劉彝程《九章實(shí)義》研究

李方方，郭世榮

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，呼和浩特010022）

劉彝程（1837？—1920？）［1－4］，字省庵（菴）［5－6］，號醒庵［7－9］，①田淼根據(jù)劉彝程的經(jīng)歷及其父親的生平年代推算他生于1835年左右；李迪、查永平給出劉彝程生于1833年左右；楊抱樸根據(jù)鹿傳霖在《簡易庵算稿》序言中說“當(dāng)是時，余與君皆少壯耳”推斷兩人生于同年，即1836年。劉彝程父親劉熙載生于1813年，根據(jù)他的生平活動來看，1847－1856年多數(shù)時間他居住在北京，尤其自1850年起，有他逐年在京任職、參加考試等記載。1856年年底，劉熙載以病乞假回興化，此后六七年間，四處設(shè)館授徒，以維持生計(jì)。劉彝程自言“弱冠從父學(xué)習(xí)天元正負(fù)歌”，從鹿傳霖序文又可看出，劉熙載至少在1857至1858年于山東、定興設(shè)館授徒時有帶劉彝程在身邊，因此筆者推斷劉彝程從父學(xué)習(xí)時間應(yīng)不早于1856年、不晚于1858年。即其生年為1837年左右。學(xué)者多稱劉彝程字為“省庵”。“菴”為“庵”的異體字，李善蘭至華蘅芳信件中有“劉彝程省菴”之稱，華蘅芳在《微積溯源》序言中有“劉君省菴”之稱。劉彝程的“割圓闡率自識”、胡傳1870年日記、上?？h續(xù)志均有“醒庵”之稱。江蘇興化人。其父劉熙載（1813—1881）是清末著名學(xué)者，文藝?yán)碚摷?、教育家、書法家。劉彝程曾任上海廣方言館算學(xué)教習(xí)（1873春—1904？）、上海求志書院算學(xué)齋齋長（1875—1898冬），在數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育方面深有研究，為晚清數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)教育的發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)，是清末重要數(shù)學(xué)家之一。

《九章實(shí)義》（1901）全名《簡易庵九章實(shí)義》，是劉彝程應(yīng)友人之邀為初學(xué)者編寫的一部算書。此書與劉彝程代表作《簡易庵算稿》（1900）均冠名“簡易庵”，是因劉氏“闡發(fā)算理，以簡易為上，曩嘗顏所居曰‘簡易庵’，今即以名所著吁”［3］。兩書因書名、卷數(shù)、刊印時間相近，部分學(xué)者將二者誤認(rèn)為是同一著作［10］，這是《九章實(shí)義》早年鮮為人知的原因。時至今日，學(xué)界對《九章實(shí)義》的介紹依然很少，主要原因在于：《簡易庵算稿》是劉彝程二十余年“心目所注”的集成，江南制造局曾刊印多次，流傳甚廣，且涉及數(shù)學(xué)知識較深，代表了劉彝程數(shù)學(xué)研究的最高成就，學(xué)者提及劉彝程必言此書；《九章實(shí)義》是為初學(xué)者所寫，從其書名與目錄來看，容易讓人誤以為是對《九章算術(shù)》內(nèi)容的重組，因而不被學(xué)者所重視。

事實(shí)上，《九章實(shí)義》將西方傳入的比例知識與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)相結(jié)合，使中西數(shù)學(xué)融為一體，其“西算分類方式是中國數(shù)學(xué)完全由傳統(tǒng)過渡到近代的一個標(biāo)志”［11］。觀其內(nèi)容，涵蓋了初等計(jì)算知識以及當(dāng)時盛行的勾股和較術(shù)、勾股測圓術(shù)、垛積術(shù)、方程等知識，條理清晰、分類得當(dāng)，論述有詳有略，不僅可使讀者“簡而易舉”，亦為讀者留有足夠的“探索”空間。

