L-代數(shù)上的賦值

高小燕

(榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 榆林 719000)

Rump在2008年提出L-代數(shù)[1],它具有多值邏輯，直覺邏輯和量子邏輯的特點(diǎn)，因此L-代數(shù)是值得研究的非經(jīng)典邏輯代數(shù)。隨后，Yang等人討論了格效應(yīng)代數(shù)和L-代數(shù)的關(guān)系[2]，該團(tuán)隊(duì)還證明了正交模格也是L-代數(shù)[3]。Ciungu 證明了交換的KL-代數(shù)是BCI-代數(shù)[4]。在[5]中，Rump從代數(shù)、幾何和拓?fù)涞慕嵌冉o出了L-代數(shù)的一些例子。

Busneag首先在希爾伯特代數(shù)上定義了賦值，并借助賦值給出了一種度量,證明了蘊(yùn)含運(yùn)算在該度量下是一致連續(xù)的[6]。在此基礎(chǔ)上，Lee在BE-代數(shù)引入了偽賦值，利用偽賦值給出了偽度量，并證明了其上的二元運(yùn)算是一致連續(xù)的[7]。近些年，Mehrshad等人在BCK-代數(shù)上定義了偽賦值，證明了在由偽賦值誘導(dǎo)的拓?fù)湎?L-代數(shù)上的運(yùn)算是連續(xù)的[8]。

本文在L-代數(shù)中引入強(qiáng)偽賦值和偽賦值的概念，討論他們之間的關(guān)系。接著給出強(qiáng)偽賦值和偽賦值的構(gòu)造，最后給出了強(qiáng)偽賦值與態(tài)可以相互誘導(dǎo)的公式。

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)L非空集合，稱(L，→，1)為L-代數(shù)，若它滿足以下條件：對于?x,y,z∈L,

(L1)x→x=1,x→1=1,1→x=x；

(L2)(x→y)→(x→z)=(y→x)→(y→z) ；

(L3) 若x→y=y→x=1，則x=y 。

在L上定義關(guān)系為 x≤y?x→y=1，對于?x,y∈L；可以證明它是偏序關(guān)系。若L有最小元0，則稱L是有界L-代數(shù)。

例1設(shè)L={0,a,b,c,1}，→運(yùn)算定義如下：

→0abc1011111ab1b11baa111c0ab1110abc1

則(L,→,1)是一個有界L-代數(shù)。

定義2 設(shè)(L,→,1)是一個L-代數(shù)，R是一個實(shí)數(shù)集，φ∶L→R，給出以下條件，對于?x,y∈L：

(pv1)φ(1)=0 ；

(pv2) 若φ(x)=0,則x=1

(pv3) φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)；

(pv4)φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)。

若φ滿足(pv1)和(pv3),則稱φ是偽賦值；若φ滿足(pv1)和(pv4),則稱φ是強(qiáng)偽賦值；若φ滿足(pv1),(pv2)和(pv3),則稱φ是賦值；若φ滿足(pv1)-(pv4)則稱φ是強(qiáng)賦值。

例2 設(shè)(L,→,1)是L-代數(shù)(見例1)，在L上定義實(shí)值函數(shù)φ如下

可以驗(yàn)證φ滿足(pv1),(pv3) (pv4),從而φ是偽賦值和強(qiáng)偽賦值。但這個L-代數(shù)無強(qiáng)賦值。這是因?yàn)?，假設(shè)φ是強(qiáng)賦值，則它滿足(pv4)，令y=c,x=0,則由φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)得φ(c)+φ(0)=φ(1)+φ(0)，由于φ(1)=0，因此φ(c)=0，這與(pv2)矛盾。

定義3 設(shè)L是一個L-代數(shù)，L上Bosbach態(tài)是一個函數(shù)s∶L→[0,1],滿足以下條件：

(s1) s(1)=1 ；

(s2) s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x)。

例3 設(shè)(L,→,1)是L-代數(shù)(見例1)，在L上定義實(shí)值函數(shù)s如下

可以驗(yàn)證s是(L,→,1)上的Bosbach態(tài)。

2 主要結(jié)論

命題1 設(shè)φ是L上的一個偽賦值，則以下命題成立：

(1)φ是反序的，即x≤y?φ(x)≥φ(y)；

(2)φ(x)≥0。

證明(1)x≤y設(shè)，則x→y=1，可得φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)=φ(1)+φ(x)=φ(x)即φ(y)≤φ(x)。

(2) 因?yàn)閤≤1，φ(1)=0且φ是反序的，所以φ(x)≥φ(1)=0。

推論1 強(qiáng)偽賦值是是偽賦值。

證明設(shè)φ是L上的一個強(qiáng)偽賦值，則它滿足φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)，由命題1的(2)知φ(y→x)≥0，因此φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)。

