前測(cè)發(fā)現(xiàn)處于水平0的學(xué)生不理解平行的概念，不清楚平行是表示兩條直線的位置關(guān)系，認(rèn)為只要是平的線就是平行線而選擇了所有選項(xiàng)，還有學(xué)生將平行與垂直概念混淆而選擇了②和⑦。大多數(shù)學(xué)生能理解直線無限延長，能判斷最基本的平行線。學(xué)生對(duì)平行的理解大多處于直觀水平，只有12%的學(xué)生能從等距視角證明不相交。從角度上說明不相交，學(xué)生難以理解，因此沒有出現(xiàn)。對(duì)長方形和平行四邊形的判斷中，學(xué)生大多選擇長方形而非名字中含有平行的平行四邊形，這也正說明學(xué)生對(duì)于利用平行認(rèn)識(shí)圖形的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知欠缺。

基于學(xué)生對(duì)“利用平行認(rèn)識(shí)平行四邊形”的理解，可借助測(cè)試題“給出多種圖形讓學(xué)生判斷是否平行四邊形，并說明理由”進(jìn)行前測(cè)。

通過前測(cè)發(fā)現(xiàn)幾乎所有學(xué)生都能判斷最基本的平行四邊形，但能判斷出長方形和正方形也是平行四邊形的學(xué)生很少。這說明學(xué)生對(duì)平行四邊形的判斷多停留在最基礎(chǔ)的直觀水平。在寫判斷理由時(shí)，學(xué)生大多能關(guān)注邊和角的特征，但不能關(guān)注它們之間的關(guān)系。如很多學(xué)生能寫出“都有兩個(gè)銳角和兩個(gè)鈍角”等判斷方法，但只有15.9%的學(xué)生能從位置關(guān)系的角度來說明判斷理由。

因此，對(duì)平行的直觀判斷和利用邊和角的大小關(guān)系研究四邊形是學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn);對(duì)平行的描述分析和利用平行去認(rèn)識(shí)四邊形是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)。

三、分析學(xué)習(xí)路徑

基于以上分析，從整體教學(xué)來看，本單元教學(xué)應(yīng)分為兩個(gè)階段：一是認(rèn)識(shí)平行，二是利用平行認(rèn)識(shí)四邊形。利用平行認(rèn)識(shí)四邊形要求學(xué)生先建立平行概念，而整體認(rèn)識(shí)平行又要求以垂直作為基礎(chǔ)。因此，將單元學(xué)習(xí)路徑確定為：相交與垂直—認(rèn)識(shí)平行—平行四邊形的認(rèn)識(shí)—梯形的認(rèn)識(shí)—四邊形之間的關(guān)系。

之所以要先認(rèn)識(shí)相交與垂直，首先，是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)角度的理解比對(duì)平行關(guān)系的理解更為容易。在學(xué)習(xí)垂直之前，學(xué)生已經(jīng)有了相交、直角等前概念，有了畫直角的經(jīng)驗(yàn)，它們都與垂直聯(lián)系緊密，這為學(xué)生理解垂直概念奠定了基礎(chǔ)。其次，理解平行概念除了直觀感知，還要借助“平行線之間的距離處處相等”和“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”等概念，進(jìn)一步從方向、等距、角度等視角進(jìn)行度量分析，利用定義、性質(zhì)、判定等角度對(duì)平行概念進(jìn)行全面構(gòu)建，垂直是理解平行的基礎(chǔ)。需要注意的是，在垂直、距離等概念和畫圖技能建立后，學(xué)習(xí)平行的概念時(shí)還要教學(xué)畫平行線的內(nèi)容。畫平行線不僅是操作的技能，更是從等距視角深入理解平行的腳手架。畫平行線可以為后面畫長方形提供方法支撐，為平行四邊形和梯形的研究積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為幾何推理奠定基礎(chǔ)。[4]

平行概念建立后，通過教學(xué)畫長方形喚醒學(xué)生研究圖形特征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了從邊與角兩個(gè)維度去認(rèn)識(shí)圖形特征的過程，在這里再回顧對(duì)長（正）方形的認(rèn)識(shí)，主要是看邊與邊之間的長度關(guān)系，拓展“從邊的位置關(guān)系去認(rèn)識(shí)長方形”的內(nèi)容。

接著學(xué)習(xí)平行四邊形的特征，讓學(xué)生自覺關(guān)注從邊的位置關(guān)系去考慮圖形的特征，并且能利用本質(zhì)特征去判斷平行四邊形。在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)梯形特征，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用認(rèn)識(shí)平行四邊形特征的基本方法，即要認(rèn)識(shí)一個(gè)四邊形就要觀察、探索這個(gè)圖形邊的關(guān)系與角的關(guān)系，進(jìn)而認(rèn)識(shí)梯形的本質(zhì)屬性[5]，這也是對(duì)研究圖形方法的鞏固。

學(xué)生對(duì)于這幾種圖形的并列、從屬等關(guān)系的理解其實(shí)是非常困難的，因此在基本概念建立后再來學(xué)習(xí)圖形之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生真正建立起關(guān)鍵元素與圖形的聯(lián)結(jié)，經(jīng)歷從知識(shí)到方法再到數(shù)學(xué)思想的提升。

四、單元整體教學(xué)思考

基于以上的學(xué)習(xí)路徑，“平行四邊形和梯形”單元的教學(xué)可以進(jìn)行如下的重新架構(gòu)：相交與垂直—畫垂線—點(diǎn)到直線的距離—平行—畫平行線—解決問題（畫長方形）—平行四邊形的認(rèn)識(shí)—梯形的認(rèn)識(shí)—四邊形之間的關(guān)系。這樣，把原來的平行與垂直分成兩課時(shí)，將相交與垂直、畫垂線安排在一個(gè)課時(shí)，先認(rèn)識(shí)垂直，在畫垂線、距離的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平行，同時(shí)增加畫平行線的內(nèi)容，將四邊形之間的關(guān)系單獨(dú)列為一課時(shí)。以下為每課時(shí)的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)任務(wù)（如表1）。

參考文獻(xiàn)：

[1]章勤瓊，陳錫成.基于學(xué)習(xí)路徑分析的小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)思考框架[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（3）.

[2]李冬冬.學(xué)生對(duì)平行概念認(rèn)知的調(diào)查研究[D].杭州：杭州師范大學(xué)，2018.

[3]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2009.

[4]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，等.“平行與垂直”的教學(xué)內(nèi)涵與設(shè)想：基于教材編寫的幾點(diǎn)討論[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（3）.

[5]朱樂平.讓學(xué)生經(jīng)歷概念的定義過程：談?wù)J識(shí)梯形的教學(xué)[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2019（7/8）.

（1.浙江省溫州市道爾頓小學(xué)? ?325000 2.溫州大學(xué)教育學(xué)院? ?325035）