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    沿函數(shù)之道 通方程之路

    2021-12-29 11:01:46文/燕
    初中生世界 2021年47期
    關(guān)鍵詞:橫坐標一元二次方程交點

    文/燕 娜

    一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a是常數(shù))是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c是常數(shù))當y=0 時的特殊情況,因此,我們在研究一元二次方程時,有時需要借助二次函數(shù)的圖像來解決問題。

    【閱讀材料】在實際問題中有時只需要求得方程的近似解,這個時候,我們通常利用函數(shù)的圖像來完成。如,求方程x2-2x-2=0 的實數(shù)根的近似解,觀察函數(shù)y=x2-2x-2 的圖像,如圖1:發(fā)現(xiàn)當自變量x=2 時,函數(shù)值y=-2<0,點(2,-2)在x軸下方;當自變量x=3 時,函數(shù)值y=1>0,點(3,1)在x軸上方。因為拋物線y=x2-2x-2是一條連續(xù)不斷的曲線,所以拋物線y=x2-2x-2 在2<x<3 這一段經(jīng)過x軸,也就是說,當x取2、3 之間的某個值時,函數(shù)值為0,即方程x2-2x-2=0在2、3之間有根。

    進一步,我們?nèi)?和3的平均數(shù)2.5,計算當自變量x=2.5 時,函數(shù)值y=-0.75<0,點(2.5,-0.75)在x軸下方,由此可知,方程的這個根在2.5 與3 之間,可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解,該近似解與真實值的差都不會大于3-2.5=0.5。

    重復(fù)以上操作,隨著操作次數(shù)的增加,根的近似值會越來越接近真實值。

    【問題】用以上方法求方程x2-2x-2=0 小于0 的解,且使所求的近似解與真實值的差不超過0.3,該近似解為________。

    【解析】觀察函數(shù)y=x2-2x-2 的圖像,發(fā)現(xiàn):當自變量x=0 時,函數(shù)值y=-2<0,點(0,-2)在x軸下方;當自變量x=-1時,函數(shù)值y=1>0,點(-1,1)在x軸上方。因為拋物線y=x2-2x-2 是一條連續(xù)不斷的曲線,所以拋物線y=x2-2x-2 在-1<x<0 這一段經(jīng)過x軸,也就是說,當x取-1、0之間的某個值時,函數(shù)值為0,即方程x2-2x-2=0在-1、0之間有小于0的根。

    我們?nèi)?1 和0 的平均數(shù)-0.5,計算當自變量x=-0.5 時,函數(shù)值y=-0.75<0,點(-0.5,-0.75)在x軸下方,所以方程的這個根在-1與-0.5 之間,可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解,該近似解與真實值的差都不會大于0.5。再求-1和-0.5的平均數(shù)-0.75,計算當自變量x=-0.75 時,函數(shù)值y=0.0625>0,點(-0.75,0.0625)在x軸上方,所以方程的這個根在-0.75 與-0.5 之間,可以取它們之間任意一個數(shù)作為近似解,由-0.5-(-0.75)=0.25<0.3,即該近似解與真實值的差都不會大于0.3。

    所以在-0.75 與-0.5 之間任意一個數(shù)都可以作為近似解,如-0.7。

    【點評】解答此題的關(guān)鍵是讀懂題意,閱讀材料主要描述的是利用函數(shù)圖像,從中獲取信息,從兩點逐步逼近求一元二次方程的近似解的方法。積累此經(jīng)驗,我們就可以在以后的學(xué)習中解決類似的問題。

    變式1 在利用圖像法求方程x2=x+3 的解x1、x2時,下面是四名同學(xué)的解法。

    甲:函數(shù)y=x2-x-3 的圖像與x軸交點的橫坐標是x1、x2;

    乙:函數(shù)y=x2與y=x+3 的圖像交點的橫坐標是x1、x2;

    丙:函數(shù)y=x2-3 與y=x的圖像交點的橫坐標是x1、x2;

