充分利用教材認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法

徐永紅

摘 要：數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的推理論證的方法，準(zhǔn)確把握其本質(zhì)，是正確應(yīng)用該法的先決條件.

關(guān)鍵詞：歸納奠基；歸納推理；問(wèn)題

數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是遞推，其形式是固定的兩步：（1）歸納奠基；（2）歸納推理，用它證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)：

（1）n取第一個(gè)值n0（n0∈N*）時(shí)命題成立；

（2）假設(shè)n=k（k≥n0k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

若兩個(gè)步驟完成，則命題由n=n0成立，就有n=n0+1也成立；n=n0+1成立，就有n=n0+2也成立；n=n0+2成立，就有n=n0+3也成立；…… 連續(xù)遞推，形象地可看成引發(fā)了一個(gè)連鎖反應(yīng)（類似于多米諾骨牌倒下的過(guò)程）. 但在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，特別是初學(xué)者對(duì)其本質(zhì)把握不準(zhǔn)的情況下，會(huì)出問(wèn)題，以下就此談幾點(diǎn)看法.

奠基必須有

問(wèn)題1：用數(shù)學(xué)歸納法證明

即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.

數(shù)學(xué)歸納法第（1）步的證明一般都比較簡(jiǎn)單，一些初學(xué)者覺(jué)得它可有可無(wú)，與第（2）步的證明無(wú)關(guān).上述證明就無(wú)第（1）步而直接證明第（2）步，但顯然當(dāng)n=1時(shí)等式不成立（該命題為假命題）. 其實(shí)數(shù)學(xué)歸納法第（2）步中的“假設(shè)n=k時(shí)命題成立”要以第（1）步為依托，即證明了第（1）步中“n=n0時(shí)命題成立”，第（2）步的“假設(shè)n=k時(shí)命題成立”中的“k”至少有“n0”為保證（奠基），所以第（1）步必須證明，因此上述數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用錯(cuò)誤.

[?] 奠基必須實(shí)

問(wèn)題2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：n2<2n（n∈N*）（現(xiàn)行人教版4-5P50例1改編）.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有12<21，不等式成立.

至此，從形式上看完成第（1）步的證明，但顯然當(dāng)n=2，3，4時(shí)不等式不成立（該命題是假命題）. 其實(shí)使“不等式 n2<2n成立的正整數(shù)n為1或5或大于5”，這里若用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第（1）步中的“n0”應(yīng)為“5”，才能為第（2）步中的“k”提供首個(gè)正確的保證值. 而上述問(wèn)題2證明第（1）步，這一奠基則是虛而不實(shí).

遞推必須存在

問(wèn)題3：已知數(shù)列，，，…，，…，Sn為其前n項(xiàng)的和，用數(shù)學(xué)歸納法證明Sn=（現(xiàn)行人教版2-2P94例2改編）.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=S1=，右邊=，等式成立.

（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)等式成立，即Sk=，

那么即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.

數(shù)學(xué)歸納法的第（2）步中n=k+1的情形必須由“假設(shè)n=k時(shí)命題成立”所產(chǎn)生結(jié)論參與推出，這樣才能夠形成從n=k到n=k+1的遞推關(guān)系. 該問(wèn)題的證明雖然推出了n=k+1時(shí)等式成立，但它與n=k無(wú)關(guān)，因此這個(gè)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用是無(wú)效的.

遞推必須有力

問(wèn)題4：用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果n（n∈N*）個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an的乘積a1a2…an=1，那么它們的和a1+a2+…+an≥n（現(xiàn)行人教版4-5P52例4）.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，有a1=1，命題成立.

（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即k個(gè)正整數(shù)的乘積a1a2…ak=1，則

那么

當(dāng)n=k+1時(shí)，由k+1個(gè)正數(shù)a1，a2，…，ak，ak+1滿足條件a1a2…akak+1=1，可知它們中至少有一個(gè)數(shù)大于或等于1，不妨設(shè)ak+1≥1，則

所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.

該證明的第（2）步看似“假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明了當(dāng)n=k+1 時(shí)命題也成立”，其實(shí)這一推理的條件是不充分的，因?yàn)閍1，a2，…，ak，ak+1中a1，a2，…，ak的乘積不一定等于1，所以這里遞推的“力度”不夠，這一失誤導(dǎo)致數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用前功盡棄（正確解答見(jiàn)教材4-5）.

綜上所述，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相輔相成，其中第（1）步是遞推的基礎(chǔ)；第（2）步是遞推的依據(jù)，只有準(zhǔn)確把握，才能夠正確和充分地應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，否則可能導(dǎo)致該法應(yīng)用失敗.