從形式到方法：徐有壬“綴術(shù)”的雙重意義

王鑫義，郭世榮

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特010022）

徐有壬（1800—1860），字君青（鈞卿），浙江烏程（今湖州市）人，晚清八大算學(xué)家之一［1］。他所著的《測圓密率》三卷（1840年前后）是在沒有受西方近代數(shù)學(xué)影響之下獨立研究的結(jié)果，共有56“術(shù)”，每“術(shù)”即為一個公式?！陡顖A八線綴術(shù)》（以下稱“《綴術(shù)》”）則是他的代表作，原作三卷，后由吳嘉善（1820—1885）述草（1862）和左潛（？—1874）補(bǔ)草（1873）為四卷，該書包括了《測圓密率》中全部的級數(shù)展開式，并創(chuàng)造了推求級數(shù)展開式的“綴術(shù)”。

關(guān)于徐有壬的《測圓密率》和《割圓八線綴術(shù)》，李儼［2］、錢寶琮［3］、李迪［4］、王海林［5］、孫力［6］、羅見今［7－8］和張升［9］等對此有過詳盡分析，各有側(cè)重，但對“綴術(shù)”的中算來源只有一些零星討論，忽略了“綴術(shù)”作為運算方法這層意義，且對“因式立術(shù)，由術(shù)立法”的實質(zhì)闡述不多。鑒于此，本文以徐氏《測圓密率》和《割圓八線綴術(shù)》為研究對象，對相關(guān)問題做進(jìn)一步的考察和分析。

1 “綴術(shù)”表達(dá)級數(shù)的中算來源

清代數(shù)學(xué)家真正全面掌握天元術(shù)是從李銳（1769—1817）完全讀懂《測圓海鏡》開始的。此后，清代中后期的數(shù)學(xué)家對天元術(shù)和借根方都很熟悉，對二者關(guān)系的認(rèn)識也逐漸深入［10］。

1.1 天元、四元術(shù)的影響

1822年，徐有壬首次讀到《四元玉鑒》鈔本后，“積思三晝夜，寫出細(xì)草”［11］，他未刻的《四元算式》是對《四元玉鑒》的細(xì)草，也是清代研究《四元玉鑒》最早的著作。黎應(yīng)南在《演元九式》序中稱“徐有壬甄而明之，使讀者有下手處”［12］，認(rèn)為徐氏通曉并幫助讀者理解四元術(shù)。徐有壬對《四元玉鑒》的深入研究，為以后羅士琳（1789—1853）的細(xì)草和其他人的注釋起了重要作用［5］12，從徐氏給羅士琳《演元九式》（1827年）的序中也可看出，他是完全理解四元術(shù)的數(shù)學(xué)含義及相消方法的［13］。此外，徐氏曾將《四元玉鑒》3冊寄贈朝鮮學(xué)者金正喜［14］；沈欽裴（《四元玉鑒細(xì)草》三卷，1829年）、羅士琳（《四元玉鑒細(xì)草》三卷，1835年）對四元術(shù)的理解也都受到了徐氏的影響?？梢哉f，徐有壬為四元術(shù)于清代被重新理解的關(guān)鍵人物［13］45。

徐有壬在研究《四元玉鑒》的基礎(chǔ)上，對垛積招差之法最有心得，而其《造各表簡法》（又稱為《垛積招差》）早在1856年已經(jīng)寫成［15］。他在《造各表簡法》的序中寫道：“余讀《四元玉鑒》，究心于垛積招差之法，推之割圓諸術(shù)，無所不通?！保?6］事實上，徐有壬研究割圓術(shù)比戴煦和李善蘭都早，并把垛積招差二法運用到了割圓問題中。

