絕對(duì)微分學(xué)的建立與黎曼幾何學(xué)

陳惠勇

（江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江西 南昌330022）

1 曲面幾何學(xué)之起點(diǎn)

黎曼幾何學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支和領(lǐng)域，如果以1854年黎曼就職演講“論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)”為產(chǎn)生標(biāo)志，至今已有近170年歷史，思想起源則更早，其深刻的思想與幾何學(xué)、物理學(xué)、哲學(xué)密切關(guān)聯(lián)［1］。

曲面幾何學(xué)的起點(diǎn)是高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）的曲面理論（測(cè)地之學(xué)）。高斯的大地測(cè)量工作，本質(zhì)上是度量地球表面（彎曲的曲面）任意兩點(diǎn)之間的最短距離，這種度量只與曲面本身相關(guān)而與其外在的空間無(wú)關(guān)，這就促使高斯思考這樣的問(wèn)題——“我們是否可以從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀”？這種思考具有本質(zhì)的意義，這是高斯內(nèi)蘊(yùn)微分幾何思想的出發(fā)點(diǎn)，高斯正是從這個(gè)想法出發(fā)得到了大地測(cè)量中的重大發(fā)現(xiàn)——三角形內(nèi)角之和大于180°，并思考這個(gè)不等量（三角形內(nèi)角和與180°之差的盈余或虧損）之本質(zhì)這一深刻問(wèn)題，高斯1827年3月1日給奧伯斯的信中說(shuō)道：“科學(xué)的尊嚴(yán)要求我必須清楚地理解這個(gè)不等量的本質(zhì)?！?/p>

從現(xiàn)代微分幾何學(xué)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，高斯的大地測(cè)量本質(zhì)上是度量曲面上（地球表面）與外在空間無(wú)關(guān)的兩點(diǎn)之間的最短距離（弧度）問(wèn)題，這就很自然地得出測(cè)地線(xiàn)的概念，即“在一個(gè)給定曲面上的關(guān)于最短路徑的理論”，而這一不等量的本質(zhì)就是著名的（高斯稱(chēng)之為曲面理論中最優(yōu)美的定理）Gauss-Bonnet定理：對(duì)于E3中曲面M上的“小”測(cè)地三角形 Δ，其內(nèi)角為α，β，γ，則即這一不等量的本質(zhì)為“曲面上由測(cè)地線(xiàn)圍成的三角形中，其內(nèi)角和與180°之差的盈余（或虧損）等于高斯曲率在該區(qū)域上的積分；若該曲面為常曲率曲面，則該盈余（或虧損）就等于區(qū)域的面積與該曲率之乘積”。因而，對(duì)于三維常數(shù)高斯曲率空間，有以下三種情形：曲率為正常數(shù)——黎曼非歐幾何（球面幾何，三角形內(nèi)角和大于180°）；曲率為負(fù)常數(shù)——羅巴切夫斯基非歐幾何（雙曲幾何，三角形內(nèi)角和小于180°）；曲率恒等于零——?dú)W幾里得幾何（三角形內(nèi)角和等于180°）。高斯曾稱(chēng)曲率為負(fù)常數(shù)的幾何為“星空幾何”，羅巴切夫斯基也堅(jiān)信自己發(fā)現(xiàn)的新幾何總有一天“可以像別的物理規(guī)律一樣用實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)”。愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論恰好揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最精彩的例子之一。

2 曲面理論高維推廣之基本問(wèn)題

1854年7月10日，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（Bernhard Riemann，1826－1866）在哥廷根大學(xué)哲學(xué)系發(fā)表了著名的就職演講——“論奠定幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)”。在這篇論文中，黎曼在幾何學(xué)歷史上第一次明確指出：“（以往）幾何學(xué)把空間的概念以及在空間中作圖的基本規(guī)則這二者都預(yù)設(shè)為某種給定了的東西。它給出它們的定義只是名義上的，而其實(shí)質(zhì)的規(guī)定則是以公理的形式出現(xiàn)。從而這些預(yù)設(shè)的關(guān)系仍然處于黑暗之中?！保?］243黎曼將要解決的根本問(wèn)題就是要厘清這種“處于黑暗之中”的預(yù)設(shè)關(guān)系，黎曼將“空間的概念”從一般的量的概念出發(fā)構(gòu)造了“多重延伸量”的概念，即所謂“流形”，并由此得出一“多重延伸量”可以有不同的度量關(guān)系，從而得出了不同的“在空間中作圖的基本規(guī)則”。黎曼引進(jìn)了如下的黎曼度量

