趣談中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的方程問(wèn)題

唐肖準(zhǔn)

摘 要：《九章算術(shù)》和《數(shù)書(shū)九章》這兩部中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著記載了許多關(guān)于方程方面的優(yōu)秀研究成果，這些研究成果都遙遙領(lǐng)先于其他國(guó)家，但是腐朽的封建制度最終阻礙了中國(guó)數(shù)學(xué)的繼續(xù)前進(jìn). 直除法和互乘相消法是古代解決一次方程的方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程數(shù)學(xué)家又獨(dú)創(chuàng)了“正負(fù)術(shù)”和“損益術(shù)”；在解二次方程的過(guò)程中，出現(xiàn)了代數(shù)與幾何相結(jié)合的端倪；指數(shù)方程和代數(shù)的引入則是對(duì)“趣談”的最好詮釋.

關(guān)鍵詞：直除法；損益術(shù)；互乘相消法；二次方程；不定方程

代數(shù)學(xué)發(fā)源于9世紀(jì)的阿拉伯，最早見(jiàn)于阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的著作. 在中國(guó)，春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期已有算術(shù)，而這些算術(shù)的主要形式就是正數(shù)的四則運(yùn)算，而這些四則運(yùn)算主要是為了解決人們?cè)谌粘Ｉ钪械膶?shí)際問(wèn)題，后來(lái)隨著經(jīng)濟(jì)和文化的發(fā)展，到東漢初期的時(shí)候開(kāi)始出現(xiàn)了未知數(shù)的應(yīng)用，人們根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的條件列方程為主要研究對(duì)象的代數(shù)學(xué)，這一數(shù)學(xué)發(fā)展在劉徽所注的《九章算術(shù)》有明確的記載.這就是我們現(xiàn)在的方程，《九章算術(shù)》中的第八章，古代的方程就是現(xiàn)在的線性方程組. 在《九章算術(shù)》中明確指出：“群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí).令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故為之方程.” 這里還規(guī)定了兩個(gè)方程式的系數(shù)不允許存在相同的比例，即不能有相容方程，也不能有矛盾方程.這和現(xiàn)代方程的思想是如出一轍的. 不過(guò)與現(xiàn)在橫行豎列的表示法不同的是，古代通常采用橫列豎行. 如《九章算術(shù)·方程》的第1問(wèn)（以后也是談到古代方程必考究的一個(gè)問(wèn)題）.

例1 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗. 問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？列出的方程如表1所示.

看到上述的方程組，我們不禁要發(fā)出這樣的疑問(wèn)，中國(guó)古代并沒(méi)有英文字母，那到底是怎么列未知數(shù)解方程的呢？的確，英文字母x，y，z是19世紀(jì)中葉才傳到中國(guó)的，在此之前我國(guó)古代方程中的未知數(shù)都是用漢字來(lái)表示的，譬如“上禾”、“中禾”、“下禾”以及“天”、

“地”、“人”就通常被指代成現(xiàn)在的未知數(shù)x，y，z. 列出方程組之后，隨之而來(lái)的當(dāng)然就是求解的問(wèn)題.

直除法

古代對(duì)于線性方程組的解法稱為方程術(shù)，其核心是以逐步消元來(lái)減少方程的行數(shù)及未知數(shù)的個(gè)數(shù)，最終消成每行只存在一個(gè)未知數(shù)的情況，然后依次把第二、第三個(gè)未知數(shù)求出來(lái). 在古代這種消元的方法稱為直除術(shù)，“直除”的意思就是直接相減.以《九章算術(shù)·方程》的第一問(wèn)為例，在書(shū)中關(guān)于它的解題過(guò)程中有這樣一段話：“以右行上禾遍乘中行，而以直除. 又乘其次，亦以直除.”這段話用方程組的變換可以翻譯為

我們把方程組的系數(shù)以方陣的形式橫著寫(xiě)，就是現(xiàn)行教材中線性方程組系數(shù)的增廣矩陣，籌算過(guò)程就是現(xiàn)行矩陣的行初等變換，上述的初等變換只需要幾步就可完成.

當(dāng)時(shí)人們借助的運(yùn)算工具是算籌，方程的各項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都用算籌排列成長(zhǎng)方形，通過(guò)對(duì)算籌的移動(dòng)和重組達(dá)到解出方程的目的，它的性質(zhì)和運(yùn)算過(guò)程跟今天的矩陣是差不多的，所以我們可以很自豪地說(shuō)，中國(guó)是矩陣最早出現(xiàn)的地方.

