淺談分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

周立樹

摘要：分類討論思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中很重要的一個(gè)板塊，在學(xué)習(xí)過程中隨處可以見到分類討論思想的應(yīng)用。同時(shí)，現(xiàn)階段高考數(shù)學(xué)中也增加了對(duì)于學(xué)生分類討論思維的使用，考查其是否能夠以更加全面的眼光、從不同的角度來看待問題，能夠從各自的角度運(yùn)用相同或者不同的方法解決這一特定條件下呈現(xiàn)出來的問題，并最終將所有答案有序地整合在一起。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中分類討論思想的滲透是十分重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；分類討論思想；全面的角度

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）18-0109

一、分類討論思想的具體含義

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到需要分類討論的題目，這些題目的共同特點(diǎn)是需要用完整的思維來分析問題，考慮到所有可能會(huì)發(fā)生的情況。例如“當(dāng)m=多少時(shí)，y=（m+3）x^（2m+1）+4x-5（x不等于0）是一次函數(shù)？”很明顯，這道題目就是需要利用分類討論的思想來解決。首先明確一次函數(shù)的定義是未知數(shù)的指數(shù)為一，而目前我們看到題目中給出的可以變化的量是（m+3）x^（2m+1），其他量已確定不能改動(dòng)。（m+ 3）x^（2m+1）可以是常數(shù)項(xiàng)，可以是一次項(xiàng)，也可以是零，接下來我們需要分別對(duì)其進(jìn)行分析。（2m+1）只能有兩個(gè)取值，一個(gè)是0，一個(gè)是1，其他的取值都無法滿足“該函數(shù)是一次函數(shù)”的限制條件。當(dāng)（2m+1）等于0的時(shí)候，m的值為-1/2，此時(shí)（m+ 3）x^（2m+1）為一次項(xiàng)，函數(shù)為一次函數(shù)，符合題目的條件；當(dāng)（2m+1）等于1的時(shí)候，m的取值為0，此時(shí)經(jīng)過同類項(xiàng)合并函數(shù)也滿足一次函數(shù)的條件；當(dāng)（m+3）x^（2m+1）為0的時(shí)候，（m+3）的值為0，函數(shù)也是一次函數(shù)。從上面的分析中，我們可以看出，m的多個(gè)取值都可以滿足題目中給出的條件，在解決這一個(gè)問題的過程中學(xué)生需要考慮到該函數(shù)是一次函數(shù)的條件是什么，并分別從所有的可能性出發(fā)進(jìn)行討論與探究，最終將滿足問題的所有可能的答案整合出來。這就是分類思想在解決數(shù)學(xué)問題中的一個(gè)應(yīng)用，由此可見，只有學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)全局觀念，用更加完整的思路思考答案的所有可能性，并在每一個(gè)條件之下有獨(dú)立的思考能力，才能夠?qū)⑦@一類問題完美地解答出來，才真正掌握了分類討論思想的精髓所在，才算是學(xué)好了高中數(shù)學(xué)。

二、分類討論思想的培養(yǎng)措施

為了更好地幫助學(xué)生建立分類討論的思維，提升獨(dú)立思考的能力與信息篩選與整合的能力，高中數(shù)學(xué)教師需要從以下幾個(gè)方面著手。

1.夯實(shí)基礎(chǔ)

分類討論思想的基礎(chǔ)是學(xué)生在遇到一個(gè)數(shù)學(xué)問題的時(shí)候能夠考慮到可能發(fā)生的所有情況，這就要求學(xué)生專業(yè)知識(shí)水平過硬，對(duì)于公式定理的一些限制條件與適用范圍有很深入的理解與記憶，這樣才能夠在遇到分類討論問題的時(shí)候采用更加全面的思維。例如求解定義域的問題，常見的限制條件學(xué)生需要了然于心，如分母不能為0，根號(hào)下的數(shù)大于等于0等等。在解決概率統(tǒng)計(jì)問題的時(shí)候，學(xué)生也需要注意一些隱含條件，一些與現(xiàn)實(shí)情況不符的條件需要舍去。

