波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作

王全來

（天津師范大學 計算機與信息工程學院，天津300387）

整函數(shù)零點分布的研究是數(shù)學分析研究中一個重要領域，整函數(shù)中一重要類是拉蓋爾-波利亞類函數(shù)（簡記為LP類）。該類函數(shù)首先由拉蓋爾（E.Laguerre，1834—1886）在1882年研究①為了節(jié)省篇幅，本文涉及拉蓋爾的學術論文可參見其數(shù)學全集，不再進行標注。。由于這個主題與黎曼猜想有一定關系，故吸引了許多大數(shù)學家如胡爾維茲（A.Hurwitz，1859—1919），波利亞（G.Pólya，1887—1985），布呂恩（de Bruijn），埃德雷（A.Edrei）等人的興趣。1859年，黎曼（B.Riemann，1826—1866）將素數(shù)分布問題歸結為函數(shù)問題，現(xiàn)稱為黎曼zeta函數(shù)ζ（s）。黎曼猜想是指ζ（s）的所有非實根位于臨界線上。設ξ（s）=s（s－1）π－s/2Γ（s/2）?（s）/2，則ξ（iz+1∕2）是型為1的偶整函數(shù)，且若z取實值，則該函數(shù)取實值。黎曼猜想暗示ξ（s）的零點有實部1∕2，故ξ（iz+1∕2）屬于LP類函數(shù)。對于ξ（s）研究激起了對LP類函數(shù)性質的探討。波利亞在“只具實根的三角積分”，勒文（B.Levin）在1980年再版的“整函數(shù)零點分布”第八章中指出，若黎曼猜想成立，則ξ（s）屬于LP類函數(shù)。

一個整函數(shù)屬于LP類當且僅當f（z）=exp（－γz2+βz+α）zmΠ（1－z∕zn）exp（z∕zn），zn，α，β為實數(shù)，γ≤0，m為正整數(shù)，Σ|zn|－2收斂。LP類函數(shù)在卷積變換理論，變差變換理論，樣條函數(shù)插值理論等有重要應用。該類函數(shù)在理論和應用上的研究依舊活躍，且在分析的許多方面扮演著重要角色。關于LP類函數(shù)猜想的歷史研究文章目前國內外尚未見到，本文將詳細研究這一歷史發(fā)展，以補現(xiàn)有文獻不足。

1 波利亞提出猜想的工作背景

1.1 波利亞之前一些學者的工作

魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass，1815—1897）關于整函數(shù)展成無窮乘積的因子定理對于整函數(shù)性質和零點分布的研究有重要作用，在復函數(shù)理論中開創(chuàng)了新篇章。幾乎所有關于整函數(shù)理論的文獻第一部分都以魏爾斯特拉斯因子定理開始，足見其影響。拉蓋爾從1882年開始發(fā)表了一些與魏爾斯特拉斯因子定理有關的論文，給出了整函數(shù)的一些重要概念和性質，其中就有型的引入。整函數(shù)的型和階是該理論的兩個最基本概念。龐加萊（H.Poincaré，1854—1912）、阿達瑪（J.Adamard，1865—1963）、皮卡（E.Picard，1856—1941）、波萊爾（E.Borel，1871—1956）等人依據(jù)整函數(shù)階的概念探討了整函數(shù)的一些問題，其中包括整函數(shù)的增長和零點分布之關系的問題。拉蓋爾的大部分工作是研究型為0和1的整函數(shù)及其導數(shù)零點分布。

由冪級數(shù)表示的整函數(shù)表明一個簡單事實，任一個整函數(shù)為多項式序列的極限，該序列在每個有界區(qū)域內一致收斂。若附加多項式序列一致收斂于一個其零點屬于某一集合的整函數(shù)的條件，則極限函數(shù)依賴于該集合形成一個特殊類。拉蓋爾在這個方向上區(qū)分了兩種情況。第一種，在其中這些多項式的零點都是正的；第二種，在其中這些零點都是實的。遺憾的是，拉蓋爾對第二種情況沒有給出證明，波利亞在1913年給出證明。這樣的多項式序列更全面的考察由林德瓦特（E.Lindwart）和波利亞在1914年進行探討。

