淺談二次函數(shù)與一元二次方程的關系

何魏

摘要：函數(shù)是初中數(shù)學的一個重要板塊內容，特別是一元二次函數(shù)，因為它和數(shù)學中的其他板塊有著密切的聯(lián)系，比如說代數(shù)和三角函數(shù)和幾何之類的，要想學好數(shù)學，就必須學好這幾個基礎要素，特別是一元二次函數(shù)，因為它是學好其他環(huán)節(jié)的基礎，現(xiàn)在的中考題往往是結合一元二次函數(shù)。幾何圖形和生活中的例子來考察學生的綜合能力，但是這對初中生來說具有一定的挑戰(zhàn)性，學生對這些已經(jīng)產(chǎn)生了恐懼心理。本論文就從一元二次函數(shù)和一元二次方程的關系進行解讀，為考生的歸納復習提供建議和參考。

關鍵詞：二次函數(shù)；二次方程；關系；初中數(shù)學；函數(shù)

在初中數(shù)學學習中，我們好多的同學，都存在一個認為是最難的知識點，那就是：“二次函數(shù)”。沒錯，不僅僅是學生覺得二次函數(shù)難，包括大多數(shù)從事初中數(shù)學教學的一線教師也會有同樣的感受。那么，怎樣才能學好二次函數(shù)，就成為了初中學生和老師最最苦惱的問題。二次函數(shù)之所以難，我認為二次函數(shù)難就難在函數(shù)本身就是一個比較抽象的知識，再加學生接觸函數(shù)時間還不長的，同時二次函數(shù)還有三個參數(shù)，比一次函數(shù)和反比例函數(shù)都多，還有就是二次函數(shù)的題目不僅僅考它本身的知識，它還可以把初中所有的代數(shù)和幾何知識放入其中，同時二次函數(shù)還是我們后面學習其它函數(shù)的基礎；可見，二次函數(shù)成為各個地區(qū)中考的壓軸題就變成了理所當然的事。

既然二次函數(shù)題可以把初中所有的代數(shù)和幾何知識放入其中，因此，把二次函數(shù)與其它知識緊密聯(lián)系起來，是我們老師和學生必須掌握的基本數(shù)學原理。在這里，我就淺談一下二次函數(shù)和一元二次方程之間的關系以及怎樣運用一元二次方程的知識來解決一些二次函數(shù)的題目，希望能給同學們和老師一點點啟示和收獲。

一、二次函數(shù)與一元二次方程形式上的聯(lián)系與區(qū)別

我們非常清楚的知道，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：f（x）=ax2+bx+c，（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）。認真觀察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）和二次函數(shù)：f（x）=ax2+bx+c，（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）， 不難發(fā)現(xiàn)，它們在形式上幾乎相同，差別也只是一元二次方程的表達式等于0，而二次函數(shù)的表達式等于y（變量） 。為什么會這樣？那是因為當二次函數(shù)中的變量y 取0時，二次函數(shù)就變成了一元二次方程。

二、二次函數(shù)與一元二次方程在二次函數(shù)圖像上的關系

正是因為二次函數(shù)與一元二次方程在形式上的類似，使得二者在二次函數(shù)的圖像上的關系格外密切。二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，在求拋物線：f（x）=ax2+bx+c與x 軸的交點坐標時，令y=0，即：ax2+bx+c=0，二次函數(shù)一下就變成了一元二次方程，再求出該方程的解，這個方程的解便是拋物線與x 軸的交點坐標的橫坐標。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三種情況①Δ=b2-4ac>0時有兩個不等的實數(shù)根；②Δ=b2-4ac=0時有兩個相等的實數(shù)根③Δ=b2-4ac<0時沒有實數(shù)根；相應地：拋物線f（x）=ax2+bx+c與x 軸的交點情況有3種：①當Δ=b2-4ac>0時，拋物線與x 軸有兩個交點②當Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x 軸有一個交點③當Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x 軸有沒有交點。所以，一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像與x 軸的交點的橫坐標；二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖像與x 軸的交點情況與一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情況有關。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c拋物線與x軸的兩交點的橫坐標x1，x2（x1

