摒棄以形定量，直抵概念本質(zhì)

周海斌

摘要：一些教師在實(shí)際教學(xué)中，照搬教材中靜態(tài)的平面圖形，教學(xué)方法單一，使學(xué)生一開始就形成“量的均分等同于形的均分”的刻板印象，沒有真正理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。對此，重構(gòu)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”第一課時(shí)的教學(xué)，重點(diǎn)借助天平讓學(xué)生感受“量”的均分，再通過“形”與“量”的變化對比讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，并且由“量”到“數(shù)”升華學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，為后續(xù)單位“1”的教學(xué)埋下伏筆。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)問題;分?jǐn)?shù)概念;圖形;數(shù)量

一、教師和學(xué)生對一道分?jǐn)?shù)問題的錯(cuò)誤認(rèn)識

學(xué)校組織教師互查互評作業(yè)批改情況。我檢查的是一位剛工作的年輕教師。一道六年級的復(fù)習(xí)題，學(xué)生解答和教師批改的情況如圖1所示。

我指著中間打了“×”那幅圖，問那位年輕教師：“學(xué)生錯(cuò)在哪兒？”她說：“他沒有平均分?！蔽依^續(xù)問：“圖中，學(xué)生不是有等分點(diǎn)了嗎？”她找來尺和筆作圖，得到圖2，說道：“你看，這是5份，而且大小不一?！蔽易穯枺骸霸鯓硬潘闫骄?？”她擦掉之前學(xué)生和她畫的，重新作圖，得到圖3。我心想下周的學(xué)科組培訓(xùn)內(nèi)容有了——事實(shí)上，這里只要涂色面積是平行四邊形的14就行了，和形狀無關(guān)，畫成長方形、三角形或平行四邊形都不重要。

教師出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤，那學(xué)生呢？隨后，我拿著上述學(xué)生解答在六年級學(xué)生中做了調(diào)查：“這樣涂色算錯(cuò)嗎？”528名學(xué)生中有186人與年輕教師觀點(diǎn)一致，約占35.2%。這一比例著實(shí)不低。

二、對教學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)狀的深思

分?jǐn)?shù)是從三年級就開始學(xué)習(xí)的概念，為什么剛?cè)肼毜慕處熀土昙壍膶W(xué)生會犯這樣的錯(cuò)誤？問題出在哪兒？得從教學(xué)內(nèi)容和現(xiàn)狀入手分析。

（一）數(shù)學(xué)歷史追溯

追溯分?jǐn)?shù)的起源有三種視角。從比例關(guān)系看，《周禮·考工記》記載“六分其金而錫居一”，就是錫占六分之一的意思。這是對部分與整體或兩個(gè)部分之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表示，它們之間的不同占比或配比就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。從度量意義看，《商鞅量》記載“大良造鞅，爰積十六尊（寸）五分尊（寸）壹為升”，這里的“五分”表示五等分得到分?jǐn)?shù)單位五分之一，“壹”表示取其中的一個(gè)分?jǐn)?shù)單位。這里的分?jǐn)?shù)是用計(jì)數(shù)單位（標(biāo)準(zhǔn)）度量被測對象的結(jié)果。從整數(shù)除法看，《九章算術(shù)》中的“合分術(shù)”云：“實(shí)如法而一，不滿法者，以法命之?！边@里的“命之”即“命分”。整句話意為：“……如不能除盡，則定義一個(gè)分?jǐn)?shù)?！?/p>

（二）教材編排解析

研讀人教版和蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材發(fā)現(xiàn)，它們都是分兩個(gè)階段安排分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的。第一個(gè)階段，從“比例關(guān)系”視角出發(fā)，通過平均分產(chǎn)生部分和整體的量的對比，讓學(xué)生初步感知和體會分?jǐn)?shù)。第二個(gè)階段，延續(xù)“比例關(guān)系”視角，引出單位“1”，定義分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)單位概念;并且從“整數(shù)除法”視角出發(fā)，使得分?jǐn)?shù)與除法建立聯(lián)系，拓展分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。這樣的編排既遵循知識的邏輯體系，又尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

在素材選取上，兩個(gè)版本的教材也有相似之處。如第一個(gè)階段的第一課時(shí)，人教版例題選取的是“分月餅”情境，蘇教版例題選取的是“分蛋糕”情境;習(xí)題也大致相同，多以長方形、圓等幾何圖形為背景?？梢娫诘谝粋€(gè)階段，教材都是通過“形”的均分來刻畫“量”的均分的。究其原因，教材是靜態(tài)的、平面的，引導(dǎo)學(xué)生通過視覺感受量的均分更為方便。