1.2 波利亞的早期工作

波利亞特別喜歡整函數(shù)和用多項式逼近整函數(shù)的零點集的性質有關的定理①為了節(jié)省篇幅，本文涉及波利亞的學術論文可參見其數(shù)學全集，不再進行標注。。波利亞在“利用具有全部實根的多項式逼近”（1913）、“全部根落在一個角形域內的多項式逼近”（1913）及“根與多項式序列收斂之關系”（1914）中研究了整函數(shù) （fz）的特征，多項式序列｛f（nz）｝在D內一致收斂于 （fz），當每個f（nz）的全部根αnk位于給定的集合T內或當對αnk指定某個收斂指數(shù)k（即∑|αnk|－k≤M）一般化了拉蓋爾的早期結果。波利亞后來的大部分工作起源于此。波利亞在“利用具有全部實根的多項式的逼近”（1913）中證明，若αnk是實的，則 （fz）=exp（az2+b）Φ（z），其中 Φ（z）為型是0或1的整函數(shù)，a，b為實數(shù)，a≤0。在“根與多項式序列收斂之關系”（1914）中證明，若指數(shù)k為給定整數(shù)，則f（z）=exp（bz）Φ（z），Φ（z）為型是k－1的整函數(shù)。受這些文章激勵，其他學者從不同的區(qū)域和集合T研究了類似問題。

在拉蓋爾、阿達瑪?shù)热斯ぷ骰A上，波利亞和舒爾（I.Schur，1875—1941）在開創(chuàng)性的論文“在代數(shù)方程理論中的兩類因子序列”（1914）中把LP類函數(shù)特征化。他們證明所有把具有實根的多項式變?yōu)榫哂袑嵏亩囗検降某朔e序列可由特殊類型的整函數(shù)產(chǎn)生。這些函數(shù)現(xiàn)在被稱為波利亞-舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞類函數(shù)。乘積序列理論始于拉蓋爾的工作，深化于波利亞和舒爾的開創(chuàng)性工作。波利亞和舒爾指出，實序列T=｛γk｝使得，若一個多項式p（x）=∑akx k只有實根，則多項式T［p（x）］=T［∑akxk］=∑γk akxk也只有實根，γk為實數(shù)。以此揭示了LP類函數(shù)的一些重要性質。

令Ψ（s）=∑（βjsj）∕j！為一個整函數(shù)，則下面性質等價：（1）Ψ屬于LP類；（2）Ψ可在緊致集上利用只具有實根的多項式p（nx）=∑βjcjnx j，q（nx）=∑βjcjnx n－j一致逼近；（3）若p（x）=∑Cjx j是一個只具有非正實根的多項式，則q（x）=∑βj Cjxj只有實根。對形式冪級數(shù)F（s）～∑akxk，F(xiàn)（D）p（x）=∑akDkp（x），其中D=d∕dx，上述結論也成立。波利亞在“關于型為0和1的整函數(shù)的代數(shù)研究”（1915）中指出，假設Ψ（s）屬于LP類，Ψ（0）＞0，Ψ（s）≠eas+b，1∕Ψ（s）有泰勒展開∑（βjsj）∕j！，則由此確定的漢克爾矩陣為正定的。設p→（1∕Ψ（D））p為零點減少的變換，p（x）=（∑aj xj）2，通過計算（1∕Ψ（D））p，得到了屬于LP類函數(shù)的一些必要條件。然而，漢克爾矩陣的正定性對Ψ（s）屬于LP類不是充分的，由漢伯格爾（H.Hamburger）在“關于波利亞所提問題的注釋”（1920）中證明。這些工作為波利亞提出其猜想奠定了基礎。