1.2 對天元術(shù)、借根方和代數(shù)學(xué)的理解

1859年，馮桂芬與徐有壬一起研究《代微積拾級》，徐有壬認(rèn)為：“是法壬叔外鮮能通曉，書中文義語氣多仍西人之舊，奧澀不可讀，惟圖式皆可授，宜以意紬繹圖式，其理自見?！保?7］表明他對李善蘭等的翻譯工作并非全然接受。在《綴術(shù)》中，徐氏比較了代數(shù)學(xué)與天元術(shù)?？梢?，徐有壬未用代數(shù)學(xué)，一是表達(dá)的不便性；二是運算的繁瑣性；三是深諳天元術(shù)的本質(zhì)，并非完全的泥古不化；但與中西兩種文化固有的觀念和方法不無關(guān)系。

需要注意的是，徐有壬同時掌握借根方，深諳天元術(shù)，又接觸過代數(shù)學(xué)。他在研究《四元玉鑒》并為之補(bǔ)細(xì)草時強(qiáng)調(diào)天元術(shù)的重要性與實用性，在《綴術(shù)》中則與左潛都表明天元術(shù)優(yōu)于借根方，并把“綴術(shù)”視為天元術(shù)的變形，而在讀到《代微積拾級》時，又指出其佶屈聱牙、晦澀難懂。這些不同階段的觀點反映了他研究天元術(shù)、借根方與代數(shù)學(xué)的動機(jī)與動力的不同，不只反映了天元術(shù)與代數(shù)學(xué)這兩種主流學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的競爭與比較的過程。天元術(shù)、四元術(shù)與借根方對理解代數(shù)學(xué)起了很大作用，反過來，西方代數(shù)學(xué)也是幫助理解天元術(shù)、四元術(shù)和借根方的重要工具。

2 算式、率式和級數(shù)式的說明

2.1 構(gòu)成要素

算式由三部分構(gòu)成：率名（即連比例各率，用一、二、三等表示率名）、率數(shù)（即分子或乘數(shù)，用商業(yè)暗碼〡、〢、〣、〤、〥等表示）和除法（即分母用小字旁書寄于率上）。

對于“率式”，在“比例法”中有所說明：“比例既畢，乃取各式之四行齊等列而相并，得數(shù)重列之，為所求各率式也。”［18］所謂“各率式”是指用“比例法”求得的每行率式，“算式”僅指其中的一部分，實指單項式，而“各率式”是多項式或是多個單項式的和。由于這些“算式”共存于一式即“率式”，各項之間構(gòu)成連比例，因此，對于“率式”也可以按各算式的相關(guān)規(guī)則去運算。

對于“級數(shù)式”，徐有壬先在《綴術(shù)》卷二中引入了“級數(shù)”：“新譯西算所云‘級數(shù)’是也，其求法初若繁重，究之得數(shù)級后，其余‘級數(shù)’可以推類，而得以等級井然也?！保?8］由此說明：一方面徐有壬已見到《代微積拾級》，將“級”解釋為“等級”；另一方面，他對“級數(shù)”的認(rèn)識只具其形，在發(fā)現(xiàn)所蘊含的規(guī)律后，通過類推，以期各率式的求解能依附于“級數(shù)”之形。

在《綴術(shù)》卷四中，徐有壬使用了“級數(shù)式”這一術(shù)語，因在前幾卷中討論的對象是“術(shù)”，而卷四中討論的對象由“術(shù)”變?yōu)椤笆健?，且他在尋求“立法之原”時，試圖給出具有一般性的適用方法。

2.2 運算法則

《綴術(shù)》卷一的預(yù)備知識中還給出了加、減、乘、除法，齊母通分和化分。其中的乘法是用一常數(shù)乘，若所乘常數(shù)與分母有公因子，可用約去分母中的公因子來代替作乘法。若分母不同者，先齊其分，即用通分法互乘后再相加。“化分”主要為了解決同率名中分母不統(tǒng)一的問題，如：

依據(jù)“齊母通分”，“互乘齊之”，“變其式不變其實”，使得弦求矢式的各率式中的分母成“二、二四、二四六”等依次遞增之?dāng)?shù)，同時與西算中級數(shù)表達(dá)形式保持一致。