1 《九章實(shí)義》的成書過程及編纂思想

1.1 成書過程

劉熙載的好友郭嵩燾（1818—1891）于1876年奉旨帶留學(xué)生出訪英國，過上海時問劉彝程：“行攜有出洋學(xué)生將使學(xué)算，宜以何書入門？”答：“向乏善本，無已，惟有自著。”［12］郭嵩燾囑咐劉氏盡快寫成，愿為之刊刻。1879年，郭嵩燾回國，劉彝程因還未編好深感抱歉，許以異日，而后又因“主上海求志書院算席、兼課廣方言館算學(xué)生講授”［12］，課務(wù)繁重，無暇顧及，此事便暫且擱置。1899年，劉彝程將自己在上海求志書院任職期間的歷年算稿精選集成《簡易庵算稿》，請好友鹿傳霖（1836—1901）為之作序。鹿傳霖見后稱善，并自比李光地，建議劉彝程編寫“算學(xué)簡要門徑之書，以嘉惠來學(xué)?！保?］劉彝程從教二十余年，所見算書無數(shù)，但“求其淺近易學(xué)、可以入門而無弊者，則罕見之”，為此他深感遺憾，“嘗欲自著一書，引申淺近算理、藉示初學(xué)津梁”，種種原因一直未能完成。［12］劉彝程“常耿耿負(fù)郭公之厚意，至是又懼無以報鹿公，遂乃屏絕塵事，”［12］歷時半年，撰成《九章實(shí)義》。

1.2 編纂思想

上海廣方言館算學(xué)課程規(guī)定“學(xué)習(xí)算術(shù)，無論筆算、珠算，先從加、減、乘、除、開方入手。中算則熟習(xí)算經(jīng)十書，前賢代有著述，皆可瀏覽。西算則幾何、重學(xué)、代數(shù)諸書，循序而漸進(jìn)焉?！保?3］由此可知，廣方言館初學(xué)算學(xué)以“九章”內(nèi)容為主。劉彝程在廣方言館任教近三十年，編寫簡要算書時首先便想到“九章”內(nèi)容較為合適，但他對“九章”的分類方式不甚贊同，認(rèn)為其分類“重復(fù)多而名實(shí)亦不甚相稱”，并指出若要講解“九章”知識，則需“運(yùn)其理而不泥其名”。［12］比劉彝程稍早的羅士琳（1789—1853）也有類似看法，他說：“‘九章’之名最古，后人不解九章，乃備數(shù)而設(shè)，遂嘩九章為牢不可破之格，膠柱鼓瑟，其謬甚矣。”［14］

羅士琳與劉彝程在用新算法統(tǒng)領(lǐng)“九章”時也有相似之處。羅士認(rèn)為：“九章”中的方田、少廣、商功、勾股問題皆可稱為“度”，即計(jì)量長短、面積、體積等幾何問題；粟布、衰分、均輸、盈朒、方程問題均可稱為“算”，即計(jì)量數(shù)目大小等算術(shù)問題。解決這些問題所依賴的加、減、乘、除等運(yùn)算，“推其原，不過以小比大、以寡比多、以虛比實(shí)、以假比真、以彼比此、以舊比新而已”［14］。若知其間比例之率，則一切問題皆可由比例之法解決，“與其因比例之不同分作九章”［14］，使其法混淆，不如將它們歸入不同的比例之中，以達(dá)到“畫一”的效果。于是，羅士琳“把比例分為十二種，對‘九章’重新排比，按問題的解法歸入不同的比例算法之下，試圖以比例的觀點(diǎn)統(tǒng)一研究數(shù)學(xué)”［15］。

劉彝程對比例的看法與羅士琳基本相同，他稱“比例為算學(xué)第一要務(wù)”“無論何題，皆可由比例而得其理”［12］。但同時他也指出：比例雖“為算法大宗，最靈最簡，以運(yùn)九章，可囊括無遺”，但若僅以比例闡釋九章，部分算理又略顯舍近求遠(yuǎn)。因比例之外的面體積之理，對“相乘、開方諸法，舍之即無由成算”；方程（指多元一次方程組）僅不便于解決開方類問題，對“九章”其他問題“無不易舉”。因而劉彝程在講解比例算法的同時，還以面體積之理講解了各種開方方法，介紹了列方程的方法以及方程運(yùn)算過程中的正負(fù)號變化問題。