直除法的提出為簡(jiǎn)化行列式和矩陣各行各列相減的概念奠定了基礎(chǔ)，其中劉徽指出的用方程的整行和另一行相減，不影響方程的解這一思想成為方程消元法的奠基石. 在歐洲最早的解線性方程組的方法是由法國(guó)數(shù)學(xué)家布丟在十六世紀(jì)中葉提出的，這比中國(guó)晚了一千年左右. 《九章》中的直除法不僅是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的偉大成就，也是世界數(shù)學(xué)史上寶貴的精神財(cái)富.

損益術(shù)

我們知道，由于在消元過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)小數(shù)減大數(shù)的情況，這勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致負(fù)數(shù)的產(chǎn)生. 劉徽在注釋《九章算術(shù)·方程》時(shí)首次提出了“正負(fù)術(shù)”的思想：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之.其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之. （這里的除、益是減少、增加的意思，同名、異名是同號(hào)、異號(hào)的意思），通覽這寥寥37個(gè)字，卻把正負(fù)數(shù)的加減法都包括了. 以《九章算術(shù)·方程》第八問(wèn)為例，列出方程以矩陣的形式給出：

從第一個(gè)矩陣到第二個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)的變換是：2×第2列-3×第3列；2×第1列+5×第3列. 從第二個(gè)矩陣到第三個(gè)矩陣經(jīng)過(guò)的變換是：第2列都約去公約數(shù)3. 要注意的是這里的“列”古代稱之為“行”，參考古籍時(shí)要注意.

《九章》中出現(xiàn)的正負(fù)數(shù)是人類文明史上最早出現(xiàn)的關(guān)于負(fù)量的描述，并且對(duì)正負(fù)數(shù)的加減法則做了說(shuō)明，到5世紀(jì)時(shí)，祖沖之把它運(yùn)用到了二次方程. 后來(lái)，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中又提出了正負(fù)數(shù)乘法法則. 在正負(fù)術(shù)的基礎(chǔ)上，古人創(chuàng)造了移項(xiàng)建立或化解方程的方法，在當(dāng)時(shí)稱之為損益術(shù). 古代所指的損益就是現(xiàn)在我們所說(shuō)的減少和增加. 在等式的左端減少多少等價(jià)于在等式的右端增加多少，同理在等式的右端損就相當(dāng)于在等式的左端益，就像我們現(xiàn)在所說(shuō)的收支平衡. 如《九章算術(shù)·方程》第二問(wèn).

例2 今有上禾七秉，損實(shí)一斗，益之下禾兩秉，而實(shí)一十斗；下禾八秉，益實(shí)一斗，于上禾二秉，而實(shí)一十斗. 問(wèn)上，下禾實(shí)一秉各幾何？”

根據(jù)題意，我們可以列出方程組

顯然，經(jīng)過(guò)損益之后方程更簡(jiǎn)潔也更便于計(jì)算. 值得一提的是，損益術(shù)的對(duì)象不僅包括了常數(shù)項(xiàng)，也包括了未知數(shù)，同時(shí)它的作用還類似于現(xiàn)在的合并同類項(xiàng). 例如《九章算術(shù)·方程》第11問(wèn)中關(guān)于牛馬價(jià)各幾何的問(wèn)題，這里就不再詳敘.

互乘相消法

眾所周知，當(dāng)方程組的系數(shù)較大時(shí)利用直除法計(jì)算往往會(huì)很煩瑣，劉徽針對(duì)這個(gè)問(wèn)題首創(chuàng)了互乘相消法，那何為互乘相消法呢？我們不妨來(lái)看劉徽在《九章算術(shù)·方程》“牛羊直金”問(wèn)中所提出的解法.

例3 “今有牛五，羊二，直金十兩；牛二，羊五，直金八兩，則牛、羊各直金幾何？”

同理，x的值也可求得. 劉徽還指出這是一種普遍的方法，即使方程式的個(gè)數(shù)為四行、五行也行得通. 可惜這種先進(jìn)的思想一直未被當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家重視，直到700多年后才被南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶繼承并發(fā)展. 秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的另一部巨著，不僅僅是對(duì)《九章算術(shù)》的擴(kuò)充和重復(fù)，在很大程度上它突破了《九章算術(shù)》的限制，并且給予了發(fā)展和推廣. 如《數(shù)書(shū)九章》“均貨推本”問(wèn)題.