（1）高斯曲率概念的高維推廣。對(duì)于三維空間中的二維常曲率流形，黎曼給出了空間本質(zhì)的幾何解釋并給予可視化的解析［1－2］，那么，在高維情形下的空間本質(zhì)如何刻畫(huà)？

（2）在高維空間中，度量為二次微分形式∑gikduiduk的流形，其曲率張量如何表示？

i，j

這就必然導(dǎo)致一整套所謂張量分析的工具與方法，Ricci和Levi-Civita發(fā)展了黎曼幾何張量微積分，其形式基本上沿用至今，這構(gòu)成了愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

3 絕對(duì)微分學(xué)的建立與空間彎曲狀況之?dāng)?shù)學(xué)描述

3.1 絕對(duì)微分學(xué)的建立

設(shè)gik=gki是n個(gè)變數(shù)u1，u2，…，un的函數(shù)，則稱(chēng)為二次微分式，研究有關(guān)這種形式變換理論的學(xué)科稱(chēng)為絕對(duì)微分學(xué)（張量計(jì)算法或Ricci微分學(xué)）。最早研究該理論的是Christoffe（l1869），后來(lái)繼續(xù)研究的是意大利學(xué)者G.Ricci-Curbastro和他的學(xué)生T.Levi-Civita。1900年G.Ricci-Curbastro和T.Levi-Civita接受F.Klein的邀請(qǐng)，把他們歷年研究的內(nèi)容整理成綜合報(bào)告《Methodes de calcul differential absolus et leur applications（絕對(duì)微分學(xué)的方法及其應(yīng)用）》發(fā)表于Mathematische Annalen《數(shù)學(xué)年鑒》（Vol.54，1901），成為張量分析的經(jīng)典著作，為張量分析和拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展開(kāi)辟了道路。它不僅給出了這一算法的綜合論述，而且還用這一獨(dú)特算法給出在歐氏和非歐氏空間，特別是黎曼彎曲空間下的幾何性質(zhì)和物理規(guī)律的表示。

1923年，Levi-Civita（列維-齊維塔）完成著作《絕對(duì)微分學(xué)》（The absolute differential calculus），這本書(shū)吸收了當(dāng)時(shí)一些人的成果，對(duì)1901年與Ricc（i里奇）合寫(xiě)的文章進(jìn)行改善和補(bǔ)充，并增加了平行性理論和相對(duì)論的內(nèi)容。1931年，中國(guó)學(xué)者湯璪真先生翻譯了本書(shū)并由商務(wù)印書(shū)館出版［3］。全書(shū)內(nèi)容共九篇：第一篇“張量代數(shù)的基礎(chǔ)”，第二篇“二次微分式之幾何學(xué)”，第三篇“共變導(dǎo)數(shù)，不變量之微分參數(shù)，位置最短坐標(biāo)”，第四篇“Riemann曲率張量M n之曲率，Ricci與Einstein記號(hào)”，第五篇“用兩種量性張量之V n有常數(shù)曲率之M n”，第六篇“類(lèi)零及類(lèi)一之二次微分形式”，第七篇“M n上之曲線(xiàn)叢”，第八篇“力學(xué)及幾何光學(xué)之發(fā)展與Einstein氏四度宇宙之關(guān)系”，第九篇“引力方程及普遍相對(duì)論”。Levi-Civita的《絕對(duì)微分學(xué)》所涉范圍之深廣，使得本書(shū)成為該領(lǐng)域的經(jīng)典。

3.2 空間彎曲狀況之?dāng)?shù)學(xué)描述

張量微積分的繁榮及其在微分幾何、力學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用主要是由于愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論的影響。1913年，該理論的“權(quán)威版本”出現(xiàn)在1916年《物理學(xué)年鑒》（Annalen der Physik）上一篇如今已成為經(jīng)典的論文《Die Grundlagen der allgemeinen relativit?ts theorie》。正是愛(ài)因斯坦的蘇黎世同事Marcel Grossmann向他指出，他的理論的數(shù)學(xué)工具可以在一篇題為《Méthodes de calcul differentiel absolu（絕對(duì)微分學(xué)方法）》的論文中找到，這篇論文發(fā)表于1901年的Mathematischen Annalen，作者是帕多安的數(shù)學(xué)家Gregorio Ricci-Cubastro和Tullio Levi-Civita。愛(ài)因斯坦從這篇論文中獲得了他所需要的數(shù)學(xué)靈感，將這個(gè)新工具命名為“張量微積分”。就像開(kāi)普勒在阿波洛尼烏斯的《圓錐曲線(xiàn)論》中發(fā)現(xiàn)了他的行星理論所需要的數(shù)學(xué)一樣，愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)了一個(gè)寶藏，這個(gè)寶藏對(duì)他的廣義相對(duì)論來(lái)說(shuō)是無(wú)價(jià)之寶。有了它，他把時(shí)空和引力的物理學(xué)放進(jìn)了四維黎曼流形V4的框架之中，也就是，它有一個(gè)坐標(biāo)系x k和一個(gè)用二次微分形式表示的度量關(guān)系的一個(gè)拓?fù)淞餍危摱挝⒎中问綖?/p>