2 波利亞在LP類函數(shù)猜想上的工作

2.1 LP類函數(shù)猜想的提出

在多項式和超越整函數(shù)零點分布理論中，考慮施于微分運算的整函數(shù)零點將如何變化的一般性問題，波利亞做出許多貢獻，其中之一是提出LP類函數(shù)的有關猜想。LP類函數(shù)在微分運算下保持封閉，故屬于LP類函數(shù)，其任意階導數(shù)只有實根。一個函數(shù)在何種條件下為LP類函數(shù)呢？對于該問題涉及較早的是數(shù)學家威曼（A.Wiman）。據(jù)威曼的學生阿朗爾（M.?lander）在其博士論文中稱，威曼在1911年曾猜想，若（fx）為實整函數(shù)②在實軸上取實值的整函數(shù)稱為實整函數(shù)。，且 （fx）和二階導數(shù)f（??x）只有實根，則 （fx）屬于LP類。威曼關于整函數(shù)的首篇論文處理了米塔格－萊夫勒函數(shù)E（αz）=∑zn∕Γ（αn+1）的零點問題，與魏爾斯特拉斯因子定理有關，這可能是其提出該猜想的重要原因。威曼的猜想暗示如下結果，“若一個超越實整函數(shù)和其二階導數(shù)的零點是實的，則所有導數(shù)的零點位于實軸上”。

在定理中假設（fx）為實整函數(shù)是該猜想的最基本要求，這一點由波利亞的學生埃德雷在1955年通過例子 （fz）=exp（exp（iz））說明［1］。波利亞1914年前往瑞士蘇黎世，在此期間，他研究的問題之一是整函數(shù)的性質和逼近于整函數(shù)多項式零點集性質之間的聯(lián)系。他和胡爾維茲經(jīng)常探討這方面的學術問題，為波利亞深入研究波利亞－舒爾函數(shù)或拉蓋爾-波利亞函數(shù)的相關問題奠定了基礎。

波利亞在“關于整函數(shù)的一個問題”（1914）中提出一個比威曼猜想稍弱的猜想，指出若（fx）為實整函數(shù)，且它同其各階導數(shù)只有實根，則（fx）應屬于LP類函數(shù)。該問題現(xiàn)被稱為波利亞猜想。波利亞在該文開篇提到了LP類函數(shù)的性質，隨后指出，“是否存在其它函數(shù)，其和它的各階導數(shù)只有實根。這個問題，我感到非常困難，然而，我將能夠解決非常簡單的一部分”。實際上，證明了如下定理。

設整函數(shù)F（x）滿足條件：（1）F（x）的型有限；（2）F（x）的零點數(shù)有限；（3）F（x）各階導數(shù)的零點全為實數(shù)，則F（x）∈LP。若F（x）滿足條件（1）和（2），F(xiàn)（x）=g（x）exp（H（x）），g（x）和H（x）為多項式，設H（x）的次數(shù)為m+1，則命題可以轉化為：若m+1≥3，F(xiàn)（x）=g（x）exp（H（x））及其導數(shù)有些非實根；若m+1=2，H（x）中x2的系數(shù)為正的，結論同樣成立。波利亞利用舒爾告知的微分多項式方法給出了簡要證明。

波利亞的“整函數(shù)理論注釋”（1915）是其上文的擴展。他在該文猜想，除去形如f（z）=aebz，f（z）=a（eicz–eid），（a，b，c，d為常數(shù)，c，d為實數(shù)，b為復數(shù)）的函數(shù)外，所有整函數(shù)及其各階導數(shù)只有實根一定為下列形式czrexp（－γ2z2+dz）Π（1－d nz）exp（d nz），其中除c外，所有常數(shù)都是實的，Σdn2收斂。并給出如下3個定理。

定理1：F（x）為有限型，且只有有限個根，F(xiàn)（x）的各階導數(shù)無虛根，則F（x）為LP類函數(shù)或為F（z）=aebz（a，b為復數(shù)）。

定理2：若F（x）=g（x）exp（H（x）），g（x），H（x）為多項式，H（x）的次數(shù)至多為2，最高次的系數(shù)為正，則F（x）的各階導數(shù)從某階起至少有一對虛根。