三、應用一元二次方程解決二次函數(shù)問題

正是因為一元二次方程與二次函數(shù)無論在形式上，還是在圖形上，關系都十分緊密，二次函數(shù)的圖像是一條曲線——拋物線 ，二次函數(shù)的點是坐標表示；一元二次方程的解是點，與x軸有二個交點或一個交點或無交點 ；所以在解決很多二次函數(shù)題時，經(jīng)常都要應用一元二次方程的知識。這里，我就列舉幾個典型題型：

例題（1）

求證：二次函數(shù)y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值恒為正。

分析：要證明該函數(shù)的函數(shù)值恒為正，只要能夠證明到該拋物線的開口向上且與x 軸沒有交點即可，二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，當a >0時，圖像開口向上；當Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x 軸沒有交點。

所以本題只需證明到a >0同時Δ=b2-4ac<0。就可

證明：y=3x2+（2m+3）x+2m2+1

Δ=（2m+3）2-12（2m 2+1）=-20（m-10）2-5，

∵（m-10）2≥0，

∴-20（m-10）2≤0，

∴Δ=-20（m-10）2-5<0，

∴拋物線與x 軸沒有交點，

∵3>0，∴拋物線開口向上，

∴二次函數(shù)y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值恒為正.

例題（2）：二次函數(shù)的圖象過點（-1，0）、（3，0），且與y 軸交于（0，3），求該二次函數(shù)的解析式。

分析：本題除了可用二次函數(shù)的交點式和一般式來解外，還可以用一元二次方程的根與系數(shù)的關系，即韋達定理來解決該題。

過程如下：

設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c， ∵拋物線與y 軸交于（0，3），

∴c=3，

∵二次函數(shù)的圖象過點（-1，0）、（3，0），

∴一元二次方程：ax2+bx+c=0的兩個根為x1=1，x2=3

∴a=-1， b=2，∴

即：二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+2x+3

例題（3）： 如圖，，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個交點分別為A（x1，0）， B（x2，0） ， 且x1+x2=4， x1x2=13。

（1）求拋物線的代數(shù)表達式；

（2）設拋物線與y軸交于C點，求直線BC的表達式；

（3）求△ABC的面積.

解：（1）解方程組x1+x2=4x1x2=13 ， 得x1=1，x2=3.

故-12+b+c=0-32+3b+c=0 ，解這個方程組，得b=4，c=-3.

所以，該拋物線的代數(shù)表達式為y=-x2+4x-3.

（2）設直線BC的表達式為y=kx+m.

由（1）得，當x=0時，y=-3，故C點坐標為（0，-3）.

所以m=-33k+m=0 ， 解得k=1m=-3

∴直線BC的代數(shù)表達式為y=x-3

（3）由于AB=3-1=2，OC=│-3│=3.

故S△ABC=12AB·OC=12×2×3=3.

例題（4）.在體育測試時，初三的一名高個子男生推鉛球，已知鉛球所經(jīng)過的路線是某二次函數(shù)圖像的一部分（如圖），若這個男生出手處A點的坐標為（0，2），鉛球路線的最高處B點的坐標為B（6，5）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）該男生把鉛球推出去多遠？（精確到0.01米）.

分析：這是一個實際問題，由于推出的鉛球不可能出現(xiàn)負數(shù)，所以在求出函數(shù)解析式的時候要注意自變量x取值范圍。

解：（1）設y=a（x-6）2+5，則由A（0，2），得2=a（0-6）2+5，得a=-112.

故y=-112（x-6）2+5.（x≥0）

（2）由 -112（x-6）2+5=0，得x1=6+215，x2=6-215.

結合圖像可知：C點坐標為（6+215，0）

故OC=6+215≈13.75（米）

即該男生把鉛球推出約13.75米.

我們通過上面的4個例子，你得到了什么啟示？又有哪些收獲？正是由于二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的關系，所以在解決二次函數(shù)問題時經(jīng)常會應用二元一次方程的知識。我們一定要牢牢掌握好二次函數(shù)與一元二次方程的密切關系，在面對二次函數(shù)時，巧妙的運用一元二次方程的知識來解決二次函數(shù)中的問題。使我們能更好的理解二次函數(shù)的數(shù)學原理以及掌握其解題技巧。

（作者單位：四川蓬安縣茶亭鄉(xiāng)中心小學校 637800）endprint