2.3 推導(dǎo)方法

“比例法”是基本方法，“還原術(shù)”和“借徑術(shù)”等都以“比例法”為前提，也是“比例法”的應(yīng)用拓展?！胺驳谝恍惺街灰晃徽哂么朔ā保?8］，此時第一率式為算式即單項式。較之“比例法”，“比例商除法”的適用范圍更廣，可將“比例法”納入其中。由“正弦求余弦式”，用“比例商除法”得“弦求切式”，記“弦求切式”的各率名為?n，正弦為?2，半徑為r=?1，所求的正切為tanα，余弦為cosα，有：

在《象數(shù)一原》（1843年）卷二“半分起度弦矢率論”中，項名達(dá)所用的“除法式”與戴煦在《外切密率》（1852年）中推導(dǎo)本弧求切線時所用的方法是相同的。從著作的完成時間看，“比例商除法”并非徐有壬首先使用，但他首先給出該方法名稱。

“借徑術(shù)”相當(dāng)于“代換法”，“還原術(shù)”先把“算式”變?yōu)椤奥适健保谩氨壤ā鼻蟾髀适?，將兩率式相乘，通過各率式的加減，最后只剩一新的算式，即為所求。這一過程與明安圖的“反求”、李善蘭的“回求”等計算思路大體一致。

3 “綴術(shù)”運演級數(shù)的方法特征

《綴術(shù)》卷二伊始，徐有壬表明了欲得“綴術(shù)”的前提是求得各率式，各率式“連綴而下”，依據(jù)連比例各率，再以各率式為基礎(chǔ)，將“式”變?yōu)椤靶g(shù)”。并指出了“綴術(shù)”“能于算術(shù)中自成一隊者”［18］，是因為在“弦求矢”等問題時，對于出現(xiàn)的開方問題，可通過屢乘屢除的方法來解決。

3.1 矩形的幾何解釋

前人對徐有壬的幾何證明作了細(xì)致詳盡地推導(dǎo)，本文不再贅述。在這一過程中，徐有壬運用了“出入相補(bǔ)原理”“今有術(shù)”“三要法”等初等方法，并結(jié)合了“比例商除法”“還原術(shù)”“借徑術(shù)”等推導(dǎo)方法。事實上，并不是徐有壬首先使用此類初等方法解決級數(shù)展開問題，早在《割圓密率捷法》卷三的“三法”中，明安圖構(gòu)造了新的幾何圖形，創(chuàng)造出求二分全弧通弦的方法，在論述中使用了“廉”①指磬折形一側(cè)邊之長。、“隅”②指拐角小方形的寬度。和“廉隅共積”③指磬折形面積，即兩長方、正方的和。等術(shù)語，依次求得初商、次商和三商等，明氏所構(gòu)造的這一幾何模型是用無窮級數(shù)來逼近平方根［19］。明、徐作法的不同之處在于前者依據(jù)開方術(shù)，后者避開開方術(shù)?！端脑耔b》中的類似問題也運用了“出入相補(bǔ)原理”，徐有壬研究了《四元玉鑒》后，對其中的題目及其解題方法都較為熟悉。

3.2 加減差的處理

李儼曾依徐氏原意給出了《測圓密率》中弧背求正切式前六項的系數(shù)分子，后來嘗試將“一差至四差”等公式化，但結(jié)果并不明顯。《測圓密率》卷三第13、14、17、18術(shù)中均已出現(xiàn)了正切數(shù)，但結(jié)果不夠清晰［7］856。張升［9］111將徐有壬的和式進(jìn)行了重新組合，對卷三中“差”的系數(shù)用公式明確地表示出來，并對“差”作了進(jìn)一步研究，重新組合得到了形式上的美觀，而徐有壬對此略而不述，如此組合仍舊不能擺脫“差”對第幾數(shù)的依賴。其中的正切級數(shù)展開式含有加差形式，是因為徐氏以研究每項之間的遞推規(guī)律為主要目的，加減差則是輔助函數(shù)形式［5］39。

