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    巧借圖,智破雙拋物線問題

    2021-12-29 11:01:48季承潔
    初中生世界 2021年47期
    關(guān)鍵詞:壓軸表達(dá)式代數(shù)

    文/季承潔

    以雙拋物線為立意的綜合性壓軸題,集函數(shù)知識、代數(shù)推理于一體,重在考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的創(chuàng)新能力。本文現(xiàn)以2021年湖北省宜昌市中考壓軸題為例進(jìn)行展示。

    在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y1=-(x+4)·(x-n)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(n,0)(n≥-4),頂點(diǎn)坐標(biāo)記為(h1,k1)。拋物線y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)記為(h2,k2)。

    (1)寫出A點(diǎn)坐標(biāo);

    (2)求k1,k2的值(用含n的代數(shù)式表示);

    (3)當(dāng)-4≤n≤4 時,探究k1與k2的大小關(guān)系;

    (4)經(jīng)過點(diǎn)M(2n+9,-5n2)和點(diǎn)N(2n,9-5n2)的直線與拋物線y1=-(x+4)(x-n),y2=-(x+2n)2-n2+2n+9 的公共點(diǎn)恰好為3 個不同點(diǎn)時,求n的值。

    【解析】(1)求拋物線y1=-(x+4)(x-n)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo),基本方法是令y1=0,

    得-(x+4)(x-n)=0,解之x1=-4,x2=n,結(jié)合條件有A(-4,0)。

    (2)k1,k2是兩拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),對拋物線表達(dá)式進(jìn)行配方或直接運(yùn)用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

    拋物線y2=-(x+2n)2-n2+2n+9 就是頂點(diǎn)式,可以直接寫出k2=-n2+2n+9,

    綜上所述:當(dāng)-4≤n<-2 或2<n≤4 時,k1>k2;當(dāng)-2<n<2 時,k1<k2;當(dāng)n=2 或n=-2時,k1=k2。

    (4)拋物線y1、y2和直線MN都含有參數(shù)n,隨著n的變化,三線的位置也在變化。借助幾何畫板觀察:從n=-4,三線有4個公共點(diǎn)開始,隨著n的增大,三線的位置在逐漸變化,公共點(diǎn)的個數(shù)也隨之變化。在運(yùn)動變化的過程中,我們截取不同的瞬間,圖1 到圖11,直觀感知,三線的公共點(diǎn)的個數(shù)變化為4—3—4—3—2—1—2—3—4—3—4。其中,有三個公共點(diǎn)的情況:一是三線經(jīng)過同一點(diǎn),如圖2和圖10;二是直線MN、拋物線y1有1 個公共點(diǎn),如圖4和圖8。

    圖1 三線有4個公共點(diǎn)

    圖2 三線有3個公共點(diǎn)

    圖3 三線有4個公共點(diǎn)

    圖4 三線有3個公共點(diǎn)

    圖5 三線有2個公共點(diǎn)

    圖6 三線有1個公共點(diǎn)

    圖7 三線有2個公共點(diǎn)

    圖8 三線有3個公共點(diǎn)

    圖9 三線有4個公共點(diǎn)

    圖10 三線有3個公共點(diǎn)

    圖11 三線有4個公共點(diǎn)

    在三線運(yùn)動變化的過程中,我們通過觀察、思考,發(fā)現(xiàn)“直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點(diǎn)”,運(yùn)用代數(shù)推理很容易驗(yàn)證我們的猜想。

    兩點(diǎn)確定一條直線的表達(dá)式,設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M(2n+9,-5n2)和點(diǎn)N(2n,9-5n2)的直線MN的表達(dá)式為y=kx+b,得

    直線MN的表達(dá)式為y=-x-5n2+2n+9,交y軸于點(diǎn)(0,-5n2+2n+9)。

    對拋物線y2=-(x+2n)2-n2+2n+9,當(dāng)x=0時,y2=-5n2+2n+9,交y軸于點(diǎn)(0,-5n2+2n+9)。

    所以直線MN、拋物線y2與y軸交于同一點(diǎn)。

    先算情況一:如圖2和圖10,三線經(jīng)過同

    【評注】本題是以雙拋物線為背景考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用的壓軸題,雖然難度不小,但難度是逐漸提升的。具體來講,第(1)問是熱身送分題;第(2)問求二次函數(shù)的頂點(diǎn)是必備的基本知識,會配方是不難解決的;第(3)問用求差法比較兩數(shù)的大小是基本方法,對不等式的要求高了一點(diǎn);第(4)問是試題的高階要求,難度較大。學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)告訴我們,可以運(yùn)用“觀察函數(shù)圖像—發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)—巧用代數(shù)方法解決函數(shù)問題”的思維過程,雖然題目沒有給出圖像,但我們必須利用函數(shù)圖像觀察、研究,發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程和函數(shù)的數(shù)學(xué)思想在本題中得到了充分體現(xiàn)。

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