無界域上帶非線性阻尼和強(qiáng)阻尼隨機(jī)波動(dòng)方程解的性態(tài)

吳 苑，喬 丹，李曉軍

（河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100）

波動(dòng)方程是一類重要的偏微分方程，具有廣泛的物理背景，主要用于描述自然界中各種波動(dòng)現(xiàn)象，例如聲波、光波和無線電波等，為聲學(xué)、電磁學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域的研究提供了強(qiáng)有力的科學(xué)理論依據(jù)。目前已有許多學(xué)者對波動(dòng)方程進(jìn)行了研究，如：文獻(xiàn)[1-2]研究了有界區(qū)域上自治隨機(jī)波動(dòng)方程所確定的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)吸引子的存在性，文獻(xiàn)[3-4]研究了帶強(qiáng)阻尼波方程吸引子的存在性。文獻(xiàn)[5-6]對非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了研究，通過引入兩個(gè)驅(qū)動(dòng)動(dòng)力系統(tǒng)，證明了非自治隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)吸引子存在的充分必要條件。關(guān)于隨機(jī)波動(dòng)方程的其他研究參見文獻(xiàn)[7-8]。目前還沒有文獻(xiàn)研究無界域上帶有非線性阻尼以及強(qiáng)阻尼的隨機(jī)波動(dòng)方程。

本文將研究無界域上帶有非線性阻尼以及強(qiáng)阻尼的隨機(jī)波動(dòng)方程。在無界域的情況下，由于Sobolev嵌入緊性的缺失，可以利用有界球上的一致估計(jì)以及無界域上的尾部一致小估計(jì)證明動(dòng)力系統(tǒng)的漸近緊性，如文獻(xiàn)[9]。本文采用對解的一致估計(jì)和區(qū)域分割的方法來克服Rn上Sobolev嵌入缺乏緊性的困難，即在有界域上對相應(yīng)的解進(jìn)行漸近估計(jì)，對相應(yīng)無界域上的解進(jìn)行一致小估計(jì)，并結(jié)合解的分解估計(jì)得到了該隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的漸近緊性，進(jìn)而得到隨機(jī)吸引子的存在性。

本文中，||?||和(?,?)分別表示L2(Rn)上的范數(shù)和內(nèi)積，||?||X表示一般的Banach空間上的范數(shù)，字母c表示某一正常數(shù)，且其值可能每行各不相同，字母ci(i= 1,2,…)表示特定常數(shù)。

1 準(zhǔn)備知識

令X是可分的Banach空間，(Ω,F,P)是概率空間，其中Ω ={ω∈C(R,R):ω(0)= 0}，F(xiàn)是Ω上緊開拓?fù)湔T導(dǎo)的Borelσ-代數(shù)，P表示(Ω,F)上相應(yīng)的Wiener測度。定義變換

1）Φ( ?,τ,?,?):R+× Ω ×X→X是(B(R+)×F×B(X),B(X))-可測的；

2）Φ(0,τ,ω2,?)是X上的恒同映射；

3）Φ(t+s,τ,ω,?)= Φ(t,τ+s,θsω,?)°Φ(s,τ,ω,?)；

4）Φ(t,τ,ω,?):X→X是連續(xù)的。

定義1.4 稱K={K(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D是Φ 的D-拉回隨機(jī)吸收集，若對任意的t∈R+，τ∈R，ω∈Ω，D?∈D，存在T=T(D?,τ,ω)> 0，使得對任意的t≥T，有

定義1.5 稱A={A(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D是Φ 的D-拉回隨機(jī)吸引子，若對任意的t∈R+，τ∈R，ω∈Ω，有

1）A(τ,ω)在X上是緊的且A關(guān)于F在Ω中是可測的；

2）A是不變的，即Φ(t,τ,ω,A(τ,ω))=A(t+τ,θtω)；

3）A吸引D中的任意集合，即對任意的D?={D?(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D，

其中dH是X上的Hausdorff半距離。

定理1[5]令D是X上包含閉的非空子集族，若Φ在X上是D-拉回漸近緊的，且在D上存在一個(gè)閉可測D-拉回隨機(jī)吸引集K，那么，對任意的τ∈R，ω∈Ω，Φ在D上存在唯一的D-拉回隨機(jī)吸引子A有

2 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

本節(jié)證明式（1）～（2）的解可以生成隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，考慮一維Ornstein - Uhlenbeck方程

初值為

如同文獻(xiàn)[5]中的證明，有如下引理：

引理2.2 令φ(t+τ,τ,θ-τω,φ0)=(u(t+τ,τ,θ-τω,u0),v(t+τ,τ,θ-τω,v0))T，其中φ0=(u0,v0)T，且式（3）～（7）成立，則對任意的ω∈Ω，τ∈R，φ(τ,τ,ω,φ0)=φ0∈E(Rn)，式（14）～（16）在E(Rn)上存在唯一解φ( ?,τ,ω,φ0)∈C([τ,+ ∞),E(Rn))，且該解連續(xù)依賴于初值φ0，此時(shí)式（1）～（2）的解生成連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ:R+×R× Ω ×E(Rn)→E(Rn)，

3 解的一致估計(jì)

為證明D-拉回隨機(jī)吸收集的存在性以及隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)Φ的D-拉回漸近緊性，下面對式（14）～（16）的解進(jìn)行一致估計(jì)。

現(xiàn)對式（21）逐項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)。應(yīng)用Cauchy不等式可得

由假設(shè)（H3）、式（32）和式（34）可知結(jié)論成立。

由上述結(jié)論可得以下引理。

引理3.2 設(shè)Q(x)∈H1(Rn)，假設(shè)（H1）～（H3）成立，則定義在E(Rn)上的連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)Φ(t,τ,ω,φ0)有隨機(jī)拉回吸收集B={B(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D，其中B(τ,ω)定義為