因為理解，所以“輕松”

朱國仙　章顯聯(lián)

摘 要：課堂教學(xué)要想“輕松”，關(guān)鍵在于課前做到三個“理解”：即理解學(xué)生，理解教材，理解數(shù)學(xué). 本文以一節(jié)公開課為例，對此做了一番闡述.

關(guān)鍵詞：輕松；理解；簡錄；啟示

前不久，章老師開了一節(jié)公開課，聽課的有各學(xué)科的老師，課后點評時，大家給出了很高的評價，其中一位物理老師這樣評價：“聽章老師的課很輕松，學(xué)生也學(xué)得輕松，師生互動得多，教師講得不多，但能起到四兩撥千斤的效果.” 章老師的課堂教學(xué)之所以“輕松”，筆者認為關(guān)鍵在于課前做到了三個“理解”：即理解學(xué)生，理解教材，理解數(shù)學(xué).

這節(jié)課的教學(xué)簡錄

（一）溫故知新，引出課題

求斜率為3的直線上兩點A（1，a），B（2，b）的線段AB的長度.

通過學(xué)生練習(xí)自然地復(fù)習(xí)了平面直角坐標中兩點間的距離公式及其變式，即斜率為k直線上兩點間的距離公式為y=

x1-x2

，同時，引出課題——點到直線的距離.

設(shè)計意圖：平面圖形最基本的要素是點和線. 在研究了兩點間距離公式后，自然會去研究點線間的距離，當(dāng)然還可以更深入地去探究兩平行線間的距離. 這三個距離公式是一脈相承的，因此，這樣引入自然、貼切，符合學(xué)生的認知規(guī)律.

（二）特例引入，巧做鋪墊

引例：在平面直角坐標系中，（1）求點P（1，1）分別到直線x=2，y=-2的距離.

（2）求點P（1，2）到直線l：x+y-5=0的距離.

問題1：點到直線的距離指的是什么？

問題2：為什么選擇垂足與點P的距離作為點線距離？選直線上其他點與P點距離可以嗎？

問題3：點到直線的距離還可以怎么定義？

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)點到直線距離的垂線段定義法，同時引出廣義定義法，即點到直線上所有點距離的最小值，為后續(xù)目標函數(shù)的推導(dǎo)方法的展開埋下伏筆.

自主探究：請學(xué)生計算引例中的距離，并考慮用多種方法進行解答.

設(shè)計意圖：從具體的例子出發(fā)求距離，相對來說，計算量更小，學(xué)生有更充裕的時間去發(fā)現(xiàn)解法的多樣性，為后續(xù)求抽象的點線距離做好準備.課堂上出現(xiàn)以下幾種解法.

1. 垂線段法

評注：很好，該思路自然、簡單、清晰.

2. 解直角三角形法

如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，過P作PR∥x軸交直線l于點R.

評注：這種方案將點到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題. 在斜邊及角度已知的情況下，顯然運用三角函數(shù)的知識可以輕松求解.

3. 等面積法

如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過P作PS∥y軸交直線l于點S.

評注：直角三角形構(gòu)造巧妙，避開研究三角形的內(nèi)角，計算簡潔，快速得出結(jié)果.

問題4：還有別的做法嗎？如果從剛才點到直線的本原定義來看，我們可以先將點到直線上任意一點的距離表示出來，再求這個距離的最小值即可. 那么，要求最小值，我們可以從什么地方切入呢？

設(shè)計意圖：引出目標函數(shù)法.

4. 目標函數(shù)法

步驟1：求出點P到直線l上任一點M（x，y）的距離的平方：

評注：該方法運用函數(shù)思想，將幾何問題代數(shù)化，是典型的解析幾何解法.

（三）公式推導(dǎo)，殊途同歸

問題一般化：在平面直角坐標系中，求點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離.

問題5：以上這些方法應(yīng)該都可以用來解決該問題，但同學(xué)們會選擇哪種，或者哪些方法來做呢？為什么？

設(shè)計意圖：進行方案比較，優(yōu)選；在比較中，再次領(lǐng)會各種方案的思想方法，比較它們的優(yōu)缺點，選擇合適的方案執(zhí)行.

法1：垂線段法：先求交點，再求兩點間距離. 特點：思路簡捷，計算較繁，體會坐標法、化歸法的思想.

法2：等面積法：構(gòu)造直角三角形，使得所求垂線段為斜邊上的高，用等面積法求出高.

步驟1：過P作x，y軸的垂線，分別交直線l于M，N，構(gòu)造直角三角形MPN；則PQ為斜邊上的高（如圖4）.

問題6：在上述推導(dǎo)過程有沒有不夠嚴謹?shù)牡胤剑?/p>

設(shè)計意圖：由學(xué)生自我排查，發(fā)現(xiàn)A，B必須都不等于0的條件等問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴謹性.

（四）公式記憶，學(xué)以致用

教師引導(dǎo)學(xué)生驗證A=0或B=0的特殊情況也符合一般的距離公式. 最后得到點到直線的距離公式可統(tǒng)一為d=.

