走向?qū)W科育人的“做思數(shù)學(xué)”

馮剛

摘要：新時(shí)代的育人超越了學(xué)科在“雙基”層面的功能，而指向?qū)W科對(duì)人整體性發(fā)展的作用，即學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成?！白鏊紨?shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)學(xué)科育人方式的一項(xiàng)積極探索。厘清其內(nèi)涵與特征，分析其價(jià)值與目標(biāo)，架構(gòu)其流程與思路，能夠通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等手腦協(xié)同的活動(dòng)，最大限度地助力學(xué)生價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力的養(yǎng)成，創(chuàng)新數(shù)學(xué)學(xué)科育人的實(shí)踐路徑。

關(guān)鍵詞：“做思數(shù)學(xué)”;學(xué)科育人;操作體驗(yàn);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);綜合實(shí)踐

教育部《關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》明確指出，要“改進(jìn)學(xué)科教學(xué)的育人功能”，“將教育教學(xué)的行為統(tǒng)一到育人目標(biāo)上來”，“注重自主發(fā)展、合作參與、創(chuàng)新實(shí)踐”?？梢?，新時(shí)代的育人超越了學(xué)科在“雙基”層面的功能，而指向?qū)W科對(duì)人整體性發(fā)展的作用，即學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成。為此，我們積極探索讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從學(xué)科本位走向?qū)W科育人的方式——“做思數(shù)學(xué)”。

一、“做思數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵與特征

（一）“做思數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵

“做”即動(dòng)手，“思”即動(dòng)腦，“做思數(shù)學(xué)”即動(dòng)手動(dòng)腦學(xué)數(shù)學(xué)。杜威的“做中學(xué)”、笛卡兒的“身心二元論”、裴斯泰洛齊的“手腦并用觀”以及陶行知的“用手用腦法”，都是“做思數(shù)學(xué)”的理論基點(diǎn)。“做思數(shù)學(xué)”是學(xué)生依托實(shí)物材料（紙片、小棒、方塊等）和工具（三角尺、量角器等），通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等手腦協(xié)同的活動(dòng)來理解知識(shí)、驗(yàn)證猜想、探索規(guī)律、解決問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

（二）“做思數(shù)學(xué)”的特征

1.注重實(shí)踐性，讓“身體在場(chǎng)”。

“做思數(shù)學(xué)”是學(xué)生主體參與操作、實(shí)驗(yàn)、探究等實(shí)踐活動(dòng)的學(xué)習(xí)過程，是手腦協(xié)同下系列實(shí)踐活動(dòng)的綜合體。被告知的知識(shí)往往是蒼白無力的，而親歷實(shí)踐過程能夠集結(jié)知、情、意、行，在實(shí)踐性學(xué)習(xí)中感悟數(shù)學(xué)思想并積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)然，實(shí)踐性并非僅強(qiáng)調(diào)機(jī)械簡(jiǎn)單的操作，而是抽象、推理、模型等“高階思維”指引下的操作實(shí)踐。

2.注重過程性，讓“思維在場(chǎng)”。

“做思數(shù)學(xué)”反對(duì)效率至上導(dǎo)向下的“快餐教學(xué)”，旨在通過“做”“思”活動(dòng)拉長(zhǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在親歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程中享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，真正理解學(xué)習(xí)的含義，掌握 “做”與“思”的方法，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)。

3.注重開放性，讓“個(gè)性在場(chǎng)”。

“做思數(shù)學(xué)”注重實(shí)踐與過程，故而其形式、內(nèi)容及結(jié)果均是開放且多元的?！白鏊紨?shù)學(xué)”的形式是多元的，動(dòng)手操作、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等均是其主要形式?！白鏊紨?shù)學(xué)”的內(nèi)容是多樣的，數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)問題等均可以作為其內(nèi)容。“做思數(shù)學(xué)”的結(jié)果是開放的，動(dòng)作、圖畫、語言等多種表征方式的內(nèi)容均是其結(jié)果。

二、“做思數(shù)學(xué)”的育人價(jià)值

“做思數(shù)學(xué)”是實(shí)現(xiàn)學(xué)科本位轉(zhuǎn)向?qū)W科育人的學(xué)習(xí)方式，能夠有效促成抽象到直觀、結(jié)果到過程、靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的嬗變，最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值。