其中g(shù)λμ是x k的函數(shù)（在愛(ài)因斯坦的理論中n=4）。這樣的n-維流形是黎曼于1854年在他的就職演講“Habilitationsvortrag”中首先提出的，并由Ε.B.Christoffel和其他一些人進(jìn)一步發(fā)展的。

一個(gè)帶坐標(biāo)系x k的拓?fù)淞餍畏Q(chēng)為X n。 坐標(biāo)變換可以用x k′=x k′(x k)表示，并因此得到了微分的線(xiàn)性變換

在每一點(diǎn)P的鄰域附近，X n定義了一個(gè)仿射空間A n。通過(guò)在X n中引入度量ds2，這個(gè)X n就成為黎曼流形V n，而當(dāng)ds2可以簡(jiǎn)化為n個(gè)微分的平方之和時(shí)，局部的A n就成為歐幾里得空間R n。

在這樣一個(gè)Rn中，可以用通常的方式定義向量及其推廣形式，如線(xiàn)性向量函數(shù)、二重向量、張量等。通過(guò)V n，可以在所有點(diǎn)上定義這樣的量，因此作為一個(gè)向量場(chǎng)或張量場(chǎng)?，F(xiàn)在暫時(shí)忽略ds2，考慮在每一點(diǎn)處的仿射空間A n，可以區(qū)分協(xié)變和逆變量。對(duì)于一個(gè)逆變向量場(chǎng)（contravariant vector field）v k，Ricci張量微分表示如下

對(duì)于協(xié)變向量場(chǎng)（covariant vector field）

對(duì)于更一般的混合張量則表示為

Ricci談到了階數(shù)為1，2，…，n的張量。稱(chēng)這些為一階、二階、三階張量等等。

引入ds2后，X n變成了V n，協(xié)變和逆變將被聯(lián)系起來(lái)。因而，就可以像在普通的向量分析中一樣，在協(xié)變和逆變項(xiàng)不需要出現(xiàn)的情況下識(shí)別它們

其中g(shù)λμ為gλμ的逆，而為單位張量（=1，=0，等等）。

張量與Rn中的向量一樣，與它們最初定義的特定坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，從而確定幾何的對(duì)象：矢量是箭頭，二階對(duì)稱(chēng)張量是一個(gè)二次型，二階反稱(chēng)張量pλμ=－pμλ是線(xiàn)性復(fù)形（linear complexes），等等。它們還可以代表力學(xué)和物理中的對(duì)象，這就是張量在愛(ài)因斯坦理論中如此有效的原因。

這種幾何解釋強(qiáng)烈地吸引著Schouten這樣有工程頭腦的人；它對(duì)Monge-Darboux學(xué)派的數(shù)學(xué)家也很有吸引力，因?yàn)樗麄兞?xí)慣于思考幾何形式的分析表達(dá)式（即微分方程）。這一學(xué)派的成員可以算上Elie Cartan，他為微分幾何和張量微分學(xué)做出了巨大貢獻(xiàn)。

關(guān)于張量場(chǎng)的微分產(chǎn)生了一個(gè)困難。這在普通微積分中是沒(méi)有問(wèn)題的，因?yàn)樵赗 n中的向量場(chǎng)vˉ(x i)中：可以通過(guò)從一個(gè)向量vˉ 到一個(gè)“相鄰”向量vˉ′的平行移動(dòng)，并測(cè)量vˉ′－vˉ=dvˉ。 由此可得 ?vˉ，? 是微分的哈密爾頓“納布拉（nabla）”符號(hào)。另一方面，在黎曼空間V n中，無(wú)論是?k v k還是dv k=(?k vk)dxμ都是張量（除非Ρ和Φ為常數(shù)）。Ricci克服了這個(gè)困難，他利用了一個(gè)歸功于克里斯托費(fèi)爾的表達(dá)式，即

他稱(chēng)之為協(xié)變微分（covariant differential）。這里是克里斯托費(fèi)爾符號(hào)，它取決于gλμ某些一階導(dǎo)數(shù)。這里的δv k有和協(xié)變導(dǎo)數(shù)一樣的張量性質(zhì)

