擷尋常之材 筑高考之路

馮平

摘 要：曲線與方程是解析幾何中不容忽視的重要內(nèi)容，它為研究曲線的性質(zhì)提供了重要的前提，在高考中也常有涉及，經(jīng)常在解析幾何題目的第一問中考查. 如何求動點(diǎn)的軌跡方程是其重中之重，學(xué)習(xí)時需要掌握常用的求解方法. 本文根據(jù)曲線與方程的含義要點(diǎn)，結(jié)合例題淺談求軌跡方程的常用方法，旨在啟發(fā)學(xué)生善于揭示問題的內(nèi)部規(guī)律及知識之間的相互關(guān)系，總結(jié)和歸納求軌跡方程的常用方法，提高學(xué)生的解題能力、優(yōu)化學(xué)生的解題思路.

關(guān)鍵詞：曲線與方程；軌跡方程；解題

曲線與方程是解析幾何中不容忽視的重要內(nèi)容，它為研究曲線的性質(zhì)提供了重要的前提，教材中的二次曲線的性質(zhì)都是在先解決方程的基礎(chǔ)上研究的，同時在高考中也常有涉及，經(jīng)常在解析幾何題目的第一問中考查. 如何求動點(diǎn)的軌跡方程是其重中之重，學(xué)習(xí)時需要掌握常用的求解方法，下面根據(jù)曲線與方程的含義要點(diǎn)，結(jié)合例題淺談求軌跡方程的常用方法.

曲線與方程的含義

一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C（看作適合某種條件下的點(diǎn)的集合或軌跡）上的點(diǎn)與一個二元方程f（x，y）=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；

（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上. 那么，這個方程叫曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

要點(diǎn)剖析：

（1）“曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解”，說明曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn)，也就是說曲線上所有的點(diǎn)都符合這個條件而毫無例外（純粹性）.

（2）“以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上”說明符合條件的點(diǎn)都在曲線上而毫無遺漏（完備性）.

求軌跡方程的常用方法

1. 直接法

當(dāng)動點(diǎn)滿足的條件是一些關(guān)系式時，可直接將關(guān)系式坐標(biāo)化，而得出軌跡方程，這種求解方法叫作直接法，即曲線上的動點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則只需直接把這種關(guān)系“翻譯”成關(guān)于動點(diǎn)的坐標(biāo)方程. 經(jīng)化簡所得同解的最簡方程，即為所求軌跡方程.其一般步驟為：建系——設(shè)點(diǎn)——列式——代換——化簡——檢驗(yàn)，關(guān)鍵步驟在于對式子的化簡，最后的檢驗(yàn)通常省略.

例1 已知動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求P的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，y），則+3-x=4，

（1）當(dāng)x≤3時，方程變?yōu)?3-x=4，化簡，得y2=4x；

（2）當(dāng)x>3時，方程變?yōu)?x-3=4，化簡，得y2=-12（x-4），

故所求的點(diǎn)P的軌跡方程是y2=4x，0≤x≤3，

評注：本題要注意對點(diǎn)P橫坐標(biāo)的討論，注意化簡過程是否保持方程的同解（若化簡過程破壞了保持方程的同解性，要注意補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或要挖去多余的點(diǎn)）；檢查以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否在曲線上，否則將混有假軌跡，破壞了軌跡的純粹性，對此應(yīng)為重視. “軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程（包括范圍）.

2. 定義法

當(dāng)動點(diǎn)滿足的條件滿足圓、橢圓、雙曲線，拋物線的第一、二定義時，則可根據(jù)該曲線的定義建立軌跡方程，這種求解方法叫作定義法.把握有關(guān)曲線定義的實(shí)質(zhì)是求解的關(guān)鍵.

例2 如圖1，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得PM=PN. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點(diǎn)P的軌跡方程.

解：如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則兩圓心分別為O1（-2，0），O2（2，0）. 設(shè)P（x，y），則PN2=（x-2）2+y2-1，PM2=O1P2-O1M2=（x+2）2

這就是動點(diǎn)P的軌跡方程.

評注：動圓圓心軌跡問題中①動圓與兩外離定圓均外切（含相交）；②動圓過定點(diǎn)且與定圓外切；③動圓過定點(diǎn)且與定直線相切；④動圓與兩定圓一個外切，一個內(nèi)切；⑤動圓過定點(diǎn)且與定圓相切，通常要考慮圓錐曲線定義的應(yīng)用.

3. 參數(shù)法

當(dāng)動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x，y之間的直接關(guān)系不易或無法找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時，可考慮x，y用一個或幾個參數(shù)來表示，如x=f（t），

y=g（t）消去參數(shù)t得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法. 這是求軌跡方程的一種非常重要的方法. 運(yùn)用此法時應(yīng)注意合理選用參數(shù)，如斜率k、角θ、時間t等，然后將x，y用參數(shù)表示出來，應(yīng)明確參數(shù)的取值范圍，確保軌跡的純粹性和完備性.

例3 已知線段BB′=4，直線l垂直平分BB′，交BB′于點(diǎn)O，在屬于l并且以O(shè)為起點(diǎn)的同一射線上取兩點(diǎn)P，P′，使OP·OP′=9，求直線BP與直線B′P′的交點(diǎn)M的軌跡方程.

因此點(diǎn)M的軌跡是長軸長為6、短軸長為4的橢圓（除B，B′）.

評注：參數(shù)法是選修中的重要考查內(nèi)容之一，因此在軌跡方程中要給予足夠的重視. 在本題中影響動點(diǎn)P的因素很多，比如直線BP的斜率、動點(diǎn)P的坐標(biāo)等，本題也可選擇BP的斜率作為參數(shù).

4. 轉(zhuǎn)移代入法

設(shè)點(diǎn)M是已知曲線F（x，y）=0上的動點(diǎn)，點(diǎn)P因點(diǎn)M的運(yùn)動而運(yùn)動（即點(diǎn)P是點(diǎn)M的相關(guān)點(diǎn)），求點(diǎn)P的軌跡方程.

①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x0，y0），則F（x0，y0）=0；

②設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y）；

③因?yàn)椤包c(diǎn)P隨點(diǎn)M的運(yùn)動而運(yùn)動”，可以求得：x0=f（x，y），y0=g（x，y）；

④把x0=f（x，y），y0=g（x，y）代入F（x0，y0）=0，即得所求點(diǎn)P的軌跡方程.

例4 已知點(diǎn)P1（x0，y0）為雙曲線-=1（b為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，過P1作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于P2，求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡的方程.

以上是求動點(diǎn)軌跡方程的常用方法，如果動點(diǎn)的運(yùn)動和角度有明顯的關(guān)系，還可考慮用復(fù)數(shù)法或極坐標(biāo)法求軌跡方程. 但無論用何方法，都要注意所求軌跡方程中變量的取值范圍. 在平時教學(xué)中，啟發(fā)學(xué)生善于揭示問題的內(nèi)部規(guī)律及知識之間的相互關(guān)系，總結(jié)和歸納求軌跡方程的常用方法，對提高學(xué)生的解題能力、優(yōu)化學(xué)生的解題思路將很有幫助.