為了更好地幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，在教學(xué)過程中教師就需要著重強(qiáng)調(diào)每一條公式的適用范圍與限制條件，與學(xué)生一起探究每一個(gè)結(jié)論得出的前提是什么，如果條件發(fā)生了一定的變化是否還能得到同樣的結(jié)論，如果結(jié)論隨著條件而改變，又是怎樣的關(guān)系。除此之外，教師也應(yīng)該注重提升對(duì)于題目以及文字的理解能力，能夠獨(dú)立從所給的文字中提取出相關(guān)的信息，找到這句話中的重點(diǎn)是什么，條件是什么，結(jié)論是什么，附加條件又是什么，有哪些隱藏的信息等等。

2.培養(yǎng)獨(dú)立思維

在將能夠滿足條件的所有可能情況考慮到位之后，學(xué)生就需要獨(dú)立地將每一種情況在特定條件下的答案求解出來，這就需要學(xué)生能夠具有一定的獨(dú)立思考能力，而不會(huì)輕易地被其他條件所左右。例如上面的問題，在（m+3）x^（2m+1）是一次項(xiàng)，零項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)的條件下求解出來的m數(shù)值是不一樣的，在每一個(gè)大類的條件下學(xué)生需要獨(dú)立思考這一條途徑實(shí)現(xiàn)的可能性。為了在平時(shí)教學(xué)的過程中實(shí)現(xiàn)學(xué)生獨(dú)立思維的培養(yǎng)，教師需要在課堂上給予學(xué)生更多獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，在小組討論之前，教師應(yīng)該首先組織學(xué)生單獨(dú)思考，在有了一定的思考結(jié)果之后再進(jìn)行小組內(nèi)部的交流。同時(shí)，在學(xué)生向自己請(qǐng)教問題的過程中，教師應(yīng)該以引導(dǎo)為主而不是直接傳授給學(xué)生問題的答案，教師一步步帶領(lǐng)學(xué)生在已給條件下探索出結(jié)果，讓學(xué)生掌握解決問題的主動(dòng)權(quán)，用自己的方式將問題解答出來。通過這樣的形式，學(xué)生能夠逐漸養(yǎng)成獨(dú)立思考的意識(shí)與習(xí)慣，在遇到問題的時(shí)候首先想到的是自己找出解決辦法而不是直接尋求他人幫助，就算是要求幫助他人也需要有一定的自己的看法與見解。

3.提升信息整合與篩選能力

在將每一種可能的情況都解決之后，學(xué)生需要對(duì)每一個(gè)結(jié)果進(jìn)行篩選與分析，看看其是否符合這一個(gè)小類的條件，同時(shí)是否能夠解決問題。這就需要學(xué)生具有篩選信息與整合信息的能力，對(duì)于每個(gè)求解出來的答案并不一定就是解決問題的答案，還要需要進(jìn)行驗(yàn)證。例如運(yùn)用三角形面積的函數(shù)公式求解出來的三角形面積的最大值所對(duì)應(yīng)的高，在數(shù)學(xué)關(guān)系式中確實(shí)符合要求，但是可能放在圖形中這個(gè)高并不能構(gòu)成一個(gè)三角形?；蛘呤亲畲笾祮栴}，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解出來函數(shù)的最大值可能并不在這個(gè)函數(shù)的定義域之內(nèi)。這些情況都需要學(xué)生在解答完每一個(gè)小的情況之后進(jìn)行篩選與總結(jié)。在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師要給予學(xué)生更多的分類討論題目進(jìn)行訓(xùn)練，并幫助學(xué)生從各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行突破。

分類討論思想的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)占有極大的比例，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)科最為重要的思想之一，只有真正掌握分類討論思想，才能算是真正學(xué)好了高中數(shù)學(xué)。教師需要在平時(shí)的教學(xué)中從各個(gè)角度注重學(xué)生能力的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生掌握每一個(gè)環(huán)節(jié)的方法與技巧，最終掌握突破分類討論問題的模式，從而提升學(xué)生的獨(dú)立思維能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成全局思維。

（作者單位：安徽省合肥市肥東縣第二中學(xué)230000）