（一）激蕩情感

情感主要包括學(xué)習(xí)欲望、學(xué)習(xí)熱情、學(xué)習(xí)自尊、學(xué)習(xí)自信、學(xué)習(xí)成就等心理動(dòng)機(jī)。情感是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的源泉，決定著學(xué)生是否想要學(xué)習(xí)以及是否愿意學(xué)習(xí)。“做思數(shù)學(xué)”具有實(shí)踐性、過程性、開放性，能夠通過生動(dòng)直觀的操作、適度刺激的挑戰(zhàn)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，喚醒學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性。此外，“做思數(shù)學(xué)”還具備基于實(shí)踐性、過程性、開放性的交互性，能夠促進(jìn)不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，能夠使得不同層次的學(xué)生在交流互動(dòng)中互相學(xué)習(xí)，最大化地發(fā)揮各自的優(yōu)勢(shì)、改進(jìn)自身的不足，樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

（二）啟迪心智

人的心智是由多種能力，如記憶、理解、直覺、思辨、想象、注意等復(fù)合而成的組合體，心智水平的高低關(guān)乎一個(gè)人是否有能力完成某項(xiàng)任務(wù)。在“做思數(shù)學(xué)”這一學(xué)習(xí)方式下，學(xué)生需要充分調(diào)動(dòng)眼、耳、口、手、腦，通過觀察、猜想、操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，得到抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理背后的現(xiàn)實(shí)材料，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行類推、抽象化和一般化，進(jìn)而理解概念、探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)特性，在解決問題中受到啟發(fā)。通過“做思數(shù)學(xué)”，學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)學(xué)感知、深入思考、知識(shí)獲得、問題解決的完整過程，在體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、抽象、推理中啟迪心智。

（三）形塑品格

品格即品德和人格，品格決定了一個(gè)人回應(yīng)人生處境的模式。當(dāng)下熱議的核心素養(yǎng)，就包含了適應(yīng)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展的必備品格?！白鏊紨?shù)學(xué)”以科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)踐活動(dòng)為依托，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神，即實(shí)事求是、求真務(wù)實(shí)的精神?！白鏊紨?shù)學(xué)”的展開需要學(xué)生高階理性思維的參與，故而能夠助力學(xué)生理性精神的養(yǎng)成，即重邏輯、講證據(jù)、不跟風(fēng)的精神。“做思數(shù)學(xué)”作為一種探索性學(xué)習(xí)方式，能夠有效促成學(xué)生不畏困難、勇于挑戰(zhàn)的探索精神。 “做思數(shù)學(xué)”關(guān)注師生、生生之間的交互，為學(xué)生互幫互助、相互學(xué)習(xí)、相互啟發(fā)的合作精神的發(fā)展創(chuàng)造了充分的條件?！白鏊紨?shù)學(xué)”一定程度上可視為學(xué)生的一種創(chuàng)造性學(xué)習(xí)活動(dòng)，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生敢于批判、勇于突破、敢思敢想的創(chuàng)新精神。

三、“做思數(shù)學(xué)”的目標(biāo)體系

學(xué)科育人視域下“做思數(shù)學(xué)”的教學(xué)目標(biāo)，不同于學(xué)科本位視域下的教學(xué)目標(biāo)，應(yīng)是指向?qū)W生未來發(fā)展可能性的目標(biāo)，不應(yīng)是某一領(lǐng)域或某一方面的目標(biāo)，而應(yīng)是涵蓋多領(lǐng)域、多層次的目標(biāo)體系?！白鏊紨?shù)學(xué)”育人目標(biāo)體系的確立以“人的發(fā)展”為原則，重點(diǎn)考查人是否得到發(fā)展以及得到了怎樣的發(fā)展?；诮K省教育科學(xué)規(guī)劃領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室董林偉主任的論述，結(jié)合小學(xué)生的認(rèn)知和年齡特點(diǎn)，我們嘗試架構(gòu)“做思數(shù)學(xué)”的目標(biāo)體系（框架如圖1所示）。