可以看出，羅、劉二人均是把比例當(dāng)作一種算法工具，只是羅士琳的“目的在于利用這種工具來從整體上研究數(shù)學(xué)”［15］，劉彝程則僅是為了以之講解“九章”相關(guān)內(nèi)容。雖然，《九章實(shí)義》中也有諸如“權(quán)衡輕重”類的西算題，僅是其算理簡單、日常易見、便于初學(xué)，與劉彝程創(chuàng)作此書目的相同。

2 《九章實(shí)義》內(nèi)容分析

《九章實(shí)義》四卷，前三卷由上、下兩部分組成，第四卷由上、下、附三部分構(gòu)成。前三卷上部分和第四卷上、下部分為理論知識，對應(yīng)卷下和卷附則為理論之應(yīng)用及詳解。此書完稿于光緒辛丑（1901）夏，辛丑仲冬劉氏簡易庵石印。全書校算與繪圖由劉彝程在廣方言館的五名學(xué)生負(fù)責(zé)，校算由無錫郁贊廷耀卿、寧鄉(xiāng)戴騰奎巨蓀、泰興張文廉若泉、泰興朱鳳翔文卿四人負(fù)責(zé)，繪圖由高郵楊贊卿翊猷完成。

前文提到羅士琳曾將“九章”內(nèi)容歸于十二種比例之下，其書名曰《比例匯通》。此書分為四卷，分類方式、內(nèi)容講解均與《九章實(shí)義》不同。《比例匯通》卷一介紹了各種數(shù)學(xué)計(jì)算中用到的比例定率以及正比例、轉(zhuǎn)比例、合率比例的概念及應(yīng)用，卷二介紹了設(shè)色、雙套等九種比例，并以題詳解，卷三與卷四主要講解借根方、借根方御比例法、借根方開方知識?！毒耪聦?shí)義》卷一專講比例相關(guān)知識，論及比例的概念、性質(zhì)以及如何使用比例方法求解“九章”相關(guān)問題；卷二為面體積，給出各種開方的方法與口訣，以便易于求解“九章”有關(guān)開方的題目；卷三是方程，講解了列方程的方法以及方程運(yùn)算過程中的正負(fù)號變化問題；因勾股“題境繁多”，單列章節(jié)、分類闡釋才可統(tǒng)觀其全，于是又設(shè)卷四以比例講解勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)，并附《測圓海鏡》中部分算題進(jìn)行詳解。劉彝程自言：“維以此分類，視九章分類，較得實(shí)義”，因而此書得名“九章實(shí)義”。［12］劉彝程是否見到《比例匯通》，他未做說明，但他對比例相關(guān)知識的講解與之大不相同。

《比例匯通》給出的比例定義與《數(shù)理精蘊(yùn)》中所給相同：“凡物彼此相形，并之而用加，較之而用減，聚之而用乘，散之而用除，觀之不過兩率，然乘除之間四率之理已默寓其中?！瓱o一非由比例而得。蓋以兩數(shù)為比例，用今有之?dāng)?shù)即可以得未有之?dāng)?shù)也?！保?6《］九章實(shí)義》則給出比例更為確切的定義：“何為比例？乃以已知二件為例，而以今有之件與欲求之件比之?！辈⒅赋觥氨壤此穆史ā?，三率比例、連比例等皆與四率比例理同，知四率比例之理，則一切比例之法皆可由之而得。即《九章實(shí)義》的四率比例包含了《比例匯通》《數(shù)理精蘊(yùn)》中的十余種比例，只是在具體列式時根據(jù)題意已知與求解之間關(guān)系的不同略有變化。

