以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促概念理解

黃芬

摘要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將動手操作與動腦思考結(jié)合在一起，是“做數(shù)學(xué)”的一種樣態(tài)，能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、概念、規(guī)律的理解。《長方形和正方形的認(rèn)識》一課教學(xué)，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解：動手操作，讓理解活起來;量化說理，讓理解明起來;遷移方法，讓理解用起來。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);數(shù)學(xué)概念;理解;《長方形和正方形的認(rèn)識》

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了獲得或解決某個(gè)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律（法則、關(guān)系）、問題，借助外在的物質(zhì)和操作手段﹐進(jìn)行數(shù)學(xué)探索的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將動手操作與動腦思考結(jié)合在一起，是“做數(shù)學(xué)”的一種樣態(tài)，能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、概念、規(guī)律的理解。筆者教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊《長方形和正方形的認(rèn)識》時(shí)，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體，促進(jìn)學(xué)生對概念的理解。

一、教學(xué)過程

（一）實(shí)踐操作，探究特征

1.初步猜想，概括長方形特征。

師同學(xué)們，二年級時(shí)我們已經(jīng)認(rèn)識了多邊形，（出示圖1）在這些多邊形中哪些是四邊形？四邊形有什么特點(diǎn)？在這些四邊形中，你能找到長方形嗎？

（學(xué)生回答。）

師其實(shí)，老師在每個(gè)小組的學(xué)具筐里給每個(gè)人準(zhǔn)備了一個(gè)長方形，你們能找出來嗎？

（學(xué)生在學(xué)具筐里找出長方形并舉起來示意。）

師找得很準(zhǔn)！在你們心目中，長方形是什么樣子的呢？

生四條邊，兩條長邊一樣長，兩條短邊一樣長。

（教師板書：兩條長邊一樣長，兩條短邊一樣長。）

生長方形有四個(gè)角，都是直角。

（教師板書：四個(gè)直角。）

2.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，簡化表達(dá)特征。

師這是我們的猜想，（板書：猜想）是不是這樣呢，光這樣用眼睛看，行不行？

生不行。

師那怎么辦呢？

生我們得想辦法驗(yàn)證我們的猜想。

（教師板書：驗(yàn)證。）

師邊和角先研究什么？

生先研究邊。

（1）驗(yàn)證邊的特征。

師 那就從邊開始研究吧！兩條長邊一樣長，兩條短邊一樣長，打算怎么驗(yàn)證？同桌討論一下。

生用尺子量一量。

生對折比一比。

（教師板書：量、折。）

師請同學(xué)們拿出老師給你們準(zhǔn)備的長方形，按照你們的想法驗(yàn)證一下，如果用量的方法，要把量的結(jié)果寫下來。

（學(xué)生活動。）

師你量的兩條長邊分別是多少？兩條短邊呢？

（學(xué)生匯報(bào)。）

師確實(shí)，我們通過測量證明兩條長邊一樣長，兩條短邊一樣長。怎么折呢？誰愿意上臺來展示一下？

（學(xué)生在展臺演示折法。）

師通過驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)長方形的邊的確有這樣的特征，一起讀一讀。

（學(xué)生讀。）

師讀起來有點(diǎn)長，數(shù)學(xué)語言講究簡潔，能不能變得簡潔一點(diǎn)？跟著老師來比畫一下！兩條長邊面對面，兩條短邊面對面，像這樣面對面的一組邊叫作“對邊”。“兩條長邊一樣長”，我們可以說“對邊相等”;“兩條短邊一樣長”，也可以說“對邊相等”。所以這兩句話就可以說成“對邊相等”，是不是簡潔多了？你們能理解“對邊相等”嗎？

生“對邊相等”就是兩條長邊一樣長，兩條短邊一樣長。

（2）驗(yàn)證角的特征。

師邊的特征我們驗(yàn)證好了，接下來我們要來驗(yàn)證長方形的四個(gè)角是不是都是直角，準(zhǔn)備用什么去驗(yàn)證？

生用三角尺上的直角和這個(gè)角比。

師請同學(xué)們用三角尺的直角去比一比，看看長方形的四個(gè)角是不是都是直角。

（學(xué)生活動。）

師你是怎么比的？誰上來比一比？我們一起來幫他數(shù)一數(shù)，比了幾次？

生四次。

師剛才我們通過驗(yàn)證，證明我們的猜想是對的，長方形的特點(diǎn)我們一起來讀一讀。

（學(xué)生讀：長方形，對邊相等，四個(gè)直角。）

師（板書：結(jié)論）這就是我們驗(yàn)證的結(jié)論。

[說明：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將“做”“學(xué)”“思”合一，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行身心一體的具身認(rèn)知，具有很好的直觀性和探索性，對學(xué)生的數(shù)學(xué)理解有積極的促進(jìn)作用。在認(rèn)識長方形的特征這一環(huán)節(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“猜想—驗(yàn)證—得出結(jié)論”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程。過程中，學(xué)生通過量一量、比一比、折一折等多種實(shí)驗(yàn)手段，運(yùn)用多種感官協(xié)同參與。在實(shí)驗(yàn)操作中，概念被逐漸揭示出來。這樣的過程經(jīng)歷也為接下來學(xué)生自主研究正方形的特征做好了鋪墊。]

