解析幾何試題解題方法技巧探究

王安園

近幾年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個(gè)類型：一是求曲線方程（類型確定、類型未定）；二是直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題（含切線問題）；三是與曲線有關(guān)的最（極）值問題；四是與曲線有關(guān)的幾何證明（對稱性或求對稱曲線、平行、垂直）；五是探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征；六是突出能力立意，重視知識聯(lián)系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想和方法.如2011年理科第20題將平面向量，基本不等式，以及解析幾何知識巧妙結(jié)合，融為一體，有很強(qiáng)的綜合性.

依據(jù)高考解析幾何的命題趨勢，在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者做了解題方法和技巧的嘗試與研究，現(xiàn)從四個(gè)方面談?wù)勼w會(huì)，與同行共勉.

一、正確描述轉(zhuǎn)化語言，建立數(shù)量關(guān)系，形成解答問題的方法

例1：設(shè)雙曲線 - =1（a>b>0）的半焦距為c，直線L過（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線L的距離為 c，則雙曲線的離心率為（ ）

A.2 B.2或 C. D

解：易錯(cuò)選B.原因：忽略條件a>b>0對離心率范圍的限制.

二、形式優(yōu)化，運(yùn)算從簡

例2：已知橢圓 + =1與射線y= x（x≥0），交于點(diǎn)A，過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，求證：直線BC的斜率為定值，并求這個(gè)定值.

解：由題意得A（1， ），設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，

所以y- =k（x-1）2x +y =4

由直線方程y=k（x-1）+ 代入2x +y =4得

2x +[k（x-1）+ ] =4，化簡過程為：

2x +k （x-1） +2 k（x-1）+2=4

2x +k x -2k x+k +2 kx-2 -2=0

整理后，得：（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

事實(shí)上，若把直線方程寫成優(yōu)化的形式kx+（ -k）代入2x +y =4得：

2x +[kx+（ -k）] =4，化簡后，得（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

x +x =

又∵x =1

∴x =

同理用-k替換上式中的k，得：x =

K = = = 為定值

由此可見，優(yōu)化的形式y(tǒng)=kx+（ -k）與y=k（x-1）+ 比較，運(yùn)算量大大減少.

三、設(shè)而不算、類比可得

例3：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y= x 的焦點(diǎn)，離心率等于 .（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若 =λ ， =λ ，求證：λ +λ 為定值.

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為 + =1（a>b>0），則由題意知b=1，

∴ = ，即 = ，∴a =5.

∴橢圓C的方程為 +y =1.

（2）常規(guī)方法：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）又已知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）.將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k ）x -20k x+20k -5=0，∴x +x = ，x x = .

又∵ =λ ， =λ ，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得λ = ，λ = ，

∴λ +λ = + = =…=-10.

類比方法：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）.

易知F（2，0），∵ =λ ，∴（x ，y -y ）=λ （2-x ，-y ），

∴x = ，y = .

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 （ ） +（ ）=1.

去分母整理得λ +10λ +5-5y =0.

同理，由 =λ 可得：λ +10λ +5-5y =0，

∴λ ，λ 是方程x +10x+5-5y =0的兩個(gè)根，

∴λ +λ =-10.

總之，在解析幾何練習(xí)教學(xué)中，教師要教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確把握直線、圓和圓錐曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將試題中的文字語言描述轉(zhuǎn)化為圖形語言，建立數(shù)量關(guān)系，形成解答問題的方法，逐步提高運(yùn)算求解的能力.只要深入研究解題方法，不斷歸納總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，就定能在高考中取得優(yōu)異的成績.endprint

近幾年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個(gè)類型：一是求曲線方程（類型確定、類型未定）；二是直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題（含切線問題）；三是與曲線有關(guān)的最（極）值問題；四是與曲線有關(guān)的幾何證明（對稱性或求對稱曲線、平行、垂直）；五是探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征；六是突出能力立意，重視知識聯(lián)系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想和方法.如2011年理科第20題將平面向量，基本不等式，以及解析幾何知識巧妙結(jié)合，融為一體，有很強(qiáng)的綜合性.

依據(jù)高考解析幾何的命題趨勢，在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者做了解題方法和技巧的嘗試與研究，現(xiàn)從四個(gè)方面談?wù)勼w會(huì)，與同行共勉.

一、正確描述轉(zhuǎn)化語言，建立數(shù)量關(guān)系，形成解答問題的方法

例1：設(shè)雙曲線 - =1（a>b>0）的半焦距為c，直線L過（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線L的距離為 c，則雙曲線的離心率為（ ）

A.2 B.2或 C. D

解：易錯(cuò)選B.原因：忽略條件a>b>0對離心率范圍的限制.

二、形式優(yōu)化，運(yùn)算從簡

例2：已知橢圓 + =1與射線y= x（x≥0），交于點(diǎn)A，過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，求證：直線BC的斜率為定值，并求這個(gè)定值.

解：由題意得A（1， ），設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，

所以y- =k（x-1）2x +y =4

由直線方程y=k（x-1）+ 代入2x +y =4得

2x +[k（x-1）+ ] =4，化簡過程為：

2x +k （x-1） +2 k（x-1）+2=4

2x +k x -2k x+k +2 kx-2 -2=0

整理后，得：（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

事實(shí)上，若把直線方程寫成優(yōu)化的形式kx+（ -k）代入2x +y =4得：

2x +[kx+（ -k）] =4，化簡后，得（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

x +x =

又∵x =1

∴x =

同理用-k替換上式中的k，得：x =

K = = = 為定值

由此可見，優(yōu)化的形式y(tǒng)=kx+（ -k）與y=k（x-1）+ 比較，運(yùn)算量大大減少.

