一類最值問(wèn)題的另類解法

邵達(dá)

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齊次最值問(wèn)題的解法多種多樣，作者在用換元法解決這類問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)分子分母均為齊次式，且次數(shù)相等的問(wèn)題，進(jìn)而用賦值法加以解決.

關(guān)鍵詞： 不等式 二次方程 齊次 賦值

筆者在復(fù)習(xí)不等式時(shí)碰到了這樣的一類最值問(wèn)題.2011年浙江高考第16題：設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x +y +xy=1，則2x+y的最大值是？搖？搖？搖？搖.這類問(wèn)題是復(fù)習(xí)題中必出現(xiàn)的一類問(wèn)題，它的解法多種多樣，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)答案的解答，筆者不在這里詳述，只想提出對(duì)這類問(wèn)題的另類思考和拓展.

解析1：看到條件等式的二次背景，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓經(jīng)仿射變換形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，則x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)x= ，y= 時(shí)取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我們都可以通過(guò)配方，找到其標(biāo)準(zhǔn)形式下對(duì)應(yīng)的圓錐曲線.那么，類似上述的最值問(wèn)題可以通過(guò)圓錐曲線的參數(shù)方程解決.

筆者嘗試將二元變成三元，再來(lái)看看這類問(wèn)題，先嘗試系數(shù)比較簡(jiǎn)單的.

變式1.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖？搖.

解析：首先，xy+yz取正數(shù)時(shí)達(dá)到最大值，以下基于這種認(rèn)識(shí)，我們不妨設(shè)xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的對(duì)稱性，可知

= ≤ = ，

當(dāng)x= y=z時(shí)取到最大值 .

我們把系數(shù)變復(fù)雜，有

變式2.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析1：本題的配湊的系數(shù)難以觀察得出，可利用待定系數(shù).這是一個(gè)比較常規(guī)的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

當(dāng)x= y= z時(shí)取到最大值 .

從分子入手的方法請(qǐng)讀者自己思考.

解析2：由于上面的解法較繁瑣，因此我們嘗試能否像原題那樣進(jìn)行換元解決.

可設(shè)x +y +z =r ，利用球的參數(shù)方程換元.同時(shí)，我們觀察到這里的r，最后必定約去.故可直接設(shè)x +y +z =1，設(shè)x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

當(dāng)x= y= z時(shí)取到最大值 .

由此啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于分子分母是齊二次的分式的最值問(wèn)題，大可以對(duì)其中某一個(gè)量進(jìn)行賦值.

回顧2011年的浙江省高考題，其實(shí)可以轉(zhuǎn)化為求 的最大值的問(wèn)題.

于是我們又有如下做法.

解2：令2x+y=1，則y=1-2x

= = = ≤

故原題中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更絕的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0時(shí)，上式的值為1.下同.endprint

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齊次最值問(wèn)題的解法多種多樣，作者在用換元法解決這類問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)分子分母均為齊次式，且次數(shù)相等的問(wèn)題，進(jìn)而用賦值法加以解決.

關(guān)鍵詞： 不等式 二次方程 齊次 賦值

筆者在復(fù)習(xí)不等式時(shí)碰到了這樣的一類最值問(wèn)題.2011年浙江高考第16題：設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x +y +xy=1，則2x+y的最大值是？搖？搖？搖？搖.這類問(wèn)題是復(fù)習(xí)題中必出現(xiàn)的一類問(wèn)題，它的解法多種多樣，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)答案的解答，筆者不在這里詳述，只想提出對(duì)這類問(wèn)題的另類思考和拓展.

解析1：看到條件等式的二次背景，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓經(jīng)仿射變換形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，則x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)x= ，y= 時(shí)取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我們都可以通過(guò)配方，找到其標(biāo)準(zhǔn)形式下對(duì)應(yīng)的圓錐曲線.那么，類似上述的最值問(wèn)題可以通過(guò)圓錐曲線的參數(shù)方程解決.

筆者嘗試將二元變成三元，再來(lái)看看這類問(wèn)題，先嘗試系數(shù)比較簡(jiǎn)單的.

變式1.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖？搖.

解析：首先，xy+yz取正數(shù)時(shí)達(dá)到最大值，以下基于這種認(rèn)識(shí)，我們不妨設(shè)xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的對(duì)稱性，可知

= ≤ = ，

當(dāng)x= y=z時(shí)取到最大值 .

我們把系數(shù)變復(fù)雜，有

變式2.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析1：本題的配湊的系數(shù)難以觀察得出，可利用待定系數(shù).這是一個(gè)比較常規(guī)的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

當(dāng)x= y= z時(shí)取到最大值 .

