波利亞——本老師不是變態(tài)

曹則賢

波利亞（George Pólya，1887～1985），匈牙利數(shù)學家，1940年前生活在歐洲，后移居美國。波利亞能夠用匈牙利語、法語、德語、意大利語、英語和丹麥語等幾種文字寫作，他當然也會一些拉丁語和希臘語。波利亞青年時期曾攻讀數(shù)學、物理和哲學。在數(shù)學研究方面涉獵過數(shù)論、函數(shù)論、概率論、幾何等領域。波利亞活到98歲仍耳聰目明，這與他一直進行數(shù)學思考不無關系。

波利亞的數(shù)學功底在其同事和學生中間有口皆碑，就對基礎數(shù)學的理解深度而言，無人能出其右。波利亞對數(shù)學教學的熱情，而不只是其數(shù)學天分，才是他取得這樣杰出成就的保證。

波利亞作為數(shù)學家，曾被譽為20世紀經典分析領域的巨人之一，他的所有研究都體現(xiàn)出使人愉悅的個性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法、簡捷的手段以及有力的結果。但是，波利亞的名氣更多地來自他的教育理念與實踐。波利亞主張數(shù)學教育主要目的之一是發(fā)展學生解決問題的能力，教會學生思考。為了教會人們如何解答（數(shù)學）問題，波利亞先后撰寫了How to Solve It（中譯本為《怎樣解題》）、Mathematical Discovery on Understanding，Learning and Teaching Problem Solving（中譯本為《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》）、Mathematics and Plausible Reasoning： Induction and Analogy in Mathematics（中譯本為《數(shù)學與猜想：數(shù)學中的歸納和類比》）、Mathematics and Plausible Reasoning： Patterns of Plausible Inference（中譯本為《數(shù)學與猜想：合情推理模式》）等書。這些書籍一經出版，立刻在數(shù)學界引起轟動，很快風行世界。波利亞的這些書，高屋建瓴偏又能深入淺出，我相信幾乎所有閱讀過的人們都會有醍醐灌頂?shù)母杏X。筆者在閱讀這些書籍時，只覺得那些年—從小學到博士畢業(yè)—筆者消磨在數(shù)學上的時光真是白費了。

數(shù)學一向被認為是最晦澀難懂的學問。波利亞卻有一種特殊的風格，總是能用他不經意的風趣去消解讀者的畏難情緒?！癐n order to solve this differential equation， you look at it till a solution occurs to you.（為了解這個微分方程，你要盯著它看，直到方程的解降臨于你。）”“The first rule of discovery is to have brains and good luck. The second rule of discovery is to sit tight and wait till you get a bright idea.（發(fā)現(xiàn)的第一定律是要有腦子和好運氣，發(fā)現(xiàn)的第二定律是你要坐得住，直等到有了聰明的好主意。）”這些風趣的句子隨意散落在波利亞的著作中。句句在理的大白話，不免讓人會心一笑。那接下來的高深數(shù)學，也就不是那么索然無味了。

波利亞灌輸數(shù)學思想的同時，一直不厭其煩地就具體的問題，引導讀者去學會解決數(shù)學問題的方法。在《怎樣解題》一書中，波利亞針對解決數(shù)學問題（一般指還沒有現(xiàn)成解的問題）建議了如下步驟：

1. 首先，你要弄明白問題；

2. 弄明白問題后，制訂一個計劃；

3. 執(zhí)行計劃；

4. 回過頭來檢查已完成的工作?？梢宰龅酶靡恍﹩?？

如果以上幾條不好使，波利亞建議你看看能否找到你能解決的、稍容易一點的問題，或者首先嘗試解決一些相關的其他問題。筆者覺得，波利亞的這些建議不只是針對數(shù)學問題，對于物理學或者其他自然科學領域，它們也一樣有效。難怪“按照波利亞的方式解決問題（Problem solving à la Pólya）”會被學術界奉為圭臬。

波利亞在數(shù)學方面的一個重大貢獻是關于隨機行走規(guī)律的研究。波利亞注意到隨機行走問題的過程非常具有傳奇色彩，因此被科學史家所津津樂道。

波利亞在瑞士的時候，有段時間住在一家療養(yǎng)院里。療養(yǎng)院在一片林地中，平時波利亞就在林子里一邊散步一邊思考他的數(shù)學問題。有點像我們的唐朝詩人李賀，波利亞出門也是帶著紙和筆的，一旦思有所得就趕緊記下來。療養(yǎng)院附近住著一些學生，有些還是波利亞認識的。有一天，波利亞在散步的時候遇到了一個他認識的學生，這個學生帶著他的女朋友也在散步。相遇的時候雙方也許打過招呼也許沒打招呼，反正是他們相遇后選擇不同路徑走下去。令波利亞大為驚訝的是，盡管努力規(guī)避，接下來他們又在不同的地點相遇了好幾次，這讓雙方多少都有一點尷尬。波利亞非常擔心那個學生會以為他是故意在制造這樣的相遇。“他們不會以為我是個變態(tài)吧？不行，本教授不是那樣的人，這個現(xiàn)象一定要有個解釋?！辈ɡ麃嗊@樣想到。

這促使他考慮如下的問題：在給定的道路網格中，兩個人不經意相遇的可能性到底是多大？這開啟了波利亞關于隨機行走問題的研究。1921年，他發(fā)表了第一篇關于隨機行走的論文—關于在街道網格中誤打誤撞的概率計算（über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Strassennetz， Math. Ann.， 1921）。有人認為是波利亞第一個引入了“隨機行走”這個概念，這并不確切。其實早在1905年，英國數(shù)學家卡爾·佩爾森（Karl Pearson）就正式提出過隨機行走的問題（The Problem of The Random Walk， Nature， 1905）。

波利亞關于隨機行走問題的規(guī)律，可簡單地總結如下：1. 在一維空間中，一個隨機選擇下一步往哪兒走的醉漢有無窮多的機會路過他喝酒的那家酒館；2. 在二維的道路網格上，一個隨機選擇下一步往哪兒走的醉漢在經過足夠長的時間后有可能路過他喝酒的那家酒館；3. 在三維的道路網格上，一個隨機選擇下一步往哪兒走的醉漢算是別指望能路過他喝酒的那家酒館了。還可以換個通俗的說法：你弄丟的狗不知哪一天自己就會回來，而你撒出去的鳥兒就再也沒有相見的那一天了。這個結論很容易理解，但是要給出嚴格的數(shù)學證明，就不是一般人能勝任的了。如今，隨機行走模型在物理學、化學、生物學、經濟學等諸多領域都得到了廣泛的應用。大師的影響，無遠弗屆。

波利亞關于隨機行走的定律，其社會學的意義也不容小覷。在幾乎沒有立交橋的地區(qū)，男人盡可以看著心愛的女人開車出門而不必擔心。因為，即使她完全任性地、隨機地前行或轉彎，只要汽車還沒有獲得飛行的功能，足夠長的時間后你就一定能看到她路過家門—但愿那時候你還能認得出她的模樣。如果是在立交橋遍布的地區(qū)，如果她隔天還沒回家，別等了，報警吧！

本文選自《一念非凡—科學巨擘是怎樣煉成的》。該書由外語教學與研究出版社出版，入選我社“中華優(yōu)秀科普圖書榜”2018年第一季度“成人原創(chuàng)”榜單。