三、設(shè)而不算、類比可得

例3：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y= x 的焦點(diǎn)，離心率等于 .（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若 =λ ， =λ ，求證：λ +λ 為定值.

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為 + =1（a>b>0），則由題意知b=1，

∴ = ，即 = ，∴a =5.

∴橢圓C的方程為 +y =1.

（2）常規(guī)方法：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）又已知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）.將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k ）x -20k x+20k -5=0，∴x +x = ，x x = .

又∵ =λ ， =λ ，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得λ = ，λ = ，

∴λ +λ = + = =…=-10.

類比方法：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）.

易知F（2，0），∵ =λ ，∴（x ，y -y ）=λ （2-x ，-y ），

∴x = ，y = .

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 （ ） +（ ）=1.

去分母整理得λ +10λ +5-5y =0.

同理，由 =λ 可得：λ +10λ +5-5y =0，

∴λ ，λ 是方程x +10x+5-5y =0的兩個(gè)根，

∴λ +λ =-10.

總之，在解析幾何練習(xí)教學(xué)中，教師要教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確把握直線、圓和圓錐曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將試題中的文字語言描述轉(zhuǎn)化為圖形語言，建立數(shù)量關(guān)系，形成解答問題的方法，逐步提高運(yùn)算求解的能力.只要深入研究解題方法，不斷歸納總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，就定能在高考中取得優(yōu)異的成績.endprint

近幾年新教材高考對解析幾何內(nèi)容的考查主要集中在如下幾個(gè)類型：一是求曲線方程（類型確定、類型未定）；二是直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題（含切線問題）；三是與曲線有關(guān)的最（極）值問題；四是與曲線有關(guān)的幾何證明（對稱性或求對稱曲線、平行、垂直）；五是探求曲線方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征；六是突出能力立意，重視知識聯(lián)系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想和方法.如2011年理科第20題將平面向量，基本不等式，以及解析幾何知識巧妙結(jié)合，融為一體，有很強(qiáng)的綜合性.

依據(jù)高考解析幾何的命題趨勢，在高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者做了解題方法和技巧的嘗試與研究，現(xiàn)從四個(gè)方面談?wù)勼w會(huì)，與同行共勉.

一、正確描述轉(zhuǎn)化語言，建立數(shù)量關(guān)系，形成解答問題的方法

例1：設(shè)雙曲線 - =1（a>b>0）的半焦距為c，直線L過（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線L的距離為 c，則雙曲線的離心率為（ ）

A.2 B.2或 C. D

解：易錯(cuò)選B.原因：忽略條件a>b>0對離心率范圍的限制.

二、形式優(yōu)化，運(yùn)算從簡

例2：已知橢圓 + =1與射線y= x（x≥0），交于點(diǎn)A，過A作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)B和點(diǎn)C，求證：直線BC的斜率為定值，并求這個(gè)定值.

解：由題意得A（1， ），設(shè)AB的斜率為k，則AC的斜率為-k，

所以y- =k（x-1）2x +y =4

由直線方程y=k（x-1）+ 代入2x +y =4得

2x +[k（x-1）+ ] =4，化簡過程為：

2x +k （x-1） +2 k（x-1）+2=4

2x +k x -2k x+k +2 kx-2 -2=0

整理后，得：（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

事實(shí)上，若把直線方程寫成優(yōu)化的形式kx+（ -k）代入2x +y =4得：

2x +[kx+（ -k）] =4，化簡后，得（2+k ）x +2k（ -k）x+（ -k） -4=0

x +x =

又∵x =1

∴x =

同理用-k替換上式中的k，得：x =

K = = = 為定值

由此可見，優(yōu)化的形式y(tǒng)=kx+（ -k）與y=k（x-1）+ 比較，運(yùn)算量大大減少.

三、設(shè)而不算、類比可得

例3：已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y= x 的焦點(diǎn)，離心率等于 .（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若 =λ ， =λ ，求證：λ +λ 為定值.

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為 + =1（a>b>0），則由題意知b=1，

∴ = ，即 = ，∴a =5.

∴橢圓C的方程為 +y =1.

（2）常規(guī)方法：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）又已知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）.顯然直線l存在的斜率，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）.將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k ）x -20k x+20k -5=0，∴x +x = ，x x = .

又∵ =λ ， =λ ，將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得λ = ，λ = ，

∴λ +λ = + = =…=-10.

類比方法：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x ，y ），B（x ，y ），M（0，y ）.

易知F（2，0），∵ =λ ，∴（x ，y -y ）=λ （2-x ，-y ），

∴x = ，y = .

將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得 （ ） +（ ）=1.

去分母整理得λ +10λ +5-5y =0.

同理，由 =λ 可得：λ +10λ +5-5y =0，

∴λ ，λ 是方程x +10x+5-5y =0的兩個(gè)根，

∴λ +λ =-10.

總之，在解析幾何練習(xí)教學(xué)中，教師要教會(huì)學(xué)生準(zhǔn)確把握直線、圓和圓錐曲線的概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將試題中的文字語言描述轉(zhuǎn)化為圖形語言，建立數(shù)量關(guān)系，形成解答問題的方法，逐步提高運(yùn)算求解的能力.只要深入研究解題方法，不斷歸納總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，就定能在高考中取得優(yōu)異的成績.endprint