歸納推理在高中拋物線的定義教學(xué)中新思考

陳永紅

【內(nèi)容摘要】提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究和歸納推理能力是新課標(biāo)要求。新課改要求教師在教學(xué)中要充分利用演繹和歸納推理法，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識點之間的脈絡(luò)，或者演繹，或者推理，將所學(xué)的知識上升為思維層面，從而幫助學(xué)生對前面所學(xué)數(shù)學(xué)知識進行綜合運用，讓學(xué)生能更深層次地掌握所學(xué)知識。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 歸納推理 有效引導(dǎo) 提高效益

歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實、獲得新結(jié)論，是各種各樣的探索及科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，歸納推理有著其他推理無可比擬的優(yōu)勢，能起到神奇的功效。要重視歸納推理在教學(xué)中的應(yīng)用！這一想法在我重新面對拋物線的定義教學(xué)時逐漸清晰起來。

一、巧用歸納推理，化模糊為清晰

圓錐曲線定義的教學(xué)過程中，我們大多應(yīng)用類比推理。從已學(xué)圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于一定值的點的軌跡是圓。聯(lián)想：平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于定值的點的軌跡是什么？叫學(xué)生用一根繩子親自動手進行試驗之后用幾何畫板進行動態(tài)演示，學(xué)生直觀得知該軌跡是橢圓。再聯(lián)想：平面內(nèi)到兩定點的距離之差等于定值的點的軌跡是什么？用拉鏈進行演示之后用幾何畫板進行動態(tài)演示，學(xué)生直觀得知該軌跡是雙曲線。這三類曲線的類比點明顯，圖像特征明確，故而學(xué)生接受起來沒有異議。常規(guī)的拋物線定義教學(xué)也用類比推理，但是顯得有點勉強、突兀。首先拋物線定義域前兩個曲線的相似點不夠突出，其次拋物線的圖像是單支曲線。從前幾屆的學(xué)生反饋的信息發(fā)現(xiàn)：學(xué)生總有疑問滿足到一定點F的距離等于到一定直線l（F ）的距離的點的軌跡就是拋物線？甚至有的同學(xué)稱之為單曲線。又已知二次函數(shù)的圖像是拋物線，此拋物線是否就是彼拋物線？所以拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程教完之后，還得花時間證明二次函數(shù)圖像上的點也滿足到一定點F的距離等于到一定直線l的距離。對此，我就拋物線定義的教學(xué)設(shè)計做了調(diào)整，進行了新嘗試。在學(xué)生已建立的認(rèn)知“二次函數(shù)的圖像是拋物線”的基礎(chǔ)上去挖掘出更深層次的規(guī)律性的結(jié)論，再提煉成拋物線的定義。

我對拋物線的定義的教學(xué)做了多元化設(shè)計，學(xué)生可以從中得到新知：到一定點F的距離等于到一定直線l（F ）的距離的點的軌跡就是拋物線。由具體到抽象，有由特殊到一般，學(xué)生對拋物線的定義也就從模糊到清晰。

在我嘗試用歸納推理講解拋物線的定義之后，幾位數(shù)學(xué)教師就這一設(shè)計進行了討論。對此設(shè)計各有不同的見解，仁者見仁智者見智。有的說考慮知識的延續(xù)性，還是原有的教法各自然，反正定義的東西怎么說就怎么是，開門見山，直奔主題，讓學(xué)生記下就是；也有人贊同我的新思路，認(rèn)為不妨一試。應(yīng)用歸納推理進行概念教學(xué)，給學(xué)生一個很好的導(dǎo)向：對一個新的問題、對一個模糊的概念可以嘗試用歸納推理理出條理及思路。如果說拋物線的定義應(yīng)用歸納推理能使得模糊的概念清晰化還有教師不贊同的話，那么微積分基本定理應(yīng)用歸納推理達到的效果則是相當(dāng)?shù)拿黠@，這一點毋庸置疑。

二、妙用歸納推理，化深奧為淺顯

從淺顯的實際情境出發(fā)歸納出深奧的數(shù)學(xué)理論，達到化深奧為淺顯、化難為易的目的，有助于學(xué)生對知識的理解與記憶，達到事半功倍的效果。

如微積分基本定理（牛頓-萊布尼茲公式）：

其中 。

揭示導(dǎo)數(shù)與定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，提供計算微積分的捷徑，是微積分乃至整個高等數(shù)學(xué)的重要定理，能正確理解并掌握該定理對學(xué)生計算定積分提供工具，并為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)奠定堅實的基礎(chǔ)。但是該定理的探究及證明對高中一般校的大部分學(xué)生而言很是深奧，不好理解。為此，我設(shè)計了這樣的教學(xué)思路。

設(shè)質(zhì)點M的運動速度

，時間為t，位移s（t）。求質(zhì)點M在t∈[a，b]的位移 。

分析：從定積分定義的角度可知：

但是利用定積分定義不易求得其值。從這個具體的運動位移問題出發(fā)，問學(xué)生如何求 的值？水到渠成，學(xué)生自然而然提煉出一般性的結(jié)論。這樣的設(shè)計不僅讓學(xué)生容易理解并接受該定理，而且讓學(xué)生知道歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要作用，同時也讓學(xué)生體會到原來數(shù)學(xué)可以這么學(xué)，充分體驗到成功的喜悅。接下來在讓學(xué)生去研究此定理的證明過程就有了信心及底氣，這原本深奧、晦澀、難懂、抽象的數(shù)學(xué)證明也就迎刃而解。

三、思用歸納推理，化抽象為具體

眾所周知，三角函數(shù)的公式多，變化多。在我們看來很簡單的公式及結(jié)論對一般校的大部分學(xué)生而言像一團亂麻，纏來繞去總是理不清。如誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)及記憶。我們的教學(xué)設(shè)計大多是從三角函數(shù)的定義：角 的終邊與單位圓交于一點P 則