（一）價(jià)值觀念

在哲學(xué)界，價(jià)值觀念指的是在價(jià)值活動(dòng)中形成的對(duì)某類事物的價(jià)值信念、價(jià)值目標(biāo)、價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)、一般價(jià)值規(guī)范的穩(wěn)定的思維模式。在教育界，價(jià)值觀念主要指的是對(duì)教學(xué)活動(dòng)中教學(xué)屬性與教學(xué)需要的滿足之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)與看法?！白鏊紨?shù)學(xué)”是理性思維指引下的做思共融、知行合一的實(shí)踐活動(dòng)，因此，其價(jià)值觀念為“理性至上、知行合一”。

（二）必備品格

必備品格指的是適應(yīng)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展必須具備的品德和人格?；凇白鏊紨?shù)學(xué)”的基本特征，將必備品格分為理性精神、創(chuàng)新意識(shí)、積極態(tài)度三個(gè)方面，每個(gè)方面再細(xì)分為三個(gè)素養(yǎng)要點(diǎn)，形成“三方面九要點(diǎn)”的必備品格目標(biāo)體系。

1.理性精神。

理性精神主要分為求真、獨(dú)立、探究三個(gè)素養(yǎng)要點(diǎn)。求真，即崇尚真理、尊重事實(shí)、理性分析，具體表現(xiàn)為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)、實(shí)證探究的習(xí)慣與能力。獨(dú)立，即獨(dú)立思考、判斷與解決問題，以辯證思維分析問題并作出正確抉擇。探究，即主動(dòng)探究問題的意識(shí)及探究解決問題的能力。

2.創(chuàng)新意識(shí)。

創(chuàng)新意識(shí)主要分為質(zhì)疑、反思、審美三個(gè)素養(yǎng)要點(diǎn)。質(zhì)疑，即警惕既定知識(shí)技能的意識(shí)，敢于提出不同觀點(diǎn)并能找尋證據(jù)。反思，即審視學(xué)習(xí)狀態(tài)的意識(shí)，基于實(shí)際調(diào)整學(xué)習(xí)策略和方法的能力。審美，即具有數(shù)學(xué)審美知識(shí)與能力，能創(chuàng)作個(gè)人數(shù)學(xué)作品并作出審美判斷。

3.積極態(tài)度。

積極態(tài)度主要分為熱愛、主動(dòng)、堅(jiān)韌三個(gè)素養(yǎng)要點(diǎn)。熱愛，即積極的學(xué)習(xí)態(tài)度和濃厚的學(xué)習(xí)興趣，感受數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，形成積極向上的學(xué)習(xí)生活情趣。主動(dòng)，即具有求知欲望、自我意識(shí)與自我認(rèn)知，能規(guī)劃學(xué)習(xí)進(jìn)程，承擔(dān)合作學(xué)習(xí)任務(wù)。堅(jiān)韌，即不畏艱難、跨越挫折的精神，并能不斷提高自我要求。

（三）關(guān)鍵能力

關(guān)鍵能力是超越“雙基”范圍的，潛于個(gè)體并通過學(xué)習(xí)表現(xiàn)出來的關(guān)鍵特征，表現(xiàn)為學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用中至關(guān)重要的能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大關(guān)鍵能力（學(xué)科核心素養(yǎng)）。于小學(xué)生而言，六大關(guān)鍵能力顯得高深且難以達(dá)成。史寧中教授強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)是讓學(xué)生具有數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言。基于以上論述，結(jié)合小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，將“做思數(shù)學(xué)”目標(biāo)體系的“關(guān)鍵能力”確定為：抽象意識(shí)與空間意識(shí)（數(shù)學(xué)眼光）、推理意識(shí)與運(yùn)算能力（數(shù)學(xué)思維）、模型意識(shí)與數(shù)據(jù)意識(shí)（數(shù)學(xué)語言）?？梢?，小學(xué)與高中的六大關(guān)鍵能力具有一致性和發(fā)展性，小學(xué)更具體且側(cè)重意識(shí)，高中更一般且側(cè)重能力。