定理3：F（x）=g（x）exp（H（x）），g（x），H（x）為多項式，F(xiàn)（x）的各階導數(shù)只有實的非正根，則在給定g（x）和H（?x）為常數(shù)的情況下，H（x）=γx+δ，γ≥0，δ為常數(shù)。

波利亞在假設整函數(shù)是有限型的，且只有有限個零點的情況下通過構造多項式序列及其微分多項式巧妙地給出證明。

2.2 波利亞后續(xù)的相關工作

波利亞雖然未能證明自己提出的猜想，但在后續(xù)工作中亦對此有一定研究，得到一些重要結果，與之有關的論文是“具有三個零點的有限型整函數(shù)的確定”（1921），“連續(xù)階導數(shù)的零點”（1922），“傅里葉關于超越方程有關的一些問題”（1930），“某個整函數(shù)各階導數(shù)零點的實性”（1937），“一個函數(shù)導數(shù)的零點和其解析性”（1943）等。在“具有三個零點的有限型整函數(shù)的確定”及“連續(xù)階導數(shù)的零點”中，波利亞繼承了其在1914年、1915年上述論文中的思想，采用構造輔助函數(shù)列的方法證明，當f是一個實整函數(shù)，且f，f?，f"無零點，則f是一個指數(shù)型函數(shù)。這一結果以各種方式被一般化，特別是柯達斯（G.Csordas），諾?？耍═.Norfolk），瓦爾加（R.Varga）在1986年證明，若f，f?，f?，f?只有實根，則f或為指數(shù)類型函數(shù)，或為波利亞-舒爾函數(shù)，或為A（eicz－eid），A為常數(shù)，c，d為實數(shù)［2］。海勒斯坦（S.Hellerstein）、陳（Li-Chien Shen）、威廉森（J.Williamson）1983年對亞純函數(shù)得到進一步的結果［3］。

波利亞在“連續(xù)階導數(shù)的零點”的注腳處指出，若g（z）為整函數(shù)，且假設（1）g（z）和g（?z）無零點；（2）g（??z）至多有有限個非實根，則g（z）具有下列形式之一：g（z）=exp（az+b），a和b為常數(shù)或g（z）=exp［c+exp（（iξz+η））］，ξ，η為實常數(shù)，c為常數(shù)。埃德雷在1955年的論文中推廣了上述定理。令g（z）為至多有有限個非實根，形如g（z）=P（z）eQ（z）的整函數(shù)，Q（z）為任意整函數(shù)，P（z）為有限階的整函數(shù)。方程g（z）=0，g（?z）=0，g（??z）=0除有限個零點外為實的，則Q（z）的階一定是實的，且不超過1。在該文中，波利亞引入了對于一個整函數(shù)或亞純函數(shù)關于連續(xù)階導數(shù)零點集的極限點集合的最后集概念，并確定亞純函數(shù)的最后集，最后集是一個多邊形，其頂點距離兩個最近的極點等距。確定整函數(shù)的最后集比較困難，對于一個拉蓋爾-波利亞類函數(shù)，其階大于1，在實軸上取實值，以整個實軸為最后集似乎是成立的。在一些條件限制下，這個結果由陳1986年證明［4］。波利亞在“傅里葉關于超越方程有關的一些問題”中證明對于階小于2∕3的實整函數(shù)，只有有限多個非實根，則零點幾乎全部是實的。威曼在1930年、1937年中改進到階至多為1［5］，波利亞在“某個整函數(shù)各階導數(shù)零點的實性”中改進到4∕3。在“一個函數(shù)導數(shù)的零點和其解析性”中，波利亞考察了到1942年之前幾乎每個與之有關的問題，并進一步指出，若階小于2的實整函數(shù)f只有有限多個非實根，則存在正整數(shù)m0，使得若m≥m0，f（m）只有實根。這個結果由柯瑞文（T.Craven），柯達斯，史密斯（W.Smith）在1987年［6］和同年的論文得到證明［7］。在證明過程中，詹森-納格-沃什定理起著重要作用。早在1836年，高斯在數(shù)學筆記中就對多項式導數(shù)的零點給出了物理解釋。1874年，拉卡奇（G.Lucás）闡述并證明了高斯-拉卡奇定理。該定理描述了復系數(shù)多項式的一個性質：多項式導數(shù)的零點一定在原多項式的零點所構成的凸包內。除了高斯－拉卡奇定理外，詹森（J.Jensen，1859—1925）在1913年發(fā)表了一個未證明的定理，基于詹森橢圓思想給出了實多項式導數(shù)零點更為準確的信息。該定理的第一個證明由沃什（J.Walsh）1920年基于高斯－拉卡奇定理給出，納格（J.Nagy）1922年也給出證明。其實早在1914年，阿朗爾已有該定理的思想，并證明若 （fz）為有限階ρ=ρ（f）的整函數(shù)，λ＞ρ，w∈C，C為復數(shù)域，存在無窮多個正整數(shù)n，使得f（n）（zn）=0，則|zn－w|＞（log2）n－1+1∕λ。阿朗爾1914年在威曼指導下完成博士論文《整函數(shù)導數(shù)的零點遷移》，對函數(shù)連續(xù)階導數(shù)的零點問題進行深入研究，先后發(fā)表與之有關的幾篇論文，主要結果和型是2，3，4，5的整函數(shù)及有理函數(shù)有關，闡述了一些值得注意的觀點和猜想，以及一些啟發(fā)性研究的例子，對波利亞的研究有重要影響，這一點可從波利亞的“某類整函數(shù)幾乎所有導數(shù)的零點的實性”（1937）論文中看出。

