慧眼識“圓”，突破解題壁壘

金惠忠

摘 要：部分和圓相關(guān)的高考試題，將圓隱藏在已知條件中，不易被學生發(fā)覺，這增加了學生解題的難度. 本文整理分析了圓作為隱蔽條件的幾種形式，以此幫助學生突破解題壁壘.

關(guān)鍵詞：高考；圓；隱藏；數(shù)形結(jié)合

在近幾年各地的高考試題中，筆者發(fā)現(xiàn)和圓相關(guān)的試題時有出現(xiàn)，同時部分試題將圓隱藏在已知條件中，以隱性的形式出現(xiàn). 解題時，若能根據(jù)已知條件及時發(fā)現(xiàn)這些隱藏的圓，就能找到突破口，從而使問題得以迅速解決.

遇直角條件，可用圓

平面幾何中的一個基本性質(zhì)，圓的直徑所對的圓周角是直角. 當遇到直角或垂直條件時，應(yīng)考慮到直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上，利用這樣的圓可以輔助解題，達到事半功倍的效果.

例1 （2014年高考北京卷文科第7題）已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=1和兩點A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圓C上存在點P，使得∠APB=90°，則m的最大值為

（ ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

解析：由條件∠APB=90°可知，點P的軌跡是以O(shè)為圓心，以AB為直徑的圓. 又點P在圓C上，故P為圓C和圓O的公共點. 如圖1所示，當圓C和圓O的位置關(guān)系為外切時，m取得最大值，此時圓心距OC等于兩圓半徑之差，即OC=m-1=5，得m=6，故選B.

例2 （2013年高考安徽卷理科第13題）已知直線y=a交拋物線y=x2于A，B兩點.若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則a的取值范圍為________.

解析：由題意可知，A（-，a），B（，a）.

由∠ACB=90°可知，點C在以AB為直徑的圓上，設(shè)為圓M，

則M（0，a），半徑r=，則圓M的標準方程為：x2+（y-a）2=a.

又點C在拋物線y=x2上，故由方程組y=x2，

遇到“PA=tPB”條件， 慧眼識圓

已知兩定點A（-a，0），B（a，0），動點P滿足PA=tPB（t>0，t≠1），則點P的軌跡是圓.

證明：設(shè)點P（x，y），由PA=tPB，得=t，

如果動點與兩定點連線長度存在倍數(shù)關(guān)系，且倍數(shù)不為1，那么動點的軌跡是圓，利用這個結(jié)論，慧眼識“圓”，就能使問題迅速得以解決.

例3 （2008年高考江蘇卷第13題）滿足條件AB=2，AC=BC的△ABC的面積的最大值為__________.

解析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，如圖2所示，則A（-1，0），B（1，0），設(shè)點C（x，y），由AC=BC，得=，

化簡整理得，（x-3）2+y2=8，

根據(jù)題意，A，B，C三點不共線，故y≠0，故點C的軌跡方程為（x-3）2+y2=8（y≠0）.

所以點C在以M（3，0）為圓心，半徑r=2的圓上.

因為AB在x軸上，當點C距離x軸越遠，△ABC的面積越大，

.

例4 （2013年高考江蘇卷第17題）如圖3，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.

（1）若圓心C也在直線l上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使得MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）由于圓C的圓心在直線l：y=2x-4上，故可設(shè)C為（a，2a-4），

故圓C的標準方程為（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1.

設(shè)M為（x，y），根據(jù)MA=2MO，得=2，整理得

x2+（y+1）2=4，故點M的軌跡是以D（0，-1）為圓心，以2為半徑的圓.

所以點M既在圓D上又在圓C上，即圓D和圓C有公共點，

遇到二次方程條件，構(gòu)造圓

圓方程的代數(shù)形式為二元二次結(jié)構(gòu)，利用圓方程的這樣一種結(jié)構(gòu)特征，當遇到已知條件中具備二次方程結(jié)構(gòu)特點時，可考慮構(gòu)造圓，以達到順利解題的目的. 事實上這也是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的重要體現(xiàn).

例5 （2014年高考浙江卷文科第16題）已知實數(shù)a，b滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是__________.

解析：將a視為常數(shù)，b，c視為方程的未知數(shù)，已知條件可等價轉(zhuǎn)化為，直線b+c+a=0和圓b2+c2=1-a2有公共點，故圓心O（0，0）到直線b+c+a=0的距離小于等于半徑，即≤，解得-≤a≤，所以a的最大值為.

例6 （2013年高考湖南卷理科第10題）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為____________.

解析：令x=a，y=2b，t=a2+4b2+9c2，

已知條件可轉(zhuǎn)化為，直線x+y+（3c-6）=0和圓x2+y2=t-9c2有公共點，

+12≥12，當且僅當a=2，b=1，c=時取等號，故a2+4b2+9c2的最小值為12.

本文旨在通過分析近年來和“隱圓”相關(guān)的高考試題，培養(yǎng)學生注重對問題中條件的轉(zhuǎn)化與化歸，加強數(shù)形結(jié)合思想的運用，迅速識別問題中隱藏的圓，幫助學生突破解題壁壘.