四、“做思數(shù)學(xué)”的具體實(shí)踐

“做思數(shù)學(xué)”的實(shí)施途徑主要有操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐，其目標(biāo)指向理解知識(shí)、驗(yàn)證猜想與探索規(guī)律、解決問題。操作體驗(yàn)重在感知理解數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)重在發(fā)現(xiàn)推理數(shù)學(xué)規(guī)律，綜合實(shí)踐重在探索解決實(shí)際問題。

（一）以操作體驗(yàn)助感知理解

操作體驗(yàn)是指學(xué)生在操作實(shí)物材料和工具的過程中，通過觀察、比較、分析等活動(dòng)得到感性認(rèn)識(shí)并強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解與掌握，提高學(xué)習(xí)興趣的一類學(xué)習(xí)活動(dòng)。

1.學(xué)習(xí)流程。

操作體驗(yàn)的流程一般是學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)（如計(jì)算原理的理解、圖形特征的認(rèn)識(shí)等）時(shí)，在直觀操作學(xué)具、工具等實(shí)物的過程中觀察比較、歸納共性，進(jìn)而深入理解知識(shí)本質(zhì)，并回顧反思整個(gè)操作體驗(yàn)過程（如圖2所示）。

2.具體案例。

《兩位數(shù)加整十?dāng)?shù)、一位數(shù)》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，教學(xué)重難點(diǎn)在于算理的理解及算法的掌握，即“明理”“得法”。對(duì)于“45+30=？”，有些學(xué)生早已知曉結(jié)果，但往往不知道為什么。究其根源，學(xué)生早已“得法”但并未“明理”。部分教師僅以“得法”為目標(biāo)，采用告知式、灌輸式教學(xué)，使“明理”顯得難上加難。其實(shí)，教師只需要轉(zhuǎn)變方式，引導(dǎo)學(xué)生開展操作體驗(yàn)活動(dòng)，便可既“明理”又“得法”。

教師可引導(dǎo)學(xué)生借助小棒和計(jì)數(shù)器擺一擺、撥一撥，結(jié)合實(shí)際操作看一看、想一想，將結(jié)果記錄于操作體驗(yàn)單（如圖3）。在同桌交流中，學(xué)生便能歸納共性：無論擺小棒還是撥算珠，均是先將40和30相加，再和5相加。在“明理”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象出算法流程圖，學(xué)生自然進(jìn)入“得法”狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)對(duì)算理、算法的深度理解。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧反思操作體驗(yàn)過程，感受直觀操作的作用，進(jìn)一步積累操作體驗(yàn)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生后續(xù)的自主操作體驗(yàn)提供遷移類推的基礎(chǔ)。

（二）以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)育發(fā)現(xiàn)推理

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下思考實(shí)驗(yàn)步驟，在數(shù)學(xué)思維的深度參與下操作實(shí)驗(yàn)工具來驗(yàn)證結(jié)論、探索發(fā)現(xiàn)的一類學(xué)習(xí)活動(dòng)。其有如下要義：（1）以問題驅(qū)動(dòng)并按照一定的實(shí)驗(yàn)步驟進(jìn)行，以此保障實(shí)驗(yàn)的效果及學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累;（2）目的是驗(yàn)證結(jié)論、探索發(fā)現(xiàn)，其核心是手腦并用;（3）是學(xué)習(xí)的一個(gè)環(huán)節(jié)而不是全過程，推理和證明并不能由實(shí)驗(yàn)替代;（4）對(duì)合情推理更為關(guān)注，但并不忽視演繹推理的滲透，而重視各種思維活動(dòng)的深度參與。

基于實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡牟煌?，?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)還可進(jìn)一步細(xì)分為結(jié)論驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

1.結(jié)論驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

（1）學(xué)習(xí)流程。

結(jié)論驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指的是通過動(dòng)手操作、觀察分析等方式，驗(yàn)證已知或已有的猜想、定理、規(guī)律、結(jié)論正確與否的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。結(jié)論驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容一方面是學(xué)生基于問題情境自然產(chǎn)生的猜想，另一方面是學(xué)生生活及學(xué)習(xí)中自己有所了解的知識(shí)或教師及家長(zhǎng)告知的知識(shí)。教學(xué)中，教師應(yīng)讓學(xué)生在問題情境中提出猜想或勾連出尚未驗(yàn)證的已有知識(shí)，經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)操作、觀察比較、分析判斷、得出結(jié)論、回顧反思等過程。如若分析判斷后發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)前所假設(shè)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，則需要進(jìn)一步反思修正原有假設(shè)，重新通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)論驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)流程如圖4所示。