問題7：這個公式如何記憶？

問題8：這個公式對點、線的位置有沒有要求？

設(shè)計意圖：強化公式記憶，明確公式的適用范圍.

例1 請你編一道與點到直線有關(guān)的題目

設(shè)計意圖：本題是開放題，可強化學(xué)生對公式的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

例2 （1）設(shè)點A（4，0），B（0，4），求原點到直線AB上各點距離的最小值.

（2）求過點A（-2，3）且與點B（-3，5）的距離為1的直線方程.

（3）求與直線x+y+2=0平行且距離為的直線方程.

（五）歸納總結(jié)，思維提升

1. 學(xué)習(xí)了點到直線距離的定義；

2. 學(xué)習(xí)了點到直線距離公式的四種不同推導(dǎo)方法，其實點到直線距離公式的推導(dǎo)方法還有很多種，如：向量法、參數(shù)法、不等式法、坐標平移法等；

3. 在公式推導(dǎo)過程中，領(lǐng)悟特殊到一般、轉(zhuǎn)化與化歸、分類與整合、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.

（六）課后作業(yè)，鞏固實踐

1. 上網(wǎng)查閱點到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法；感受數(shù)學(xué)知識的廣博與統(tǒng)一.

2. 書面作業(yè)：魯中作業(yè)本P121

啟示

這堂課之所以得到好評，從“一堂數(shù)學(xué)課”的角度看，筆者認為還是在“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué).

教師在“理解數(shù)學(xué)”上具有高水平，這是上好一堂數(shù)學(xué)課的前提條件. 數(shù)學(xué)課首先還是要把數(shù)學(xué)教好，數(shù)學(xué)育人的載體是數(shù)學(xué)的內(nèi)容及其由內(nèi)容反映的思想方法. 只有當(dāng)教師具有挖掘數(shù)學(xué)知識蘊含的價值觀資源，并能以與學(xué)生智力發(fā)展水平相適應(yīng)的方式表達出來，以恰當(dāng)?shù)姆绞絺鬟_給學(xué)生，才能有效地實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的育人目標. 假如教師對數(shù)學(xué)的理解不到位，連“講對”都還做不到，那么其他一切都是空談，對學(xué)生的關(guān)懷、熱愛也會變得蒼白甚至虛偽. 《點到直線的距離》這節(jié)課的內(nèi)容是從初中平面幾何的定性作圖向高中解析幾何定量計算的過渡. 點到直線的距離公式是解析幾何后續(xù)學(xué)習(xí)的一個基礎(chǔ)工具，屬于概念性知識. 本節(jié)課蘊含分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等豐富的數(shù)學(xué)思想；它既是兩點間距離公式的延續(xù)，又為導(dǎo)出兩平行線間距離公式做了鋪墊，具有承上啟下的重要作用. 貫穿于本節(jié)課的兩條主線：一是明線，提陳述性知識的呈現(xiàn)，公式的推導(dǎo)、應(yīng)用、記憶；二是暗線，指程序性知識的滲透、數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會、數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究、數(shù)學(xué)美感的欣賞等. 正是基于對本節(jié)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，對于公式的推導(dǎo)在特列的引導(dǎo)下，放手讓學(xué)生思考，推導(dǎo)，對于課堂中的各種生成，教師也能做到胸有成竹，適時點撥，學(xué)生積極思維，高潮迭起.

“理解學(xué)生”，核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)認知規(guī)律和情感發(fā)展規(guī)律. 具體針對一堂課而言，就是要理解如下幾個方面：一是當(dāng)前的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗的聯(lián)系，這是確定教學(xué)出發(fā)點的依據(jù)；二是當(dāng)前知識與學(xué)生已有認知結(jié)構(gòu)的“距離”，這是確定教師對學(xué)生學(xué)習(xí)過程干預(yù)強度的依據(jù). 本節(jié)課中學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)：學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式，且具備了相關(guān)的幾何知識，如：交點、垂直、三角函數(shù)等. 學(xué)生對坐標法解決幾何問題有初步的認識. 正是基于學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，教學(xué)設(shè)計時不急于將一般性的問題呈現(xiàn)出來，而是特例引入，巧設(shè)鋪墊，達到了較好的教學(xué)效果：學(xué)生學(xué)得主動，教師教得輕松.

“理解教學(xué)”當(dāng)然是對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律的認識和教學(xué)機智的敏銳水平. 理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生是把數(shù)學(xué)教好、發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能的前提條件，但如果在理解教學(xué)上不到位，同樣不能達到目的. 適合學(xué)生的教學(xué)才是最好的教學(xué)，課堂上做到恰到好處才是智者. 如公式推導(dǎo)中的第一種方法，教材中是這樣敘述的：“上述方法思路十分自然，但是運算較繁，下面我們采用另一種方法.” 根據(jù)教材中這段話，絕大多數(shù)教師對這節(jié)內(nèi)容進行教學(xué)時，以尊重教材為前提，從而一滑而過，學(xué)生也一直認為求交點坐標很難，這使解決此題失去了一次良好的機會. 事實上計算并不復(fù)雜，放開讓學(xué)生去推導(dǎo)，反而達到了良好的教學(xué)效果.