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    解一元二次方程中的誤點(diǎn)例析

    2020-03-30 09:13:54楊紅余
    數(shù)理化解題研究 2020年8期
    關(guān)鍵詞:二次方程實根判別式

    楊紅余

    (甘肅省平?jīng)鍪械谒闹袑W(xué) 744000)

    一、忽視二次項系數(shù)是否為零

    我們知道,對于方程ax2+bx+c=0,當(dāng)二次項的系數(shù)a≠0時,才能稱ax2+bx+c=0是一元二次方程.如果不注意a是否為零這個限制條件,很容易導(dǎo)致解題失誤.

    例1 關(guān)于x的方程(k-1)x2+2x+3=0,當(dāng)k為何值時,該方程

    (1)有兩個不相等的實數(shù)根?

    (2)有實數(shù)根?

    剖析原方程的二次項x2的系數(shù)是k-1,而k-1有可能是零,此時原方程不是二次方程,不能用判別式法求解.

    (2)該方程不一定是二次方程,需對k-1是否為零分類求解.

    ①當(dāng)k-1≠0時,是二次方程,由方程有實根,應(yīng)有

    二、忽視了方程的根是否是實根

    例2 如果方程2x2+(a2-3a-10)x+2a=0的兩個實根互為相反數(shù),求a的值.

    錯解設(shè)方程的兩個實根是x1和x2,由題意有x1=-x2,即x1+x2=0.

    那么由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知

    可化為(a-5)(a+2)=0,解得a=5或者a=-2.

    剖析注意到方程的兩個實根互為相反數(shù)的前提條件是方程有實根,所以不能忽略了判別式的檢驗作用.

    實際上,當(dāng)a=5時,Δ=0-4×2×10=-80<0,方程無實根, 不合題意;

    所以本題正確答案是a=-2.

    三、忽視了方程根的符號

    錯解由根與系數(shù)的關(guān)系知αβ=1,故α與β同號.那么

    因此本題正確答案應(yīng)是-2.

    四、忽視了根的范圍

    例4 若方程4x2-2(m+1)x+m=0的兩個實根是一個直角三角形的兩個銳角的正弦值,求m的值.

    錯解設(shè)方程的兩實根分別為sinA,sinB,則有sinB=cosA.

    將前式平方,注意到sin2A+cos2A=1,再將后式代入,可得

    剖析以上解法雖然解后十分注意檢驗了Δ>0,但還是忽視了銳角正弦值的取值范圍的限制條件:0

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