（2）具體案例。

《長(zhǎng)方形和正方形的面積》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，教學(xué)難點(diǎn)在于長(zhǎng)方形和正方形面積公式的理解與推導(dǎo)。多數(shù)學(xué)生早已知曉長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式，但對(duì)公式背后的道理并不理解。對(duì)此，可引導(dǎo)學(xué)生開展結(jié)論驗(yàn)證型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

教學(xué)伊始，教師出示課題，提問怎樣計(jì)算長(zhǎng)方形和正方形的面積。學(xué)生會(huì)很快說出計(jì)算公式。此時(shí)，教師提出問題：這個(gè)公式是否正確？公式到底表示什么意思？引導(dǎo)學(xué)生在問題驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，并通過拼一拼、填一填、想一想等實(shí)驗(yàn)過程，及時(shí)將數(shù)據(jù)記錄于實(shí)驗(yàn)記錄單（如圖5）的表格中，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形面積公式中長(zhǎng)、寬與小正方形個(gè)數(shù)的關(guān)系，驗(yàn)證已知結(jié)論，并發(fā)展歸納、演繹推理能力。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)回顧反思實(shí)驗(yàn)過程，強(qiáng)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)意識(shí)，積累數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

2.發(fā)現(xiàn)探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

（1）學(xué)習(xí)流程。

發(fā)現(xiàn)探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指的是通過觀察、操作、推理、驗(yàn)證等方式，探索得到全新（對(duì)學(xué)生來說）的數(shù)學(xué)結(jié)論、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是探索性較強(qiáng)、生成性較強(qiáng)與開放度較高的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)探索

實(shí)驗(yàn)記錄單

（1）拼一拼：取幾個(gè)邊長(zhǎng)1 cm的小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，至少拼出3個(gè)不同的長(zhǎng)方形。

（2）填一填：記錄每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，及小正方形的個(gè)數(shù)和長(zhǎng)方形面積。

序號(hào)長(zhǎng)/cm寬/cm正方形/個(gè)面積/cm2長(zhǎng)方形1長(zhǎng)方形2長(zhǎng)方形3長(zhǎng)方形4（3）想一想：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你能想到什么？

（4）我的結(jié)論：

型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容以數(shù)學(xué)規(guī)律、定理及性質(zhì)為主。教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、定理及性質(zhì)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分析比較、實(shí)驗(yàn)操作、舉例驗(yàn)證、歸納提煉、總結(jié)結(jié)論、回顧反思的過程。舉例驗(yàn)證需再細(xì)分為拓展舉例與分類舉例，用以驗(yàn)證想法及尋找反例。發(fā)現(xiàn)探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)流程如圖6所示。

（2）具體案例。

《三角形的三邊關(guān)系》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，教學(xué)難點(diǎn)在于三角形三邊關(guān)系的探索與發(fā)現(xiàn)。部分教師教學(xué)時(shí)僅通過學(xué)生的小棒操作便草草總結(jié)，殊不知其中存在不嚴(yán)謹(jǐn)與不規(guī)范之處，且學(xué)生未經(jīng)歷規(guī)律的完整探索過程，其數(shù)學(xué)思維難以得到發(fā)展。對(duì)此，可引導(dǎo)學(xué)生開展發(fā)現(xiàn)探索型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。