同樣的，

?μ的行為就像協(xié)變向量。有作者用v，k μ表示?μv k。Ricci自己省略了逗號(hào)而讓上下文來(lái)解釋?zhuān)@就發(fā)生了分化。Γ關(guān)于指標(biāo)μ和λ是對(duì)稱(chēng)的，因此有Γμλ=Γμλ。從這里現(xiàn)在可以通過(guò)協(xié)變微分來(lái)導(dǎo)出各種張量，例如

高斯1826年關(guān)于曲面微分幾何的論文決定性地影響了黎曼①中譯本：C.F.Gauss.關(guān)于曲面的一般研究［M］，陳惠勇，譯.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2016.，他強(qiáng)調(diào)了曲面V2的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì)，即諸如度量ds2和測(cè)地線(xiàn)在不拉伸或撕裂的彎曲變形下不變的性質(zhì)；他還表明，曲面上每一點(diǎn)處的高斯曲率K在彎曲變換下是一個(gè)不變量。對(duì)于空間V n，n＞2，這一曲率K將被Riemann-Christoffel張量Kμλνκ所取代，該張量?jī)H依賴(lài)于gλμ的第一和第二階導(dǎo)數(shù)（或相當(dāng)于Γ及其一階導(dǎo)數(shù)）。對(duì)于這個(gè)張量，下面的方程成立。

上述第一式表示Riemann-Christoffel張量Kμλνκ的對(duì)稱(chēng)性和反對(duì)稱(chēng)性，另一等式即為第一Bianchi恒等式。這給出了個(gè)分量，因此當(dāng)n=2時(shí)給出1個(gè)分量（與高斯曲率κ成比例），當(dāng)n=3時(shí)給出6個(gè)分量，當(dāng)n=4時(shí)給出40個(gè)分量（這就是廣義相對(duì)論的情形）。在局部坐標(biāo)系下，Riemann-Christoffel張量Kμλν（κ也記作Rμλνκ）可以表示為

在高維空間中，曲率張量是一個(gè)非常復(fù)雜的量。對(duì)二維曲面（即n=2時(shí)），曲率張量只有一個(gè)實(shí)質(zhì)分量K1212，而曲面的高斯曲率κ可表示為（K1212與κ成比例）

在愛(ài)因斯坦的理論中，收縮曲率張量Kμλ=Kλμ=Kκλμνgκ（ν也記作Rμλ）起到了至關(guān)重要的作用。對(duì)于一般情形的n，Riccci和Levi-Civita已經(jīng)使用張量微積分，如上所述，1901年已應(yīng)用于物理、力學(xué)和微分幾何學(xué)之中。

由于張量分析研究共變的關(guān)系，即從一個(gè)坐標(biāo)系變到另一個(gè)坐標(biāo)系后仍然保持不變的關(guān)系，這一性質(zhì)在相對(duì)論中有重要意義。在相對(duì)論中觀(guān)測(cè)者的坐標(biāo)系各不相同，而客觀(guān)的物理規(guī)律對(duì)每一觀(guān)測(cè)者都成立，這一特征使絕對(duì)微分學(xué)成為愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論有效的數(shù)學(xué)工具。從1901年至1905年，張量分析的研究只限于極少數(shù)的數(shù)學(xué)家。1916年愛(ài)因斯坦發(fā)表了《廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)》一文，成功地運(yùn)用這一理論表述他的廣義相對(duì)論，論文幾乎用一半篇幅解說(shuō)這種絕對(duì)微分學(xué)，即該文之第二部分“B.建立廣義協(xié)變方程的數(shù)學(xué)工具”［4］342－367。“張量分析”這一名稱(chēng)就是他首先開(kāi)始使用的。愛(ài)因斯坦的工作使張量分析和黎曼幾何引起世人的注意，促進(jìn)了它們的發(fā)展。

作為絕對(duì)微分學(xué)最重要的應(yīng)用，著名的例子就是愛(ài)因斯坦利用張量分析的工具與方法導(dǎo)出了著名的廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程［4］326－330

其中：gμν是黎曼度規(guī)張量，Rμλ為黎曼曲率張量Rμλνκ縮并，T是物質(zhì)的能量張量的標(biāo)量，Tμν是物質(zhì)的能量張量。

4 平行移動(dòng)概念與黎曼曲率張量之幾何直觀(guān)