（三）教學(xué)現(xiàn)狀掃描

第一個(gè)階段的分?jǐn)?shù)概念教學(xué)至關(guān)重要，尤其是第一課時(shí)，它是學(xué)生已有數(shù)概念的一次擴(kuò)展，同時(shí)為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)奠定基礎(chǔ)。無論追溯數(shù)學(xué)的歷史，還是解析教材的編寫，第一個(gè)階段第一課時(shí)的教學(xué)都應(yīng)該從“比例關(guān)系”出發(fā)，引入“量的均分”。

但是，一些剛?cè)肼毜哪贻p教師對知識理解不深刻，對學(xué)情把握不準(zhǔn)確，對分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)的教學(xué)缺乏正確認(rèn)識。同時(shí)，由于長期存在“教教材”的錯(cuò)誤傾向，一些教師在實(shí)際教學(xué)中，照搬教材中靜態(tài)的平面圖形，教學(xué)方法單一，使學(xué)生一開始就形成“量的均分等同于形的均分”的刻板印象，沒有真正理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。后期的教學(xué)又沒能將分?jǐn)?shù)由比例關(guān)系提升到除法意義，使部分學(xué)生到了六年級還停留在“形”的水平。

三、對教學(xué)過程的重構(gòu)

基于以上分析，我對《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》第一課時(shí)的教學(xué)進(jìn)行了重構(gòu)。

（一）借助天平感受“量”的均分，激發(fā)創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的動機(jī)

1.感受“量”的均分。

師（課件出示動畫情境）大雄和小叮當(dāng)分年糕，怎么分才公平？還剩下一塊，該怎么分呢？

（教師給出實(shí)驗(yàn)材料，用橡皮泥代替年糕。學(xué)生小組合作操作天平，將剩下的“年糕”分成相等的兩部分，然后展示交流。）

師如果把其中一個(gè)壓扁了，數(shù)量有無變化？

（學(xué)生小組合作，借助天平驗(yàn)證“年糕”的“形”變了，但“量”不變。）

師每人分到的數(shù)量一樣多，在數(shù)學(xué)上叫作平均分。

2.激發(fā)創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的動機(jī)。

師現(xiàn)在每人分到了多少個(gè)？

生半個(gè)。

師數(shù)學(xué)是研究數(shù)量的學(xué)科，既然一個(gè)可以用“1”來表示，那么半個(gè)可以創(chuàng)造什么數(shù)來表示呢？

（學(xué)生在紙上畫畫寫寫，嘗試創(chuàng)造“新數(shù)”。）

[設(shè)計(jì)意圖：借助天平稱重，將橡皮泥變形，讓學(xué)生初步感受平均分的實(shí)質(zhì)：分的是“量”，而不是“形”。半個(gè)用什么數(shù)表示？當(dāng)整數(shù)不適用時(shí)，便引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，產(chǎn)生創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的動機(jī)。]

（二）優(yōu)化形式，賦予意義，經(jīng)歷分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程

1.優(yōu)化分?jǐn)?shù)形式。

師（展示學(xué)生創(chuàng)造的分?jǐn)?shù)：、、，0.5，12）這些形式好在哪里，缺點(diǎn)又是什么？

生幾位同學(xué)把“1”“一”“個(gè)”寫一半，我覺得挺有意思的，但是不容易把握，一不小心就寫錯(cuò)了，而且有時(shí)候看不懂，容易讓人誤解。

生我在超市見過0.5元，它是1元的一半。

生（指著12）這個(gè)數(shù)讀作二分之一，也表示一半，是我爸告訴我的。

生我覺得12最好，即使你沒學(xué)過數(shù)學(xué)，也能一眼看出它表示半個(gè)，因?yàn)樯厦娴?是下面的2的一半。

師同學(xué)們寫的這些數(shù)都有一定的價(jià)值，講得也非常好。尤其是最后一個(gè)，正是我們今天要研究的數(shù)——分?jǐn)?shù)。