3 LP類函數(shù)猜想的影響

3.1 LP類函數(shù)猜想的解決

波利亞關于LP類猜想的工作在20世紀引起許多學者的關注，研究成果眾多。阿朗爾受威曼和波利亞影響，隨后發(fā)表了一些相關文章。阿朗爾在1914年［8］、1916年［9］證明，若f是整函數(shù)，其階為 λ，型小于 σ，則（fz）=AzkeP（z）（1－z∕an）exp（z∕an+··+zq∕qaqn），A為常數(shù)，k為非負整數(shù)，P（z）為多項式，q為最小非負整數(shù)使Σ｜an｜－q－1＜+∞。f的型 σ 是q和P（z）的次數(shù)的最大值，且滿足 σ≤λ≤σ+1。他于1922年引入一種整函數(shù)分類方法［10］，對任意整數(shù)p＞0，類V2p為g（z）exp（－az2p+2）構成的集合，其中a≥0，g（z）為一個具有實根的實整函數(shù)，且階至多為2p+1；類U2p由U0=V0，U2p=V2p/V2p－2，p≥1定義；由定義知U0=LP。阿朗爾證得，若f∈U2p，f?只有實根，則f"恰有2p個復根。

需要指出的一點是，阿朗爾在該文中只對有限型的整函數(shù)研究了該定理，但勒文、奧斯特羅夫斯基（I.Ostrovskii）1960年論文的第324頁注腳1［11］、海勒斯坦、威廉森1975年論文第229頁注腳［12］和1977年的論文［13］，坎貝爾（D.M.Campbell）、克拉尼（J.Clunie）、海曼（W.K.Hayman）在“在復分析中的研究問題”2.64問題中未有關于有限型的限制［14］。他在該文中稱可以將這個結果推廣到任意p。阿朗爾1923年將這個結果推廣到有限階的任意整函數(shù)，并證明，若f是一個有限階的嚴格非實整函數(shù)，f，f?，f?只有實根，則（fz）=aebz或 （fz）=A（eicz–eid）［15］，詳細證明出現(xiàn)在海勒斯坦、威廉森的1975年論文中。

然而波利亞1943年的論文中只提到了阿朗爾1914年、1916年的論文，并未提到1922年的論文。海勒斯坦向其老師埃德雷提出這個奇怪現(xiàn)象，引起埃德雷的注意。為回答埃德雷的疑問，波利亞在一封信中回應稱，他注意到了阿朗爾1922年的論文，但文中的證明不能使他信服，且他也不能證明該證明是錯誤的。阿朗爾的證明涉及在U2p中與調和函數(shù)水平集有關的研究。