從分子入手的方法請(qǐng)讀者自己思考.

解析2：由于上面的解法較繁瑣，因此我們嘗試能否像原題那樣進(jìn)行換元解決.

可設(shè)x +y +z =r ，利用球的參數(shù)方程換元.同時(shí)，我們觀察到這里的r，最后必定約去.故可直接設(shè)x +y +z =1，設(shè)x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

當(dāng)x= y= z時(shí)取到最大值 .

由此啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于分子分母是齊二次的分式的最值問(wèn)題，大可以對(duì)其中某一個(gè)量進(jìn)行賦值.

回顧2011年的浙江省高考題，其實(shí)可以轉(zhuǎn)化為求 的最大值的問(wèn)題.

于是我們又有如下做法.

解2：令2x+y=1，則y=1-2x

= = = ≤

故原題中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更絕的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0時(shí)，上式的值為1.下同.endprint

摘 要： 已知某二元二次方程，求二元齊次最值問(wèn)題的解法多種多樣，作者在用換元法解決這類問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)分子分母均為齊次式，且次數(shù)相等的問(wèn)題，進(jìn)而用賦值法加以解決.

關(guān)鍵詞： 不等式 二次方程 齊次 賦值

筆者在復(fù)習(xí)不等式時(shí)碰到了這樣的一類最值問(wèn)題.2011年浙江高考第16題：設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x +y +xy=1，則2x+y的最大值是？搖？搖？搖？搖.這類問(wèn)題是復(fù)習(xí)題中必出現(xiàn)的一類問(wèn)題，它的解法多種多樣，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)答案的解答，筆者不在這里詳述，只想提出對(duì)這類問(wèn)題的另類思考和拓展.

解析1：看到條件等式的二次背景，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的橢圓經(jīng)仿射變換形成，4x +y +xy= x +（ x+y） =1，

令cosθ= xsinθ= x+y，則x= cosθy=sinθ- cosθ，

故2x+y=sinθ+ cosθ≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)x= ，y= 時(shí)取到最值 .

任意形式的二元二次方程，我們都可以通過(guò)配方，找到其標(biāo)準(zhǔn)形式下對(duì)應(yīng)的圓錐曲線.那么，類似上述的最值問(wèn)題可以通過(guò)圓錐曲線的參數(shù)方程解決.

筆者嘗試將二元變成三元，再來(lái)看看這類問(wèn)題，先嘗試系數(shù)比較簡(jiǎn)單的.

變式1.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖？搖.

解析：首先，xy+yz取正數(shù)時(shí)達(dá)到最大值，以下基于這種認(rèn)識(shí)，我們不妨設(shè)xy+yz>0.

利用基本不等式，由式子中x，z的對(duì)稱性，可知

= ≤ = ，

當(dāng)x= y=z時(shí)取到最大值 .

我們把系數(shù)變復(fù)雜，有

變式2.已知x，y，z∈R，則 的最大值為？搖？搖？搖 ？搖.

解析1：本題的配湊的系數(shù)難以觀察得出，可利用待定系數(shù).這是一個(gè)比較常規(guī)的思路.

x +λy ≥2 xy（1-λ）y +z ≥2 yz，故x +y +z ≥2 xy+2 yz，

令2 ：2 = ，解得λ= ，

故 = ≤ = ，

當(dāng)x= y= z時(shí)取到最大值 .

從分子入手的方法請(qǐng)讀者自己思考.

解析2：由于上面的解法較繁瑣，因此我們嘗試能否像原題那樣進(jìn)行換元解決.

可設(shè)x +y +z =r ，利用球的參數(shù)方程換元.同時(shí)，我們觀察到這里的r，最后必定約去.故可直接設(shè)x +y +z =1，設(shè)x=cosθsinφz=cosθcosφy=sinθ，

=sinθcosθsinφ+2sinθcosθcosφ= sin2θ（sinφ+2cosφ）≤ ，

當(dāng)x= y= z時(shí)取到最大值 .

由此啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于分子分母是齊二次的分式的最值問(wèn)題，大可以對(duì)其中某一個(gè)量進(jìn)行賦值.

回顧2011年的浙江省高考題，其實(shí)可以轉(zhuǎn)化為求 的最大值的問(wèn)題.

于是我們又有如下做法.

解2：令2x+y=1，則y=1-2x

= = = ≤

故原題中2x+y≤ ≤ = .下同.

解析3：更絕的做法是令x=1，

= =1+ =1+ ≤1+ =

上式中y≠0，而y=0時(shí)，上式的值為1.下同.endprint