3.“創(chuàng)造”長方形，示錯(cuò)鞏固角的特征。

師認(rèn)識了長方形，接下來我們要應(yīng)用長方形邊、角的特點(diǎn)。同桌合作利用學(xué)具筐里的學(xué)具創(chuàng)造出一個(gè)長方形，比比看哪組做得又快又對。

（學(xué)生動手操作，教師巡視觀察。）

師我們來看這幾位同學(xué)做的，（展示學(xué)生作品，如圖2—圖4所示）有的同學(xué)是用釘子板圍的，有的同學(xué)是用兩塊直角三角板拼的，有的同學(xué)是用小棒圍的。這些都是長方形嗎？為什么？

生他們做的這些都是長方形，因?yàn)閷叾枷嗟龋膫€(gè)角都是直角，所以都是長方形。

師用小棒搭的同學(xué)，我想問一下，小棒是隨隨便便選的嗎？為什么這樣選？

生選兩根一樣長的，兩根一樣短的，因?yàn)殚L方形要對邊相等。

師老師看到有同學(xué)也選了四根小棒，（出示圖5）他圍的是長方形嗎？為什么？

生不是。它雖然對邊相等，但四個(gè)角不是直角。

師看來，長方形在圍的時(shí)候，我們除了考慮對邊相等，還要注意什么？

生還要考慮角。

師同學(xué)們很厲害！根據(jù)長方形的特征，不僅選對了小棒，而且成功搭出了長方形。我們還知道了，僅僅考慮邊是不行的，還要考慮角，只有這兩個(gè)條件都符合了，才是長方形。哪兩個(gè)條件？我們一起讀一讀。

（學(xué)生讀。）

[說明：小學(xué)生的思維處于具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡的階段。這里，通過釘子板圍一圍、三角板拼一拼、小棒搭一搭等，讓長方形具體化、形象化，使長方形看得清、摸得著、想得明，長方形的概念逐漸固化在學(xué)生心中。最后通過示錯(cuò)，讓學(xué)生明白“對邊相等，四個(gè)角都是直角”這兩個(gè)條件要同時(shí)符合才是長方形，深化學(xué)生對長方形特征的理解。]

（二）遷移方法，實(shí)驗(yàn)建構(gòu)

師（出示圖6）剛才還有同學(xué)圍了一個(gè)這樣的圖形，這個(gè)是長方形嗎？有人說是，有人說不是，有人說是正方形。在你們心中，正方形是什么樣的呢？剛才長方形的特征，我們是怎么研究的？

生我們先猜想，再驗(yàn)證。

師驗(yàn)證邊時(shí)，我們用了什么方法？驗(yàn)證角呢？

生驗(yàn)證邊時(shí)，用了量、折的方法;驗(yàn)證角時(shí)，用三角板上的直角去比。

師接下來，讓我們借助研究長方形邊、角的特征的方法研究正方形邊、角的特征。

（學(xué)生探究。）

師誰來介紹一下你是怎樣研究正方形邊、角的特點(diǎn)的？

（學(xué)生展示量的驗(yàn)證方法。）

師他是用量一量的方法驗(yàn)證正方形四邊相等的。誰用了折的方法，可以上來展示一下嗎？

生（邊展示邊解說，圖7為最終展示畫面）上下對折，讓兩條邊重合，這一組對邊相等;再左右對折，讓這兩條邊重合，這一組對邊也相等。

師這種折法只能證明正方形對邊相等。你覺得還需要證明哪條邊和哪條邊相等，也就說明四條邊都相等了呢？

生還得證明上邊和左邊相等，（展示折法，如圖8所示）這樣斜著折，上邊和左邊也相等，四邊就相等了。

師是呀，有了這樣的三次對折，現(xiàn)在能說明四邊相等了嗎？

生能。

師剛才這位同學(xué)想出斜著對折是關(guān)鍵，真愛動腦筋！有沒有一種折法，一下子就能看出四條邊都相等。

生斜折再斜折，這四條邊就重疊在一起了，就能看出是不是一樣長了。

師通過驗(yàn)證，現(xiàn)在我們能確定正方形具有哪些特征，一起說一說。

生（齊）四邊相等。

師剛才有同學(xué)用小棒圍的，很多同學(xué)認(rèn)為它是正方形，我們現(xiàn)在來看下它到底是不是，怎樣驗(yàn)證？

生對邊是相等的，只要看相鄰的邊是否相等。我重疊發(fā)現(xiàn)不相等，所以四邊不相等，不是正方形。

師同學(xué)們，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，（同步板書）長方形和正方形的認(rèn)識。