薩克斯（W.Saxer）為波利亞的博士生，受波利亞工作的影響，于1923年利用威曼－瓦利龍法指出，若f為整函數(shù)，且在假設f，f?，f"無零點的情況下，（fz）=P（z）exp（Q（z）），P（z），Q（z）為多項式［16］?？扑垢瘢≒.Csillag）1935年在假設f，f（m），f（n）對某些m，n只有有限多個根時加強了薩克斯的上述定理，1≤m≤n［17］。薩克斯-科斯格定理后由圖目若（Y.Tumura）1937年推廣：令f（z）為一個無零點整函數(shù)，且存在導數(shù)f（n）（z）（2≤n）不為0，則 （fz）=eaz+b［18］。海曼1959年在假設f和f"只有有限多個零點的情況下，將薩克斯的結果進一步一般化。海曼提出是否他的結果同科斯格一樣，可以在只假設f，f（n）（n≥2）有有限多個根的情況下，一般化薩克斯的結果［19］?？死?962年肯定回答了這個問題。克拉尼的證明基于早期由圖目若考慮的一類微分多項式的結果［20］。海勒斯坦、楊（C.Yang）1972年進一步在半平面內推廣了克拉尼定理［21］。

LP類函數(shù)猜想第一個重要的進步由勒文和奧斯特羅夫斯基在1960年上述論文中獲得。他們以整函數(shù)對數(shù)導數(shù)為基礎證明，若f為無窮階的只有實根的實整函數(shù)，則f"有無窮多個非實根。他們把對數(shù)導數(shù)表示成兩個函數(shù)的乘積，其中一個沒有極點，另一個將上半平面映射成自身。這種思想成為研究LP類函數(shù)猜想的基礎。勒文和奧斯特羅夫斯基在該文中另一貢獻，是對來自半平面內亞純函數(shù)值分布理論思想的運用。他們的思想和方法在整函數(shù)零點分布研究中起著關鍵性作用，并為后來學者廣泛使用。海勒斯坦1966年通過引入復數(shù)上A-集的概念，精確化了勒文和奧斯特羅夫斯基的相關結果［22］。

海勒斯坦、威廉森利用函數(shù)對數(shù)導數(shù)的方法在LP類函數(shù)猜想上取得重大成就，1975年證明，若f為有限階，且f，f?，f"只有實根，則LP類函數(shù)猜想成立。隨后，海勒斯坦、威廉森1977年對無窮階的情況證明了波利亞猜想。至此，LP類函數(shù)猜想完全解決。在證明LP類函數(shù)猜想的過程中，對于f為實的，且為有限階，海勒斯坦、威廉森發(fā)現(xiàn)了f的增長和f"的非實根數(shù)之間的關系，并為其后研究者使用。對于具有有限多個實根的實整函數(shù)，貝韋勒（W.Berweiler）、甫士（W.Fuchs）在1993年證明，若f為實整函數(shù)，且f，f"只有實根，則 （fx）屬于類LP［23］。

3.2 LP類函數(shù)猜想的相關工作

解決了LP類函數(shù)猜想后，許多學者開始研究整函數(shù)倒數(shù)的表示問題，并獲得一些重要成果。海勒斯坦、威廉森1977年證明，若f為實整函數(shù)，連同其各階導數(shù)只有實的非正根，則（fz）=Ceaz，C和a為實常數(shù)，或 （fz）=CzreazΠ（1+z∕｜zn｜），a≥0，Σ｜zn｜－1＜∞［24］。海勒斯坦、威廉森1981年發(fā)現(xiàn)在f"的非實根和（1∕f）"的實根之間的關系，并證明，若F=1∕f，f為只有實根（至少有一個根）的有限階的實整函數(shù)，F(xiàn)?，F(xiàn)"只有實根，則（fz）=（az+b）n，a為不等于0的實數(shù)，n為正整數(shù)。此外，F(xiàn)"的實根數(shù)和f"的非實根數(shù)相等且有限［25］。羅西（J.Rossi）在威廉森指導下完成博士論文，受其工作影響，他于1982年將上述結果推廣到f為無窮階的情況［26］。