教學(xué)時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生開展剪紙條實(shí)驗(yàn)：將紙條沿刻度點(diǎn)剪成三段，記錄三段的長(zhǎng)度并嘗試圍三角形，看能否圍成。通過對(duì)實(shí)驗(yàn)記錄單（如圖7）上數(shù)據(jù)的分析得出初步的三邊關(guān)系猜想。此時(shí)的實(shí)驗(yàn)探究局限于特殊情況。緊接著，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生開展畫三角形實(shí)驗(yàn)，以“怎樣畫三角形才能保證包含所有三角形的情況？”這一問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考實(shí)驗(yàn)步驟。學(xué)生紛紛想到畫銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，而不同學(xué)生所畫的每類三角形又是不同的。此時(shí)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)記錄單（如圖8）上的數(shù)據(jù)進(jìn)一步總結(jié)，科學(xué)且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氐贸鼋Y(jié)論。最后，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)實(shí)驗(yàn)過程，回顧兩次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與步驟，反思實(shí)驗(yàn)過程中的不足，積累數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)記錄單1

問題：任意長(zhǎng)度的三條線段都能圍成三角形嗎？

要求：

（1）剪一剪：將紙條沿著刻度點(diǎn)剪成三段，記錄紙條的長(zhǎng)度。

（2）圍一圍：把三段紙條圍一圍，看能否圍成三角形。

（3）想一想：觀察實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

序號(hào)三條線段的長(zhǎng)度（cm）能否圍成三角形1234（4）我的結(jié)論：

（三）以綜合實(shí)踐促問題解決

綜合實(shí)踐是指以實(shí)際問題為載體，學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，通過觀察、分析、操作、總結(jié)等方式，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)問題背后的數(shù)學(xué)原理，進(jìn)而解決

實(shí)驗(yàn)記錄單2

問題：所有三角形的三邊關(guān)系都有這樣的規(guī)律嗎？

要求：

（1）畫畫量量：任意畫一個(gè)三角形，量出三邊長(zhǎng)度并記錄。

（2）算算想想：推算三角形的三邊關(guān)系，想想是否符合你的猜想。

序號(hào)三條線段的長(zhǎng)度（cm）三邊關(guān)系（算式）1234（3）我的結(jié)論：

實(shí)際問題的一類學(xué)習(xí)活動(dòng)。

1.學(xué)習(xí)流程。

綜合實(shí)踐的內(nèi)容一般是與實(shí)際生活聯(lián)系密切，同時(shí)又與書本知識(shí)相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)問題。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生基于現(xiàn)實(shí)問題情境提出數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、制訂計(jì)劃、實(shí)踐活動(dòng)、數(shù)據(jù)分析、得出結(jié)論、回顧反思的過程。在得出結(jié)論環(huán)節(jié)，如若實(shí)踐活動(dòng)并未解決數(shù)學(xué)問題，則需要修正計(jì)劃重新進(jìn)行實(shí)踐，直至解決數(shù)學(xué)問題。綜合實(shí)踐的學(xué)習(xí)流程如圖9所示。

2.具體案例。

《大樹有多高》是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，教學(xué)難點(diǎn)在于學(xué)生能否運(yùn)用所學(xué)知識(shí)自主設(shè)計(jì)實(shí)踐步驟。多數(shù)教師執(zhí)教時(shí)采用告知式，直接告知學(xué)生根據(jù)物長(zhǎng)和影長(zhǎng)的比值求出大樹的高度。這樣的教學(xué)仍未從知識(shí)本位走向素養(yǎng)本位，學(xué)生并未親歷探究的過程。對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過綜合實(shí)踐活動(dòng)來親歷探究過程，綜合多種知識(shí)解決實(shí)際問題。

教學(xué)中，教師提出“要想知道校園里一棵大樹的高度，可以怎么做？”這一問題，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主思考，合作設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)方案，并在交流分享中逐步完善實(shí)踐方案。實(shí)踐方案主要分為兩個(gè)部分。首先是學(xué)生通過測(cè)量不同竹竿的影長(zhǎng)，將數(shù)據(jù)記錄在圖10的表格中，發(fā)現(xiàn)影長(zhǎng)與竹竿長(zhǎng)的關(guān)系。接著，教師帶領(lǐng)學(xué)生直接來到大樹旁，8—12人小組合作，通過皮尺測(cè)量同一時(shí)間竹竿、大樹的影長(zhǎng)，將數(shù)據(jù)記錄在圖11的表格中，得出結(jié)論。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧反思綜合實(shí)踐過程，感受綜合實(shí)踐的樂趣，提升思維的靈活性與嚴(yán)謹(jǐn)性。

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