為避免初學(xué)者排四率式時茫無端緒，劉彝程特創(chuàng)新法，為四率冠以“彼、即、此、必”四字，以便讀者列式時有據(jù)可循。如“已知有若干物，值若干錢，今有物求錢或今有錢求物”類題目，按劉彝程之法則排的四率分別為“彼物、既值彼錢、此物（此錢）、必得此錢（必買此物）”，彼此相對，不易混淆。計(jì)算時依“二、三率相乘，一率除之，得四率”。劉彝程將排四率式方法總結(jié)為五句口訣：“一定有求，二立名目，三加彼此，四借二率，五作一率?！倍ㄓ星?，即辨別孰為三率、孰為四率。立名目，即依次書寫一至四率之名。加彼此，即在四率名目之下分別加“彼、即、此、必”四字。此三句為簡單之題而設(shè)，也即《數(shù)理精蘊(yùn)》《比例匯通》中的正比例、轉(zhuǎn)比例可解之題。劉彝程還指出，若能熟練操作第三句，則可直接通過“彼、即、此、必”四字辨別四率，“二立名目”之條便可省去。若遇一、二率沒有明確給出題目，則需熟練掌握“四借二率，五作一率”兩句口訣。如：“設(shè)有金二千九百七十五兩，令甲、乙、丙、丁四人二八納之，問：各幾何？”劉彝程給出解法如下：

別得：由丁而上遞大四倍。乃借“一”為丁差（一差猶言一分也），則“四”為丙差，“十六”為乙差，“六十四”為甲差。各為二率，此二率皆系借數(shù)，故曰“四借二率”。次以四人之差相并，得八十五差，為一率，此一率系并成之?dāng)?shù)，故曰“五作一率”。

從上述解法可以看出，解題所需“二率”是根據(jù)題意而設(shè)的，“一率”則由“二率”而得，故稱此法為“借二率、作一率”?！稊?shù)理精蘊(yùn)》《比例匯通》中的合率比例、雙套比例等類型題目便可用此法解決。

此外，劉彝程還總結(jié)出比例的性質(zhì)四條，即，若a∶b=c∶d成立，則下列四行公式均成立。

理解比例的原理及用法，則“九章”之題均可依之解決。但“可解”不代表“最簡、最適”。劉彝程從教近三十年，有著豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對何種方法便于求解何種題目已了如指掌。因而比例之后有面體積、方程兩卷之設(shè)。

“面體積”卷主要是借面體積之理解釋各種開方問題。此卷講解了開平方、歸除開平方、開帶縱平方、開立方、開高次方的方法以及和較自乘相乘之理。其中，開平方、開帶縱平方、開立方有給出口訣，歸除開平方講解開方定位問題、和較相乘自乘之理給出三個公式，后兩法已至簡潔，不必再費(fèi)心思巧立口訣。開帶縱平方法與和較自乘相乘之理在其后的勾股卷用處廣泛，現(xiàn)對之簡單介紹。

開帶縱平方法用于解決“已知兩數(shù)之和（或兩數(shù)之較）與兩數(shù)之積（也稱長方積，兩數(shù)稱作長與寬），求兩數(shù)”的問題，此法先根據(jù)等式(x+y)2－4xy=(x－y)2或(x－y)2+4xy=(x+y)2求得兩數(shù)之較或和，再根據(jù)[(x+y)+(x－y)]/2=x；[(x+y)－(x－y)]/2=y即可求得兩數(shù)?！昂洼^自乘相乘之理”則給出三個等式：(x+y)2=x2+y2+2xy，(x－y)2=x2+y2－2xy，(x+y)(x－y)=x2－y2，(x＞y)?，F(xiàn)今稱前兩個為完全平方公式，最后一個為平方差公式。

“方程”卷所講方程僅是“多元一次方程組”內(nèi)容，主要用于求解粟米、衰分、商功、均輸、盈不足以及方程本門相關(guān)算題。此卷詳細(xì)講解了方程計(jì)算過程中的正負(fù)號變化法則，此法與劉熙載的《天元正負(fù)歌》［17］無異，僅做了略微改動。此卷所講列方程的方法、符號變化法則與今天所講多元一次方程組的應(yīng)用無太大差別，此處不再詳細(xì)介紹其內(nèi)容。方程之后還有“勾股”一卷，借助比例方法講解勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)，此卷內(nèi)容在后文詳細(xì)論述。

從前三卷的內(nèi)容安排可以看出，所講知識難度在逐步增加，比例最簡單，開方需要熟記各種口訣，方程相較而言最難理解。劉彝程在比例之后設(shè)面體積、方程兩卷，其目的是為了讀者在解題時不必局限于一種解題、計(jì)算方法，可隨題取其輕便之法為用。

3 以比例釋勾股和較術(shù)、勾股測圓術(shù)