例4 “問(wèn)有海舶赴務(wù)抽畢，除納主家貨物外，有沉香五千八十八兩，胡椒…”根據(jù)題意，列出方程組為

最后利用代入法，便得其他各元的值.

回顧上面所陳述的互乘相消法，不難看出這和現(xiàn)在我們所用的解方程組的方法完全一致，秦九韶發(fā)展了《九章算術(shù)》里的互乘相消法，把它運(yùn)用到了二次以上方程并且提出了“代入法”和最大公約數(shù)的概念，這些成果都遙遙領(lǐng)先于世界上其他國(guó)家.

二次方程的解法

中國(guó)是世界上最早出現(xiàn)二次方程并求解的國(guó)家之一，古代的二次方程常以x2+px=q（p，q為正數(shù)）的形式出現(xiàn)，在這里我們不妨默認(rèn)它為二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式. 利用代數(shù)和幾何相結(jié)合，通過(guò)事物的幾何性質(zhì)，列方程來(lái)求解則可以看作是中國(guó)數(shù)學(xué)的特色之一. 在我國(guó)《九章算術(shù)》里就有一個(gè)關(guān)于“引蕸赴岸”的最古老的二次方程問(wèn)題，它便是利用勾股定理，列二次方程求解的. 又例如《九章算術(shù)·勾股》中的第20問(wèn)“今有邑方不知大小，各中開(kāi)門(mén). 出北門(mén)二十步有木. 出南門(mén)十四步，折而西行一千七百七十五步見(jiàn)木. 問(wèn)邑方幾何？”

書(shū)中采用了“帶從開(kāi)方法”來(lái)求方程的正根，即“以出北門(mén)步數(shù)乘西行步數(shù)，倍之，為實(shí)，并出南門(mén)步數(shù)，為從法.開(kāi)方除之，即邑方”.

這段話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)解釋就是：以2×20×1775=71000作為常數(shù)項(xiàng)放在等式右端，以20+14=34作為一次項(xiàng)的系數(shù)（亦即古人所說(shuō)的“從法”），然后列出標(biāo)準(zhǔn)二次方程，再開(kāi)帶有“從法”的平方根，解的步驟相當(dāng)于x=-17+ ，這與韋達(dá)的求根公式相吻合. 在這以后，宋代劉益的《益古根源》已經(jīng)涉及解二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的二次方程，三國(guó)時(shí)趙爽在《勾股圓方圖注》中還用到了類似于現(xiàn)在我們所用的二次方程求根公式：x=，其中2c為矩形兩邊之和，a為兩邊之積. 而在眾多求二次方程的解法中，最有趣的要數(shù)隋唐時(shí)期，僧一行利用內(nèi)插公式來(lái)求得方程的正根，這種先進(jìn)的方法，至今令人稱奇.

不定方程

在西方，人們習(xí)慣稱不定方程為“丟番圖方程”，這是因?yàn)楣畔ＥD數(shù)學(xué)家丟番圖曾在公元3世紀(jì)時(shí)大規(guī)模地對(duì)此進(jìn)行研究，其實(shí)在此之前我國(guó)《九章算術(shù)》里已出現(xiàn)“五家共井”的不定問(wèn)題

例5 “今有五家共井，甲二綆不足，如已一綆；已三綆不足，以丙一綆；丙四綆不足，以丁一綆；丁五綆不足，以戊一綆；戊六綆不足，以甲一綆.如各得所不足一綆，皆逮. 問(wèn)井深，綆長(zhǎng)各幾何？”根據(jù)題意，可以列出方程：

這道題中有五個(gè)方程式，卻出現(xiàn)了六個(gè)未知數(shù)，劉徽用方程術(shù)解出其中一組最小解：x=265，y=191，z=148，u=129，v=76，w=721，并明確指出這是不定方程，只能求得其比率，它的解有無(wú)數(shù)組.比利時(shí)人利勃里希特曾經(jīng)就說(shuō)過(guò)這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上最早的不定方程問(wèn)題，它的提出要比丟番圖早200多年.后來(lái)元魏時(shí)期張邱建又提出了“百雞問(wèn)題”，這是道關(guān)于不定方程的世界名題，書(shū)中說(shuō)到：“今有雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，值錢(qián)三，雞雉三，值錢(qián)一，凡百錢(qián)買(mǎi)雞百只. 問(wèn)雞翁、母、雉各幾何？”按現(xiàn)代漢語(yǔ)翻譯，列出方程組

我們注意到這里有3個(gè)未知數(shù)，而方程式只有兩個(gè)，張邱建在其答案中提示到：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雉每益三，即得.”并且給出了全部的三組整數(shù)解：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）但具體解法并沒(méi)有公示出來(lái).

