例析與中點有關(guān)的輔助線的作法

宋明明

(北京市文匯中學(xué) 100022)

在初中數(shù)學(xué)的解題中，中點起著非常重要的作用.如果能用好、用活中點，不但能提高解題速度，而且能夠提高解題的準(zhǔn)確度，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上騰飛的翅膀.

線段的中點是幾何圖形中的一個非常特殊的點.在解決與中點有關(guān)的問題時，如果能適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線、巧妙地利用中點是處理中點問題的關(guān)鍵.但是由于含有中點的問題的輔助線作法靈活，不少學(xué)生難以掌握.

一、中位線

方法一(圖2)

分析在△ABC中存在一個中點D，所以需要再找到一個中點才能構(gòu)造出D為中位線，這時候我們自然想到要在AC上取中點，因為在BC上取中點會破壞AE=BC這個條件.

證明取AC的中點P，連接DP.

∵D、P分別為AB、AC的中點,

∵AE=BC,∴DP=PF,∴∠PDF=∠AFD,∴∠APD=2∠AFD,∴∠ACB=2∠AFD.

方法二(圖3)

分析D為線段AB的中點，F(xiàn)為線段EC的中點， 自然聯(lián)想到DF是某個三角形的中位線.這時需要構(gòu)造一個△ABP，而且F必須是線段AP的中點，所以只需在AC的延長線上截取CP=AE.

證明在AC的延長線上截取CP=AE，連接BP.

∵F為EC的中點,∴CF=EF,∴CF+CP=EF+AE,即PF=AF,∴F為線段AP的中點.∵D為線段AB的中點,∴DF∥BP,∴∠AFD=∠P.∵AE=BC，CP=AE,∴BC=PC,∴∠CBP=∠P.∴∠ACB=2∠P,∴∠ACB=2∠AFD.

方法三(圖4)

分析D為線段AB的中點，F(xiàn)為線段EC的中點，但DF不是這個圖形中三角形的中位線.我們可以嘗試再取一個中點，從而構(gòu)成兩條中位線.

證明連接BE，取BE的中點P，連接DP、FP.

∵F為EC的中點,

二、倍長線段

方法一(圖5)

分析嘗試連接線段BF，BF為△ABC的中線，可以聯(lián)想到倍長中線.

方法二(圖6)

分析嘗試連接線段ED，D為AB的中點，可以聯(lián)想到倍長線段ED.

證明連接ED并延長到點P，使得DP=ED，連接BP、CP.

∵F為EC的中點,∴DF∥CP,∴∠AFD=∠ACP.

∵AE=BC,∴BP=BC,∴∠BPC=∠BCP.

∵∠A=∠ABP,∴AC∥BP,∴∠BPC=∠ACP,

∴∠BCP=∠ACP,∴∠ACB=2∠AFD.

方法三(圖7)

分析D為AB的中點，嘗試倍長線段FD，證明方法類似方法二.

從這個含有中點的典型例題中我們可以看出：由中點聯(lián)想到作三角形的中位線或倍長線段等方法添加輔助線，通過探索即可找到解決問題的方法和途徑.遇到與中點有關(guān)的問題時聯(lián)想到中位線與倍長線段，大膽嘗試小心求證即可.