一般認(rèn)為，勾股形知識隨著后世的發(fā)展逐漸形成三個分支：即“勾股測望術(shù)、勾股和較術(shù)、勾股測圓術(shù)”［18］，勾股卷所講為后兩種。勾股卷上開篇指出：“勾股題類繁多，且一題可求諸數(shù)，其義尤多。若一義一解，不可勝解。即便解之，頭緒綦繁，學(xué)者轉(zhuǎn)滋眩亂?！比粢U釋其中算理，“宜先握其大綱，分題為數(shù)類，一類數(shù)題，每類之題，所求不同，而立術(shù)則概不外乎公理”。此法“自古無書”，唯見項(xiàng)名達(dá)的《勾股六術(shù)》“分諸題為六種，每種共一公術(shù)，而以其異題仍可以加、減化作本題者，各附于后”。劉彝程對項(xiàng)名達(dá)總結(jié)勾股和較術(shù)為六種之舉甚是贊同，認(rèn)為“項(xiàng)術(shù)理本至公，若與之故立異同，則雖命意新奇，轉(zhuǎn)恐未恰于理”，但對項(xiàng)氏的編排方式持不同見解。

首先，《勾股六術(shù)》開篇先述六術(shù)，其后附六術(shù)中未設(shè)、使用加減運(yùn)算可化為六術(shù)已有之?dāng)?shù)題，分四類概述。劉彝程認(rèn)為，若以比例御六術(shù)，可約之為三類，分類敘述更易解釋其中算理，至于“應(yīng)以加減化作本題者，在熟于加減者，自能化得，毋庸贅述”。其次，項(xiàng)氏將算法與算理分開，即先講明六術(shù)，于其后一一作圖解。劉彝程對此很不贊同，他認(rèn)為理法不可拆分，以法明理、以理釋法，二者相輔相成，缺一不可。最后，項(xiàng)氏指出，第三術(shù)是后三術(shù)之源，以比例闡釋其中關(guān)系，則四術(shù)有一氣渾成之效果，因而在圖解之后又作“重論第四、五、六術(shù)”［19］詳述之。對此，劉彝程認(rèn)為，后三術(shù)既可用比例之理明之，圖解則略顯多余，若須證明，則可找一圖統(tǒng)領(lǐng)，不必一一作圖明之。所以，勾股卷上內(nèi)容并未原版照抄項(xiàng)氏之書，而是劉彝程經(jīng)多方考量、重新規(guī)劃，將六術(shù)以一種全新的視角介紹給讀者。即，分“勾股六術(shù)”為條段、三率比例、四率比例三類，每類數(shù)種，每種歸結(jié)為一題，給一通法，緊挨其后講明算理，繼而以理述題。如此編排，條理清晰、層次分明，使讀者“簡而易舉”，亦符合理法之設(shè)。

“條段”類為《勾股六術(shù)》前兩術(shù)。第一術(shù)用于求解“勾、股、弦，知二求三”類問題，使用勾股定理即可解決；第二術(shù)用于求解“知弦與勾股和（較），求勾、股”類問題，使用等式（1）即可。

因兩術(shù)所用等式非比例形式，因此稱之為“條段”類。劉彝程在敘述兩術(shù)的問題及解法時與項(xiàng)氏基本相同，只是項(xiàng)氏分題敘述，劉彝程則將之合為一題概述。在證明兩術(shù)所給算法，二者差異較大。項(xiàng)氏的證明沿用中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的一貫做法——使用圖形的平移、割補(bǔ)來證明，劉彝程所給證明則頗有新意。

根據(jù)《九章實(shí)義》中的敘述以及用圖，現(xiàn)用a表示勾，b表示股，則書中證明前兩術(shù)所用之圖如圖1和圖2所示。書中對“第一術(shù)”之理，即勾股定理的證明過程概略如下：