1917年的一項(xiàng)新發(fā)現(xiàn)大大拓寬了張量微積分的研究范圍和應(yīng)用范圍。這就是Levi-Civita提出的現(xiàn)在以他的名字命名的平行性的概念，其意義在于它給出了協(xié)變微分的幾何解釋。Levi-Civita于1917年發(fā)表了論文《關(guān)于黎曼幾何學(xué)里的平行性概念》。這是相對(duì)論之后張量分析中的第一個(gè)革新，這篇論文給當(dāng)時(shí)主要作為分析理論研究的黎曼幾何學(xué)恢復(fù)了幾何學(xué)面目，并使黎曼空間具有明顯的幾何意義而易于理解。在文章中，他改進(jìn)了Ricci的一個(gè)想法，引進(jìn)現(xiàn)在仍以他的名字命名的向量的平行位移或平行轉(zhuǎn)移概念，這一概念說(shuō)明了黎曼空間中平行向量的涵義。

在黎曼空間中，平行性定義如下：當(dāng)空間中的一個(gè)向量在其起點(diǎn)沿一條測(cè)地線(xiàn)作平行于它自身的移動(dòng)時(shí)，該向量同測(cè)地線(xiàn)（測(cè)地線(xiàn)的切線(xiàn)）必須仍然交成相同的角。特別地，測(cè)地線(xiàn)的一條切線(xiàn)沿這測(cè)地線(xiàn)移動(dòng)時(shí)保持同它自己平行，這就是所謂的列維-齊維塔平行性。

如所知，歐氏空間上向量的平行移動(dòng)是保持其長(zhǎng)度和方向不變的，而在一般彎曲的二維曲面上向量沿某一閉合曲線(xiàn)作平行移動(dòng)一周，回到起點(diǎn)時(shí)一般來(lái)說(shuō)方向會(huì)改變，其本質(zhì)就是曲面之曲率不為零——即空間是彎曲的！有如下的曲率概念：任意矢量沿曲面上無(wú)限小的閉曲線(xiàn)平行移動(dòng)后的角度虧損對(duì)閉曲線(xiàn)所包圍的面積的導(dǎo)數(shù)，即為該二維曲面在該點(diǎn)處的曲率，即標(biāo)量曲率

該結(jié)論有三層含義：曲率是局部的，隨點(diǎn)位置的變化而變化；曲率的定義依賴(lài)于一個(gè)二維曲面；曲率的定義與某個(gè)角度虧損有關(guān)。

將這一概念推廣到n維流形，考慮n維流形中的矢量V在P點(diǎn)附近，由坐標(biāo)xμ和xν表示的曲面上沿著dxμ，dxν，－dxμ，－dxν圍成的四邊形回路（n維流形的一個(gè)二維子流形）平行移動(dòng)的情形。當(dāng)V繞回路一圈返回原點(diǎn)時(shí)得到一個(gè)改變量δV，類(lèi)比于二維曲面標(biāo)量曲率的定義，矢量的這個(gè)增量δV應(yīng)該正比于平行移動(dòng)的路徑所圍成的面積dxμdxν，增量δV的逆變分量δVα有如下關(guān)系

其中的比例系數(shù)即為黎曼曲率張量，幾何圖示見(jiàn)圖1［5］。

圖1 黎曼曲率張量和平行移動(dòng)的關(guān)系Fig.1 The relationship between Riemannian curvature tensor and parallel translation

5 結(jié)語(yǔ)

縱觀(guān)數(shù)學(xué)的歷史，對(duì)解析表達(dá)式的幾何解釋不止一次被證明是極其有效的。笛卡爾在“古典幾何”和“現(xiàn)代代數(shù)”之間的聯(lián)系（即坐標(biāo)幾何），或者閔可夫斯基在狹義相對(duì)論中對(duì)時(shí)空的四維解釋就是如此。愛(ài)因斯坦在導(dǎo)出了著名的廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程時(shí)曾感慨道：“至此，作為邏輯構(gòu)造，我終于完成了廣義相對(duì)論?！保?］329在回顧這段歷史時(shí)，愛(ài)因斯坦坦率地承認(rèn)了他過(guò)去輕視數(shù)學(xué)是一個(gè)極大的錯(cuò)誤，他反省道：“在幾年獨(dú)立的科學(xué)研究之后，我才逐漸明白了在科學(xué)探索的過(guò)程中，通向更深入的道路是同最精密的數(shù)學(xué)方法聯(lián)系在一起的。”

如上表明科學(xué)之終極形式必定是數(shù)學(xué)?？茖W(xué)之?dāng)?shù)學(xué)化以及數(shù)學(xué)與自然科學(xué)之關(guān)系，正如萊布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646－1716）所說(shuō)的那樣“：As God calculates，so the world is made.”（上帝算，天地生）?？茖W(xué)發(fā)展的歷史再一次印證了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信念——“萬(wàn)物皆數(shù)，數(shù)字跟空間結(jié)合在一起就產(chǎn)生出宇宙萬(wàn)象”。