在《綴術(shù)》卷四中，他將各率式轉(zhuǎn)化為含有加減差形式的各術(shù)，所關(guān)注的不再是如何方圓互化，而是如何由“算式”變?yōu)椤奥适健痹僮優(yōu)椤靶g(shù)”，由“術(shù)”再尋求“立法之原”。徐氏將得到的各式分為不含加減差和含有加減差，前一類的各率式系數(shù)分子可用遞推關(guān)系來統(tǒng)一表達(dá)，后一類則無法得到統(tǒng)一的表達(dá)式?！凹鹊酶髑笫剑丝砷F而為術(shù)，未能求得差根無可立為術(shù)”［18］，表明立術(shù)的前提是求得差根，而求得差根則是立術(shù)的關(guān)鍵。在“弦求矢式”中，他引入了“分段除法”和“分段乘法”，含有加減差中各式的“分段除法”與“分段乘法”規(guī)律較為明顯，并且可遞推，不含加減差中各式的“分段除法”規(guī)律明顯，而“分段乘法”規(guī)律不明顯，需用加減差的形式來解釋。為什么徐有壬會引入“綴術(shù)”來研究各項之間的關(guān)系呢？實際上，要想找到級數(shù)展開式的規(guī)律就需研究每項的系數(shù)規(guī)律，徐有壬在明安圖和董祐誠等人的工作基礎(chǔ)上，觀察到各項之間的比例關(guān)系，加之有些個別率式中的分子分母有著特殊的比例關(guān)系，為此，他想從整體上把握并尋求統(tǒng)一的解決方法，雖在《綴術(shù)》中通過大量的計算求出了各加減差，卻未能確定求各加減差的遞推規(guī)律，故未能立術(shù)。

3.3 方格捷法的使用

在“比例法”中，徐有壬將方格分為“除、乘、實、得”，滿足“乘×實÷除=得”，每個式子相當(dāng)于單項式與多項式相乘的運算?！叭舸笮“司€相求，則中兩行相乘須畫方格如天元術(shù)乘法逐層求之”，因為在大小八線相求中，某些率式中的“率數(shù)”不是常數(shù)，而是多項式，所以要用天元術(shù)［4］666?？梢?，在簡單的“比例法”中“乘”和“實”兩列的計算量較小，操作簡單，基本為單項式與多項式相乘，但在大小八線相求的“乘”和“實”兩列中，運算對象變成了多項式，需要進(jìn)行多項式與多項式相乘，計算量較大，涉及的步驟較多，因此，方格法可以根據(jù)實際的運算對象和計算量的多少來選擇。

吳敬將“格子算法”稱為“寫算”，程大位稱為“鋪地錦”［20］。寫算在后來影響很大，清代數(shù)學(xué)著作涉及寫算的很多［21］。在《綴術(shù)》中稱為“方格捷法”，使人們對“鋪地錦”有了新的認(rèn)識?！胺礁窠莘ā钡闹匾饔迷谟?，一是在方格內(nèi)可進(jìn)行齊母通分再相加減的操作，二是在方格內(nèi)通過虛線的聯(lián)結(jié)即把相同率名的算式放一起，便于進(jìn)行同類項的合并。

3.4 尾數(shù)的截留

一般而言，尾數(shù)的截留包括兩個方面：項數(shù)的截留（即算至哪一項停止）和奇零小數(shù)的處理（即實際應(yīng)用時對小數(shù)的處理）。在《綴術(shù)》中，有六處專論尾數(shù)截留的問題，多出現(xiàn)在左潛的“案語”中。如在“弦求矢式”中，“用比例法求其三率五率，以下各式列之，至十一率止。十一以下連綴不盡，今每式止求五位，故尾數(shù)截去不用也”［18］。求五位是指只求三率、五率、七率、九率和十一率。若半徑取1，則從首項開始得數(shù)即為小數(shù)。在實際運算中，當(dāng)取偶數(shù)各率時到?10，取奇數(shù)各率時，到?11止［4］674。左潛在《綴術(shù)釋明》中指出：“求至十一率止，以下截去不用，緣級數(shù)式不必多求也”［22］，把原來的“各率式”視為“級數(shù)式”，他們已認(rèn)識到級數(shù)展開式的項數(shù)是“無窮無盡”的。早在《測圓密率》的每術(shù)之后，徐有壬就有“如是遞求，至單位下而止”的表述，這一點和明安圖的表述相同，即求至出現(xiàn)小數(shù)時停止計算。