圖1是邊長分別為勾、股的兩個正方形相切，添作兩條虛線后，亦可看作是兩個長為股、寬為勾的長方形和一個邊長為勾股較（即b－a）的正方形，由此可知

圖1 證明插圖一Fig.1 Proof illustration 1

由圖2可知勾股和冪內(nèi)又四直積、一較積，“弦冪內(nèi)亦為二直積一較冪”。即：

圖2 證明插圖二Fig.2 Proof illustration 2

“依圖理，則句、股二冪和必等于弦冪，皆為二直積、一較冪故也。”即：（2）式與（4）式等號右邊相等，則等號左邊相等，即第一術(shù)得證。倍（4）式得（5）式，（3）式和（5）式左右相減得（6）式，（5）式兩邊同時減去“(b－a)2”得（7）式，因（7）式與（3）式等號右邊相等，則左邊亦相等，既得（8）式，即第二術(shù)得證。

“三率比例”的第一種是項(xiàng)氏的第三術(shù)，用于求解“知勾與股弦和（較），求股、弦；知股與勾弦和（較），求勾、弦”問題，依等式（9）和（10）即可解答。對于此術(shù)，劉彝程結(jié)合卷二所講的和較相乘之理和勾股定理進(jìn)證明，并未作圖。即：根據(jù)(x+y)(x－y)=x2－y2，(x＞y)可知(c+b)(c－b)=c2－b2.又根據(jù)第一術(shù)可知c2－b2=a2，則根據(jù)等式性質(zhì)，等式（9）得證。同理，等式（10）也可得證。

從三術(shù)證明過程可以看出，“等量代換”代數(shù)思想方法暗含其中，第三術(shù)還運(yùn)用了“平方差公式”。這表明，西方代數(shù)學(xué)知識在清末已經(jīng)全面?zhèn)魅胫袊?，亦被中國學(xué)者深入學(xué)習(xí)與理解，劉彝程便是一例。

至于第三術(shù)與后三術(shù)之間聯(lián)系，劉彝程所講內(nèi)容與《勾股六術(shù)》相差無幾，僅是在講述時將題目、解法以及每一術(shù)如何由第三術(shù)得來放在一起，限于篇幅此處不錄其具體做法，四術(shù)之間的具體變換可參加李兆華的《清代算家的勾股恒等式證明與應(yīng)用述略》一文。

闡述勾股六術(shù)之后，劉彝程指出：勾股和較之術(shù)雖明，但其間包含公式繁多，若“一一為之圖說，則頭緒繁劇，難得提綱挈領(lǐng)”，今思得《測圓海鏡》圖（即圓城圖式）“左宜右有、頭頭是道”，若于圖中增加數(shù)線，則可括勾股全義。于是，在卷四下，劉彝程為圓城圖式添作四條直線，以一圖表示出“十三率勾股形”［22］，并給出這13個勾股形十三事之間的等量關(guān)系①李兆華稱李善蘭圖中的13個勾股形為“十三率勾股形”，因劉彝程、李善蘭圖中所指勾股形相同，本文沿用此說法。。劉彝程此舉將勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)結(jié)合，相互映襯，勾股之理更加簡單明了。《九章實(shí)義》所給之圖如圖3所示，現(xiàn)根據(jù)《九章實(shí)義》中的描述，整理“十三率勾股形”十三事之間的等量關(guān)系見表1。

表1 “十三率勾股形”十三事之間的等量關(guān)系Tab.1 T he equivalent relation between the thirteen events of 13-rate pythagorean

從表1可知，每一個勾股形的十三事分別與13個勾股形的某一事（其中，△EUK和△CGU是添作GU線后構(gòu)成的，圓城圖式中原本沒有）相等，即通勾股形（△CAB，簡稱“通”，后文其他勾股形也均用其簡稱）的十三事分別與13個勾股形的弦和和相等，邊（△DAY）的十三事分別與13個勾股形的股弦和相等，……?。ā鱋XY）的十三事分別與13個勾股形的股弦較相等。以通勾股形為例，它的弦和和即其自身的弦和和，剩余十二事則分別與剩余12個勾股形的弦和和相等，即通的股弦和、弦較和、勾弦和、勾股和、弦、股、勾弦較、股弦較、弦較較、勾、弦和較、股弦較分別與邊（△DAY）、大差（△EAW）、底（△FVB）、合（△CGU）、極（△HVY）、高（△IAV）、明（△JV W）、斷（△EUK）、小差（△LXB）、平（△MYB）、虛（△NWX）、?。ā鱋XY）的弦和和相等。其余勾股形之間的等量關(guān)系類似，此處不再贅述。此外，劉彝程還總結(jié)出十條比較特殊的等量關(guān)系，即上表中的“識別要義”。