海勒斯坦、陳、威廉森在1983的上述文章中考慮了嚴格非實整函數(shù)類，證明若f為整的嚴格非實函數(shù)（即不是一個實函數(shù)與一個常數(shù)之積），f，f?，f"只有實根，則：（1）若f為有限階的，f（z）=aebz或f（z）=a（eicz–eid），其中a不等于0，b，c，d為常數(shù)，b為非實數(shù)，c，d為實數(shù)；（2）若f為無窮階的，則（fz）=aexp（e（icz+d））或 （fz）=Aexp｛k［（icz+d）－e（icz+d）］｝，A不等于0，c，d為實數(shù)，－∞＜k≤－1∕4。他們在該文中還證明，若f為嚴格非實亞純函數(shù)，且只有實極點，f，f?，f"只有實根，則 （fz）=Ae－（icz+d）∕sin（cz+d）或 （fz）=Aexp［－2（icz+d）－2exp2（icz+d）］∕sin（2cz+d），A為常數(shù)，c，d為實數(shù)。他們的工作后由欣克內（A.Hinkkanen）和羅西于1984年進一步研究，科斯（W.Kohs）和威廉森1988年進一步減弱了定理成立的條件。尼克斯（A.Nicks）2009年通過利用科斯和威廉森的有關方法將欣克內和羅西的結果一般化［27］。

對于實亞純函數(shù)f，使得f，f?，f"只有實根的一個完整特征由陳、威廉森、海勒斯坦1984年給出。設f是具有實根和實極點（每個至少有一個）的實亞純函數(shù)，若f?無根，f"只有實根，則f為下列三種形式之一：（fz）=Atan（az+b），（fz）=（az+b）∕（cz+d），ad－bc≠0，（fz）=A（1－a（2z－b）－2），A，a，b，c，d為實常數(shù)，A，a，c都不等于0。此外，若f是有限階，且f的極點為單重，則不需要對f"的零點進行限制，且f為上述前兩式之一［28］?？扑?986年去掉f?無零點的要求下證明了最后一式［29］。陳、威廉森、海勒斯坦在該文中還提出如下猜想，至今未能解決。設f是非有理實亞純函數(shù)，只有單重實極點，若f，f?，f"只有實根，則f（z）=A［tan（az+b）－（cz+d）］，A，a都不等于0，c，d為適當選擇的實常數(shù)。

希爾司馬（T.Sheil-Small）1989年通過構造輔助函數(shù)，且研究這些函數(shù)水平線的方法證明，若f∈U2p，則f"至少有2p個非實根［30］。同年，他利用上文中有關結果得到如下定理：令f為至多有有限個實零點的有限階的整函數(shù)，假設f"無非實根，則f（z）=eb+az，a，b為常數(shù)，或存在實常數(shù)θ，使得f（z）=eiθg（z），其中g（z）∈LP［31］。2002年愛德華茲（S.Edwards）、海勒斯坦將希爾司馬的結果推廣到具有有限多個非實根的實整函數(shù)，引入實整函數(shù)的另一類U2p*，其為f=Pf0的集合，f0∈U2p，P為實多項式。每個有限階的具有有限多個非實根的實整函數(shù)屬于U*。f∈U*當且僅當f=c（z）g（z），g（z）∈U，c（z）為無實根的實多項式。

2p2p2p

愛 德 華 茲 和 海 勒 斯 坦 證 明 ，若f∈U2p*，則2p為f（k）的 非 實 根 數(shù) 的 下 界 ，k≥2［32］。 貝 韋 勒 、赫 曼（A.Eremenko）、蘭利（J.K.Langley）2003年推廣到無窮階的函數(shù)，即對每個無窮階的實整函數(shù)，f，f?有無窮多個非實根。蘭利2005年證明，若f為平面內無窮階的實亞純函數(shù)，且f有有限個極點，則f和f（k）至少一個有許多非實根，k≥3。其結果和愛德華茲、海勒斯坦的結果相結合，證明了類似的LP類函數(shù)猜想。若f為實整函數(shù)，f，f（k）只有實根，k≥3，則f∈LP。2009年蘭利確定了在平面內所有實亞純函數(shù)的形式，使得f?有有限個零點，而f，f（k）有限個非實根，k≥2。2011年證明，若f為平面內無窮階的實亞純函數(shù)，具有有限多個根和非實根，則f"有無窮多個非實根［33］。