可見，徐有壬在一開始就指出各率式是“連綴不盡”的，并在計算之前就規(guī)定了求至十率或十一率，不關(guān)注各率式中數(shù)值的變化，也不關(guān)注求至十率或十一率后造成的誤差問題。但是，徐有壬對“連綴不盡”和“級數(shù)式”等的表述，說明了他對級數(shù)“無窮無盡”的更深層次的認(rèn)識。戴煦對這一問題則給出更為詳細(xì)地分析和說明。

3.5 連綴而下與斜綴而下

在《綴術(shù)》卷二中，“求式者連綴而下，連比例各率之式”，即是利用連比例關(guān)系求出各率式之系數(shù)，從而將“式”變?yōu)椤靶g(shù)”。從卷四“大小八線相求各式”起，排列方式也發(fā)生了變化，由“豎列之”調(diào)整為“橫列之”，“因各算式太繁，故改用橫列”［18］，原豎列的各算式中率數(shù)為單層即單項式，當(dāng)率數(shù)變?yōu)槎鄬蛹炊囗検降臅r候，豎列的方式不便于表達(dá)。對于“橫列”后如何表達(dá)，徐有壬亦有詳細(xì)介紹：“其率上旁書者為累除法，率下算式為乘數(shù)，與前各式例同，其乘數(shù)有數(shù)層者，非累乘法數(shù)，乃天元式也?！保?8］雖調(diào)整排列方式前后各式大體相同，均有三部分構(gòu)成，對于構(gòu)成要素來講，卻有很大變化。豎列時的各算式由率名、率數(shù)和寄母構(gòu)成，橫列后的各算式由率名、累乘法和累除法構(gòu)成，率名的奇偶不同所表達(dá)的意義也不同?！袄鄢ā奔聪禂?shù)的分母，“累乘法”的表達(dá)較為復(fù)雜，若為單層（即單項式）時與豎列的情形相同，若為多層（即多項式）時需用天元術(shù)的表達(dá)方式。

徐有壬為何提出“斜綴而下”？一是在方格中進(jìn)行各算式或各率式的加減和率式的自乘（即“鋪地錦”方法）；二是計算含有加減差的各率式時，計算量較大，通過“斜綴而下”可驗證或直接給出該率式中后續(xù)幾項?？梢姡靶本Y而下”是由方格的形式或豎列形式所帶來的結(jié)果，如果換為橫列的形式，以天元式表示，這一效果并不明顯，但徐有壬并非發(fā)現(xiàn)某種對應(yīng)后就以“斜綴而下”作為立術(shù)的依據(jù)，而僅是將“斜綴而下”作為驗證的方法。一般情況下，“連綴而下”指同一率式，“斜綴而下”指不同率式，因含有加減差，前者只關(guān)注率名的變化而不關(guān)注其它變化，后者不僅關(guān)注率名而且關(guān)注各算式中分母的變化規(guī)律。但需要注意的是，“連綴而下”和“斜綴而下”均包含了徐有壬對級數(shù)展開中“無窮無盡”的把握，并非完全直觀層面上的認(rèn)識。

4 因式立術(shù)，由術(shù)立法

“是故‘綴術(shù)’之生，因于明氏而又足以盡明氏之變，明氏之未能立式也。試取明氏書馭之以‘綴術(shù)’，其遞降各率，頃刻可求”［23］，顯然，左潛把徐氏“綴術(shù)”視為一種推求方法。以往對《綴術(shù)》的研究中，更多的是將“綴術(shù)”視為一種表達(dá)相關(guān)運算操作的方法。

