構(gòu)建函數(shù)模型 解決實(shí)際問題

文／吳智勇

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在實(shí)際生活中也有廣泛的應(yīng)用。構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題，既有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，也有利于考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。

一、二次函數(shù)與鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略

例1 （2021·貴州遵義）為了實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，幫助農(nóng)民增加收入，某駐村干部指導(dǎo)農(nóng)戶進(jìn)行草莓種植和銷售。已知草莓的種植成本為8 元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，今年五一期間草莓的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）（8≤x≤40）滿足的函數(shù)圖像如圖所示。

（1）根據(jù)圖像信息，求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤。

【解答】（1）當(dāng)8≤x≤32 時，設(shè)y=kx+b（k≠0），

（2）設(shè)利潤為W，則當(dāng)8≤x≤32時，

W=（x-8）y=（x-8）（-3x+216）=-3（x-40）2+3072。

因?yàn)殚_口向下，對稱軸為直線x=40，

所以當(dāng)8≤x≤32 時，W隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=32時，W最大=2880。

當(dāng)32＜x≤40 時，W=（x-8）y=120（x-8）=120x-960。

因?yàn)閃隨x的增大而增大，所以x=40時，W最大=3840。

因?yàn)?840＞2880，所以最大利潤為3840元。

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式、分段函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)的性質(zhì)。我們需要熟知的常識是“利潤=（售價-成本）×銷售量”，由此列出利潤的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤。我們在解題的時候要注意分段函數(shù)對應(yīng)的自變量x的取值范圍和函數(shù)的增減性，要先確定函數(shù)的增減性，才能求得利潤的最大值。

二、二次函數(shù)與防疫

例2 （2021·湖北仙桃、潛江、天門、江漢油田）去年“抗疫”期間，某生產(chǎn)消毒液廠家響應(yīng)政府號召，將成本價為6 元/件的簡裝消毒液低價銷售，為此當(dāng)?shù)卣疀Q定給予其銷售的這種消毒液按a元/件進(jìn)行補(bǔ)貼。設(shè)某月銷售價為x元/件，a與x之間滿足關(guān)系式a=20%（10-x），下表是去年4 個月的銷售記錄，每月銷售量y（萬件）與該月銷售價x（元/件）之間成一次函數(shù)關(guān)系（6≤x＜9）。

月份…二月三月四月五月…銷售價x（元/件）…6 7 7.6 8.5…該月銷售量y（萬件）…30 20 14 5…

（1）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)銷售價為8 元/件時，政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼多少萬元？

（3）當(dāng)銷售價x定為多少時，該月純收入最大？

（純收入=銷售總金額-成本+政府當(dāng)月補(bǔ)貼）

【解答】（1）因?yàn)槊吭落N售量y與該月銷售價x之間成一次函數(shù)關(guān)系，

所以設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，

所以y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-10x+90（6≤x＜9）。

（2）當(dāng)x=8時，y=-10×8+90=10（萬件），

因?yàn)閍與x之間滿足關(guān)系式a=20%（10-x），所以當(dāng)銷售價為8 元/件時，政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼為10a=10×20%（10-8）=4（萬元）。

答：當(dāng)銷售價為8 元/件時，政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼4萬元。

（3）設(shè)該月的純收入w萬元，

則w=y［（x-6）+0.2（10-x）］=（-10x+90）（0.8x-4）=-8x2+112x-360=-8（x-7）2+32。

因?yàn)?8＜0，6≤x＜9，所以當(dāng)x=7 時，w最大，最大值為32萬元。

答：當(dāng)銷售價定為7 元/件時，該月純收入最大。

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式，解題關(guān)鍵是根據(jù)“純收入=銷售總金額-成本+政府當(dāng)月補(bǔ)貼”列出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。

三、二次函數(shù)與體育

例3 （2021·廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)）

（1）當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到離A點(diǎn)水平距離為4 米時，離水平線的高度為8 米，求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動的水平距離為多少米時，運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍。

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實(shí)際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。在用函數(shù)解決銷售類實(shí)際問題的過程中，我們要先審題，明確總利潤、銷售量、單位利潤、進(jìn)價（成本）、售價這些量之間的關(guān)系，有時還要先列出方程或方程組求出基本量，再列出函數(shù)表達(dá)式，最后用函數(shù)知識解決最值問題。