函數(shù)中的三個“二次”及關(guān)系

楊　爽

三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系.

一、例題分析

例1 已知二次函數(shù)f（x）=ax ２+bx+c和一次函數(shù)g（x）=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c，a+b+c=0（a，b，c∈R）.求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B.

證明：由y=ax２+bx+c，y=-bx，消去y得ax２+2bx+c=0.

Δ=4b２－4ac=4（－a－c）２－4ac=4（a２+ac+c２）=4［（a+ ）２+ c２］.

∵a+b+c=0，a>b>c， ∴ a>0，c<0.

∴ c２>0. ∴ Δ>0，即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).

二、分析總結(jié)

1．二次函數(shù)的基本性質(zhì)

（１）二次函數(shù)的三種表示法：y=ax２+bx+c；y=a（x－x1）（x－x２）；y=a（x－x０）２+n.

（２）當(dāng)a>0，f（x）在區(qū)間［p，q］上的最大值M，最小值m，令x０= （p+q）.若－

2．二次方程f（x）=ax２+bx+c=0的實(shí)根分布及條件

（１）方程f（x）=0的兩根中一根比r大，另一根比r小?圳a?f（r）<0．

（２）二次方程f（x）=0的兩根都大于r ?圳Δ=b２-4ac>0，- >r，a?f（r）>0．

（３）二次方程f（x）=0在區(qū)間（p，q）內(nèi)有兩根?圳Δ=b２-4ac>0，p<- 0，a?f（p）>0．

（４）二次方程f（x）=0的兩根在區(qū)間（p，q）內(nèi)只有一個?圳f（p）?f（q）≤0.

（５）方程f（x）=0兩根的一根大于p，另一根小于q（p

3．二次不等式轉(zhuǎn)化策略

（1）二次不等式f（x）=ax２+bx+c≤0的解集是：（－∞，α］∪［β，+∞）?圳a<0且f（α）=f（β）=0．

（2）當(dāng)a>0時，f（α）

|β+ |．

（3）當(dāng)a>0時，二次不等式f（x）>0在［p，q］恒成立或?圳- 0或p≤- 0或- ≥p，f（q）≥0．

（4）f（x）>0恒成立?圳a>0，Δ<0或a=b=0，c>0．f（x）<0恒成立?圳a＜0，Δ<0或a=b=0，c<0．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>