從形式上來看，徐有壬接觸并深入研讀了《四元玉鑒》后，使用了其中的術(shù)語和表述方式，指出了“借根方”在表達(dá)大小八線相求等問題上的局限性，即分母為多項式時無法有效表達(dá)。同時，西學(xué)作為“他者”，徐有壬等人不僅對西學(xué)作出了回應(yīng)，而且重新審視了中算。中算家的級數(shù)表達(dá)式至徐有壬才開始趨于符號化［24］32，“綴術(shù)”的影響比微積分方法的影響更深遠(yuǎn)。如，左潛于《代微積拾級》《代數(shù)術(shù)》等書出版以后孜孜不倦地發(fā)揮徐氏“綴術(shù)”，又如，一些中算家在比較了“綴術(shù)”和“微積分”之后，明知微積分有許多優(yōu)越性，卻試圖把微積分和“綴術(shù)”放在同樣的位置上，究其心理正在于“綴術(shù)”為“國粹”［25］。

從方法上來看，《綴術(shù)》中徐有壬將“式”（算式）化為“術(shù)”，試圖確定展開式中的每一項均以其前若干項的多項式形式表達(dá)的遞推規(guī)律［6］87，再由此遞推求得展開式任意項的表達(dá)式?！熬Y術(shù)”是《綴術(shù)》中“比例商除法”“還原術(shù)”和“借徑術(shù)”的總括［26］，把幾種運算手段有機(jī)地結(jié)合起來，建立一種演繹體系［26］64?！熬Y術(shù)”雖只是其表現(xiàn)形式，究本質(zhì)而言，當(dāng)為無窮級數(shù)遞推研究［24］。至于“綴術(shù)”的計算，是通過對原算題的變式從原算法基礎(chǔ)上推衍出新的算法，前提則是根據(jù)各率式結(jié)構(gòu)的不同，即是否含有加減差先求得各率式，于是各率式的分母有法可尋，而其分子無法可依。

“因式立術(shù)”是建立在“算式”的基礎(chǔ)上，用“綴術(shù)”處理級數(shù)問題的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，“術(shù)”是在“式”的基礎(chǔ)上提煉而出的［6］92。其中的算式實指單項式，各率式實指多項式或無窮級數(shù)，“術(shù)”為一般的無窮級數(shù)。整數(shù)的一些性質(zhì)確實能夠“移植”到多項式上來［27］，反過來，整式到整數(shù)也可以進(jìn)行形式轉(zhuǎn)換。徐氏之本意是由單一的形式完全統(tǒng)一起來，從而形成一個相互依賴的比較嚴(yán)密的新體系，從整體上研究進(jìn)而尋求統(tǒng)一的作法。

5 結(jié)語

如上所述，徐有壬創(chuàng)造“綴術(shù)”與他剛開始接觸四元術(shù)有關(guān)，“綴術(shù)”即為天元術(shù)的變形，其最終目的是以“綴術(shù)”來實現(xiàn)“因式立術(shù)，由術(shù)立法”，其中的算式指單項式，率式指多項式或無窮級數(shù)，“綴術(shù)”則是將“級數(shù)式”作為一個整體入算，借助四種計算方法推求級數(shù)展開式?！熬Y術(shù)”除了作為一種級數(shù)表示法之外，更是一種運算方法，“連綴而下”即遞推，“綴”是形，“術(shù)”是質(zhì)，“綴術(shù)”的質(zhì)是由“綴術(shù)”的形——連綴之形來反映，而“綴術(shù)”的形須由“綴術(shù)”的質(zhì)才能顯現(xiàn)。概言之，其本質(zhì)是以算式和率式為基礎(chǔ)的連綴而成的運算方法?！耙蚴搅⑿g(shù)，由術(shù)立法”則表明了徐有壬在探求內(nèi)在原理時，欲將單項式與多項式推廣至無窮多項，從而使算式與各率式滿足級數(shù)式的相關(guān)條件。