在劉彝程之前，李善蘭也曾為圓城圖式添作直線［20］，其中一條直線與圖3中的GU線相同。雖然，劉、李二人添作此線的目的都是為了在同一圖中表示“十三率勾股形”，但兩人添作的其他直線不同。李善蘭圖中還有方邊、半徑和中垂線，因無必要文字說明，此三種線的作用不明［21］。劉彝程添作的其余三條直線來源于圖4，此圖是他在講解勾股形的十三事時所給之圖（圖中表示出的“勾、股”等線段為截取，其他線段為計(jì)算所得），其目的是為了在圖中構(gòu)造全等勾股形（如△LXB和△STB，△MYB和△RHY，△RVH和△HUZ等），進(jìn)而使十三率勾股形十三率之間的相等關(guān)系更加明確。

圖3 十三率勾股形表示Fig.3 Shisanlv pythagorean’s expression

圖4 勾股和較關(guān)系Fig.4 Gougu hejiao’s expression

除表1中的等量關(guān)系外，十三率勾股形還彼此相似，因此各勾股形的十三事也相應(yīng)成比例。劉彝程認(rèn)為“《測圓海鏡》以天元御句股，誠能鉤深索隱、變化萬千”，但“治天元者，往往恃其靈妙，而貴惜其心思，遂沉溺其中、幾至廢本，法為不足道”，為“使學(xué)者知天元外、自有本法不可偏廢”，他將勾股形之間的等量關(guān)系與比例關(guān)系相結(jié)合，選《測圓海鏡》中部分算題作為卷四的附卷，借助比例算法一一求解。

劉彝程給出勾股容圓、勾上容圓、股上容圓等10道題目的解法基本相似，前3題每題兩法如下：

通三和∶倍通股=平三和∶倍平股；通三和∶倍通勾=高三和∶倍高勾。

邊股弦和∶倍邊股∶平股弦和∶倍平股；邊股弦和∶倍邊勾∶高股弦和∶倍高勾。

底勾弦和∶倍底股∶平勾弦和∶倍平股；底勾弦和∶倍底勾∶高勾弦和∶倍高勾。

可以看出，每題均是以兩個勾股形對應(yīng)之事相比，前兩率為已知勾股形之事，第三率根據(jù)十三率勾股形之間的相等關(guān)系可得，第四率則為容圓直徑。除題中所給兩法，在保證四率中有一率為容圓直徑的前提下，對應(yīng)變換一、三率或二、四率均可求解。如勾股容圓之法還可以是：

通勾股和∶倍通股=平勾股和∶倍平股；通三和∶倍通弦較和=大差三和∶倍大差弦較和。

劉彝程僅給出求解“倍平股”“倍高勾”兩法，一方面是因?yàn)榇祟愵}目在選題講解的最開始，對于讀者而言，“倍平股”“倍高勾”可直觀感受到它可代表直徑；另一方面，在劉彝程看來，“引導(dǎo)”讀者發(fā)現(xiàn)算法的立法之原比直接告訴讀者算法有什么更重要，唯有親自推演算法之間的關(guān)系，才可算是對算法真正的理解。此外對于所給條件非同一勾股形之事時，可根據(jù)表1中的相等關(guān)系，將之轉(zhuǎn)化至同一勾形中求解即可。

4 結(jié)語

綜上所述，《九章實(shí)義》內(nèi)容豐富，不僅以比例方法講解了“九章”所涉及的內(nèi)容，還介紹了開方、方程等適用于某類算題的方法，并在比例思想指導(dǎo)下將勾股和較術(shù)與勾股測圓術(shù)相結(jié)合，以一圖總括勾股全義，使兩術(shù)之算理簡單明了。通過對《九章實(shí)義》內(nèi)容的詳盡分析可以看出，此書并非是對已有數(shù)學(xué)知識的重組，它不僅講解方式獨(dú)特，其中也有不少劉彝程在知識上的創(chuàng)新，應(yīng)引起學(xué)者們的重視。