下面給出例子，說明偽賦值不是強(qiáng)偽賦值。

例4 設(shè)L={0,a,b,c,d,1}，→運(yùn)算定義如下：

→0abcd10111111ad1d1d1bcc1111cbcd1d1daacc1110abcd1

則(L,→,1)是一個L-代數(shù)。在L上定義實(shí)值函數(shù)φ如下

可以驗(yàn)證而φ是L上的偽賦值，但它并不是L上的強(qiáng)偽賦值，因?yàn)?=φ(0→a)+φ(0)≠φ(a→0)+φ(a)=3。

定理1 (1) φ是L上的偽賦值，則φ1和φ2也是偽賦值；

(2) φ是L上的賦值，則φ1和φ2也是賦值；

(3) φ是L上的強(qiáng)偽賦值，則φ1也是強(qiáng)偽賦值；

(4) φ是L上的強(qiáng)賦值，則φ1也是強(qiáng)賦值。

證明(1) 因?yàn)棣帐荓-代數(shù)上的偽賦值，所以φ滿足以下條件：

(pv1)φ(1)=0 和(pv3) φ(y)≤φ(x→y)+φ(x)。

由于φ1(x)=wφ(x),(w>0)我們有φ(1)=wφ(1)=0，即(pv1)成立；φ1(x→y)+φ1(x)=wφ(x→y)+wφ(x)≥wφ(y)=φ1(y)，從而可得(pv3)成立，這就證明了φ1為L-代數(shù)上的偽賦值。

下面驗(yàn)證φ2滿足(pv3)，從而φ2是偽賦值。當(dāng)x=y=1時，結(jié)論顯然成立。

當(dāng)x≤y且x≠1時，此時分兩種情況，情況1，y=1，結(jié)論顯然成立；情況2，y≠1，我們有φ2(x→y)+φ2(x)=φ2(1)+φ2(x)=φ2(x)=wφ(x)+b≥wφ(y)+b=φ2(y)。

這是因?yàn)棣帐莻钨x值，由命題1知φ是反序的。

當(dāng)x≤y不成立時, 此時分兩種情況, 情況1，x=1，

φ2(x→y)+φ2(x)=φ2(1→y)+φ2(1)=φ2(y)。

情況2，x嚴(yán)格小于1，此時y嚴(yán)格小于1，因此φ2(x→y)+φ2(x)=wφ(x→y)+b+wφ(x)+b≥wφ(y)+b=φ2(y)。

(2) 設(shè)φ是L-代數(shù)上的賦值，則φ(x)=0,一定有x=1。若φ(x)=0則0=φ1(x)=wφ(x),又因?yàn)閣>0,從而φ(x)=0，因此有x=1。由(1)知φ1是L-代數(shù)上的賦值。

若φ2(x)=0則必有x=1。否則φ2(x)=wφ(x)+b≥b>0矛盾。由(1)知φ2是L-代數(shù)上的賦值。

(3) 由(1)知，φ1滿足(pv1),下面證明φ1滿足(pv4)，從而φ1也是強(qiáng)偽賦值。

φ1(y)+φ1(y→x)=wφ(y)+wφ(y→x)=wφ(x→y)+wφ(x)=φ1(x→y)+φ1(x)。

(4) 由(2)和(3)知(4)是成立的。

下面的例子說明：φ是L上的強(qiáng)偽賦值，但φ2不是L上的強(qiáng)偽賦值。

例5 設(shè)L={0,a,b,c,d,1}，→運(yùn)算定義見例4，在L上定義實(shí)值函數(shù)φ如下

但φ2并不是L上的強(qiáng)偽賦值，這是因?yàn)?/p>

4=φ2(0→b)+φ2(0)≠φ2(b→0)+φ2(b)=5。

定理2 設(shè)L是一個L-代數(shù)，s是L上的Bosbach態(tài)。定義一個實(shí)值函數(shù)φt(x)=t-ts(x)，?x∈L,t∈R且t≥0，則φt是L上的一個強(qiáng)偽賦值。

證明首先證明φt滿足(pv1)， φt(1)=t-ts(1)=t-t=0。

其次證明φt滿足(pv4)，

φt(x→y)+φt(x)=t-ts(x→y)+t-ts(x)=2t-t(s(x→y)+s(x))，由(s2)得s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x)，從而2t-t(s(x→y)+s(x))=2t-t(s(y)+s(y→x)=(t-ts(y))+(t-ts(y→x))=φt(y→x)+φt(y)，因此φt是L上的強(qiáng)偽賦值。

定理3 設(shè)L是一個L-代數(shù)，φ是L上的強(qiáng)偽賦值。令s(x)=1-φ(x)，則s是L上的一個Bosbach態(tài)。

證明顯然s(1)=1-φ(1)=1-0=1,從而滿足(s1)。 下面證明 (s2)成立。由s(x)定義知

s(x)+s(x→y)=1-φ(x)+1-φ(x→y)，因?yàn)棣諠M足(pv4)，即φ(y)+φ(y→x)=φ(x→y)+φ(x)，從而有s(x)+s(x→y)=1-φ(x)+1-φ(x→y)=1-φ(y)+1-φ(y→x)=s(y)+s(y→x)，因此s是L上的一個Bosbach態(tài)。

3 結(jié)語

L-代數(shù)既有模糊邏輯的特性，又有量子邏輯的特點(diǎn)，是一類重要的非經(jīng)典邏輯代數(shù)。本文在L-代數(shù)上引入了強(qiáng)偽賦值的概念，給出一些構(gòu)造方法，也討論強(qiáng)偽賦值與態(tài)的關(guān)系。關(guān)于強(qiáng)偽賦值的存在性和度量的誘導(dǎo)還有待研究。