在LP類函數(shù)猜想的影響下，2012年尼克斯給出了一個實整函數(shù)屬于類LP或類U*之一的條件。他

2p證明，若f為一個實整函數(shù)，M＞0，1≤j＜k，設f，f（j），f（k）的非實根有有限的收斂指數(shù)，f的零點重數(shù)至少為k，至多為M，則f∈LP，且f（m）的所有零點為實的，m≥0。利用這個結果，蘭利證明，若f為實整函數(shù)，f和f（n）只有非正實根，則 （fz）=ceaz，a為實數(shù)，或f∈LP。在這個假設中，條件f（n）不能弱化為對一些N只有非正實根，n=1，2，···，N。在尼克斯的證明過程中用到了與埃德雷有關的一個定理：令 （fz）=exp（－rz2）G（z），r＞0，G（z）∈LP，且型小于等于1，則f連續(xù)階導數(shù)的零點在實軸上幾乎處處稠密。尼克斯給出一個實函數(shù)屬于LP或U2p*的條件，這些條件涉及f或其導數(shù)或ff?－a（f）?2非實根的探討，a為參數(shù)［34］。2019年蘭利又證明，若f為具有有限多個非實根的無窮階的實整函數(shù)，a為正實數(shù)，則f"+af有無窮多個非實根［35］。

4 結語

波利亞關于LP類函數(shù)猜想的工作，不僅豐富了整函數(shù)零點理論的內容，產(chǎn)生許多重要結果，而且在證明的過程中出現(xiàn)一些重要思想和方法，如函數(shù)對數(shù)導數(shù)的方法和零點的最后集思想。在證明波利亞猜想的過程中，許多學者都是師生關系，如阿朗爾為威曼的學生，海勒斯坦為埃德雷的學生，尼克斯為蘭利的學生等，可見學術傳承在數(shù)學研究中的重要性。

此外，許多學者如科雷瓦（J.Korevaar）、蘭利、蘇亞雷斯（D.Suárez）等人把LP類函數(shù)的概念一般化［36］，勒文在“LP類的整函數(shù)”（1984）中引入了另一類類似于LP類的整函數(shù)，并得到與LP類函數(shù)猜想相似的結果［37］。柯達斯等人1989年從積分變換的角度［38］、柯（H.Ki）和柯姆（Y.O.Kim）2016年從微分算子的角度［39］更廣泛的研究了LP類函數(shù)的性質；德米特里（K.Dimitrov）和謝赫（Y.B.Cheikh）2009年探討了詹森多項式和LP類函數(shù)的關系，以此為據(jù)給出貝塞爾函數(shù)的零點為實的一個簡短優(yōu)美的證明［40］。

1914年波利亞和舒爾證明，實序列｛γn｝為乘積序列當且僅當∑γnzn∕n！在類LP中表示一個整函數(shù)。特別是，｛γn｝為型是1的序列乘積，當且僅當∑γnzn∕n！表示在Lp1類中的一個整函數(shù)。其實，拉蓋爾早在1881年就已經(jīng)給出了一個在LP類中整函數(shù)參數(shù)族的例子φ（z）=∑cos（ψ+nθ）zn∕n！，對某個參數(shù)θ選擇，其系數(shù)符號形成一個非規(guī)則序列。因此，給定一個具有邁克勞林級數(shù)φ（z）=∑anzn的實整函數(shù)，如何利用系數(shù)序列｛an｝給出保證φ∈LP的條件，是德米特里和奧利讓（W.D.Oliveira）2016年研究的問題，并建立了一些重要定理［41］。