2.賦予分?jǐn)?shù)意義。

師這個(gè)數(shù)與以往學(xué)過的數(shù)有什么不同？

生以前的數(shù)都是左右寫的，這個(gè)是上下寫的，而且中間還有一條線。

生中間的線叫分?jǐn)?shù)線，上面的數(shù)叫分子，下面的叫分母。

師猜一猜：數(shù)學(xué)家為什么用2和1組成這個(gè)數(shù)？

生因?yàn)榘岩粋€(gè)年糕分成2份，表示其中的1份。

生應(yīng)該說全了，是平均分。

生把一個(gè)年糕平均分成2份，其中的1份就是它的12。

師這一份是整個(gè)年糕的12，那么另一份呢？

生也是整個(gè)年糕的12。

師如果我把這一份搓成其他形狀，它還是整個(gè)年糕的12嗎？

生是的。

師形狀變了，為什么還是12呢？

生盡管形狀變了，但是它的數(shù)量沒有變，所以它仍然是整個(gè)年糕的12。

師（課件演示）現(xiàn)在把這個(gè)年糕平均分成3份，那么1份是它的幾分之一？

生13。

……

師把一個(gè)年糕平均分成幾份，其中的一份就是它的幾分之一。

[設(shè)計(jì)意圖：盡管部分學(xué)生通過各種途徑已經(jīng)知道分?jǐn)?shù)，但是分?jǐn)?shù)為什么這樣寫、它的本質(zhì)意義是什么，學(xué)生并不清楚。任何符號都是形式和意義的統(tǒng)一體，分?jǐn)?shù)的形式反映了其意義。通過分?jǐn)?shù)形式的再創(chuàng)造，不僅能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造能力，而且自然地過渡到分?jǐn)?shù)意義的理解。通過年糕的變形，讓學(xué)生初步感知分?jǐn)?shù)反映的是“量”之間的關(guān)系，“形”是非本質(zhì)屬性。]

（三）“形”與“量”變化對比，理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)

1.“做”分?jǐn)?shù)。

師任選兩張白紙，折一折，涂一涂，說一說你創(chuàng)造了幾分之一。

……

2.“比”分?jǐn)?shù)。

師（出示圖4）這是兩個(gè)相同的長方形，但是涂色部分形狀不同，為什么都能表示14呢？

生因?yàn)樗鼈兌际前验L方形平均分成4份，涂了其中的1份。

師這兩個(gè)形狀不同的涂色部分大小一樣嗎？

生一樣大，因?yàn)樗鼈兌际情L方形的14。

師（課件演示，如圖5）現(xiàn)在把圖形放大，這1份能還表示14嗎？

生能。

師這1份不是變大了嗎？

生雖然這1份變大了，但整個(gè)圖形也一起放大了，仍然是平均分成4份，涂了其中的1份。

師（出示圖6）這幾個(gè)圖形形狀、大小都不一樣，為什么涂色部分都能表示14呢？

生因?yàn)樗鼈兌际前褕D形平均分成4份，涂了其中的1份。

師（出示圖7）這兩個(gè)涂色部分一樣大，為什么一個(gè)表示14，另一個(gè)表示16呢？

生因?yàn)閮蓮堥L方形紙大小不同，平均分的份數(shù)也不同。

師如果兩張紙大小相同呢？分?jǐn)?shù)表示變嗎？

生不變。

師所以，分?jǐn)?shù)表示是由什么決定的？

生平均分的份數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖：分?jǐn)?shù)反映的是比例關(guān)系，這是學(xué)生認(rèn)識上的一次飛躍。這一環(huán)節(jié)在“形”和“量”的不斷變化中，引導(dǎo)學(xué)生聚焦“量”與“量”之間的比例關(guān)系，避開“形”的誤導(dǎo)，初步感知分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義。]

（四）由“量”到“數(shù)”，升華意義的理解

師（出示一個(gè)被平均分成8份的長方形）看到這個(gè)圖形，你能想到幾分之一？

生18。長方形被平均分成了8份，1份就是18。

師（課件演示，如圖8）現(xiàn)在這8個(gè)小長方形變成了8個(gè)玩具，你還能想到18嗎？

生能。

師可是，這8個(gè)玩具大小、形狀都不同呀？

生可以把它們看作一樣的。

生它們都是同一個(gè)系列的玩具。

生可以只看數(shù)量，因?yàn)槭?個(gè)，所以是18。

師咱班有多少位同學(xué)？你又能想到幾分之一？

生45，145。

[設(shè)計(jì)意圖：避開了“形”的誤導(dǎo)，學(xué)生還會對“量”產(chǎn)生思維定式。進(jìn)一步變式，將“形”和“量”抽象成物體個(gè)數(shù)，確認(rèn)本質(zhì)屬性，摒棄非本質(zhì)屬性，以升華學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解，同時(shí)讓學(xué)生體會到“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界的定性把握和定量刻畫”。此外，從一個(gè)圖形的平均分變?yōu)橐恍┩婢叩钠骄?，已?jīng)自然地過渡到第二個(gè)階段的內(nèi)容，為學(xué)生理解單位“1”埋下了伏筆。]

參考文獻(xiàn)：

[1] 滕艷輝.以“無名”命“微數(shù)”——論中國十進(jìn)制小數(shù)的起源與發(fā)展[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010（3）.