    ?。汉瘮?shù)y=x2+1 與y=x+4 的圖像交點的橫坐標是x1、x2。

    你認為解法正確的同學(xué)有________。

    【解析】方程x2=x+3 的解為x1、x2,即方程x2-x-3=0的兩個根為x1、x2。

    甲:函數(shù)y=x2-x-3 的圖像與x軸交點的橫坐標是x1、x2,即方程x2-x-3=0 的兩個根為x1、x2,故甲正確;

    乙:函數(shù)y=x2和y=x+3 的圖像交點的橫坐標是x1、x2,即方程x2=x+3 的兩個根為x1、x2,故乙正確;

    丙:函數(shù)y=x2-3 和y=x的圖像交點的橫坐標是x1、x2,即方程x2-3=x的兩個根為x1、x2,故丙正確;

    ?。汉瘮?shù)y=x2+1 和y=x+4 的圖像交點的橫坐標是x1、x2,即方程x2+1=x+4 的兩個根為x1、x2,故丁正確。

    故答案為甲、乙、丙、丁。

    變式2 下表給出了二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值。那么方程ax2+bx+c=0的一個根的近似值可能是()。

    x y……1-1 1.1-0.49 1.2 0.04 1.3 0.59 1.4 1.16……

    A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38

    【解析】觀察表中數(shù)據(jù):x=1.1 時,y=ax2+bx+c=-0.49;x=1.2 時,y=ax2+bx+c=0.04。所以拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點在點(1.1,0)和點(1.2,0)之間,更靠近點(1.2,0),所以方程ax2+bx+c=0 有一個根約為1.2。故選B。

    變式3 二次函數(shù)y=-x2+mx的圖像如圖2所示,對稱軸為直線x=2,若關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數(shù))在1<x<5的范圍內(nèi)有解,則t的取值范圍是。

    圖2

    當x=1 時,y=3;當x=2 時,y=4;當x=5 時,y=-5。

    結(jié)合圖像,如圖3,因為一元二次方程-x2+mx-t=0 的解就是拋物線y=-x2+mx與直線y=t在1<x<5 的范圍內(nèi)的交點,即關(guān)于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t為實數(shù))在1<x<5 的范圍內(nèi)有解,所以直線y=t在直線y=-5 和直線y=4 之間(包括直線y=4),所以-5<t≤4。

    A.-1<x0<0 B.0<x0<1

    C.1<x0<2 D.2<x0<3

    圖4

    變式5 已知二次函數(shù)y=x2+px+q(p、q為常數(shù),Δ=p2-4q>0)的圖像與x軸相交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且A,B兩點間的距離為d。通過研究其中一個函數(shù)y=x2-5x+6及圖像(如圖5),可得出表中第2列的相關(guān)數(shù)據(jù)。

    圖5

    y=x2+px+q y=x2-5x+6 y=x2-1 2x y=x2+x-2 p q Δ x1-5-1 2-2 6 1 2 3 1 14-2 x2 d 12 3

    (1)在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù);

    (2)根據(jù)上述表內(nèi)d與Δ 的值,猜想它們之間有什么關(guān)系,再舉一個符合條件的二次函數(shù),驗證你的猜想;

    (3)對于函數(shù)y=x2+px+q(p、q為常數(shù),Δ=p2-4q>0),是否存在(2)中的關(guān)系?請證明你的猜想。

    (2)猜想:d2=Δ。

    例如:y=x2-x-2中,p=-1,q=-2,Δ=9。

    由x2-x-2=0,得x1=2,x2=-1,d=3,d2=9,

    ∴d2=Δ。

    (3)存在。

    證明:令y=0,得x2+px+q=0。

    ∵Δ>0,設(shè)x2+px+q=0 的兩根為x1,x2,則x1+x2=-p,x1·x2=q,d2=(||x1-x2)2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=(-p)2-4q=p2-4q=Δ。

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