后世之人一直嘗試著尋找“百雞問(wèn)題”的一般解法，但直到19世紀(jì)中葉才由駱騰鳳、時(shí)曰醇利用大衍求一術(shù)找到一般解法.

x指數(shù)方程和對(duì)數(shù)的傳入

《九章算術(shù)》里有道有趣的“二鼠穿垣”問(wèn)題，在古代浩瀚如海的方程問(wèn)題中，它倒像是夏日里的一杯涼茶，百合中的一朵玫瑰，讓人感覺(jué)眼前一亮，特別引人注目.

例6 “今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿. 大鼠日一尺，小鼠亦日一尺. 大鼠日自倍，小鼠日自半. 問(wèn)：何日相逢？各穿幾何？”如果我們用今天的代數(shù)方法來(lái)解，可以借助于等比數(shù)列的求和公式，設(shè)經(jīng)過(guò)n天兩鼠可以相逢，大鼠每天的穿垣尺數(shù)依次為：1，2，22…小鼠每天的穿垣尺數(shù)依次為：1，，…經(jīng)過(guò)n天，大鼠共穿進(jìn)尺數(shù)=2n-1，小鼠共穿進(jìn)尺數(shù)= 2-，題中說(shuō)兩鼠共穿進(jìn)5尺.

我們可以列一個(gè)指數(shù)方程：（2n-1）+

這是中國(guó)古代關(guān)于指數(shù)方程的最早記載，通過(guò)這道題我們可以發(fā)現(xiàn)中國(guó)古代的方程研究已經(jīng)呈橫向發(fā)展的趨勢(shì)，從方程與指數(shù)相結(jié)合以及在二次方程這個(gè)章節(jié)中出現(xiàn)的把幾何與代數(shù)相結(jié)合，利用事物的幾何性質(zhì)，列方程來(lái)求解中我們不難發(fā)現(xiàn)那個(gè)時(shí)代屬于中國(guó)數(shù)學(xué)特色的端倪.

在求解這個(gè)指數(shù)方程時(shí)，我們勢(shì)必會(huì)用到對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)，那么對(duì)數(shù)是何時(shí)傳入我國(guó)的呢？據(jù)史料記載，最早把對(duì)數(shù)引入中國(guó)的是清朝的數(shù)學(xué)家薛鳳祚，他在《歷學(xué)會(huì)通》中給出了多達(dá)六位的數(shù)字和三角函數(shù)的對(duì)數(shù)表，其實(shí)在宋元之后，中國(guó)的數(shù)學(xué)就開(kāi)始走下坡路了，不過(guò)在康熙時(shí)期，中國(guó)的數(shù)學(xué)還曾曇花一現(xiàn)過(guò)，究其原因：其一，康熙是古代帝王中為數(shù)不多的對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚興趣并對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出貢獻(xiàn)的皇帝，在他的鼓勵(lì)和帶領(lǐng)下，那個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)家在對(duì)以前數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的整理和研究上所做出的成就還是值得肯定的. 其二，康熙時(shí)期，中國(guó)的經(jīng)濟(jì)文化又處于一個(gè)巔峰期，這就使得人們有更多的精力和安定和諧的環(huán)境去研究數(shù)學(xué). 所以在那個(gè)時(shí)期，保留了很多極為珍貴的高次方程和對(duì)數(shù)方面的文獻(xiàn).

我國(guó)古代的數(shù)學(xué)是以代數(shù)學(xué)作為主流而發(fā)展的，其中求解方程是我國(guó)古代代數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)，從劉徽注的《九章算術(shù)》里求解一元一次方程開(kāi)始發(fā)展到宋元時(shí)期對(duì)高次方程解的研究步入一個(gè)新臺(tái)階，中國(guó)數(shù)學(xué)在方程方面的研究已經(jīng)遙遙領(lǐng)先于世界其他國(guó)家. 但是由于腐朽的封建制度，宋元之后我國(guó)數(shù)學(xué)就開(kāi)始停滯不前，很多優(yōu)秀的成果也流失了. 作為數(shù)學(xué)王國(guó)里一顆璀璨的明珠，中國(guó)也曾照亮了那個(gè)時(shí)代方程發(fā)展的道路.