[說明：遷移現(xiàn)象普遍地存在于人的學(xué)習(xí)活動中，凡有學(xué)習(xí)的地方就會有遷移。在研究正方形的特征時(shí)，教師完全放手，讓學(xué)生借助先前學(xué)習(xí)長方形特征獲得的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法，遷移研究正方形邊和角的特點(diǎn)。]

（三）對比定名，突出本質(zhì)

師（出示圖9）在方格紙上，老師已經(jīng)給你們確定好一條邊了，你們能根據(jù)這條邊，畫一個(gè)長方形和一個(gè)正方形嗎？

（學(xué)生在方格紙上畫長方形和正方形，教師選取部分學(xué)生作品進(jìn)行展示。）

師他們畫的對嗎？先看長方形，對邊相等嗎？正方形呢？同學(xué)們，老師不明白了，明明都是給你們一條邊，怎么畫出的正方形都是一個(gè)樣子，而長方形卻各不相同呢？

生因?yàn)殚L方形有兩組不一樣長的邊。

師你的意思是要確定長方形還得確定另一條邊？那還需確定哪條邊，你來指下。這樣能確定了嗎？這樣的兩條邊確定了，這個(gè)長方形就確定了，是這樣嗎？

生（齊）是。

師我們來看下，（課件出示一組相鄰的兩條邊）這個(gè)長方形的樣子你能想象出來嗎？

生（齊）能。

師這兩條邊很重要，它們確定了，這個(gè)長方形也就確定了。數(shù)學(xué)上，把長邊的長叫作長，短邊的長叫作寬。長、寬定了，長方形大小就定了。（指一個(gè)學(xué)生在方格紙上畫的長方形）這個(gè)長方形的長、寬各是多少？

（學(xué)生回答。）

師正方形知道一條邊，正方形的大小就確定了，所以正方形的邊只要起一個(gè)名字——邊長。正方形的一條邊長確定了，正方形就確定了。（指學(xué)生在方格紙上畫的正方形）這個(gè)正方形的邊長是多少？

（學(xué)生回答。）

[說明：很多教師會直接告知學(xué)生：長方形長邊的長叫作長，短邊的長叫作寬。而在本節(jié)課上，教師通過讓學(xué)生在方格紙上畫長方形和正方形，在畫的過程中，學(xué)生自然感受到：給定一條5厘米的邊，畫正方形就只有一種;而畫長方形卻有很多可能，至少要知道相鄰的兩條邊的長度，才能確定一個(gè)長方形。接著，教師借助多媒體，給定兩條相鄰的邊，讓學(xué)生想象這個(gè)長方形的樣子。在這樣的過程中，學(xué)生從空間知覺到空間表象，最后到空間想象，發(fā)展了空間觀念，同時(shí)對長方形兩條鄰邊的重要性有了深刻的認(rèn)識。長方形長、寬的命名以及正方形邊長的命名水到渠成。]

（四）練習(xí)應(yīng)用，鞏固提升

1.變一變。

師同學(xué)們的課堂表現(xiàn)太棒了！輕松一下，我們來變個(gè)魔術(shù)吧。（課件出示一個(gè)方格紙上的長方形，逐漸拉動，大致過程如圖10所示）什么圖形？ 變！什么圖形？再變！什么圖形？變變變，又變成了什么圖形？

（學(xué)生跟隨教師的課件變化回答。）

師同學(xué)們，在變的過程中，形成了多少個(gè)長方形?。?/p>

生（齊）很多。

師只要保證——

生對邊相等，四個(gè)角都是直角，就是長方形。

師在變的過程中，藏著一個(gè)很特殊的長方形，你知道是什么嗎？

生（齊）正方形。

師為什么？

生它也具備對邊相等，四個(gè)角都是直角的特征。

師所以正方形是一種特殊的長方形。

2.猜一猜。

師我們再來猜一猜，（出示圖11）信封里裝了一個(gè)四邊形，它不可能是——

生長方形。

生正方形。

師（課件展示信封里的四邊形）答對了，真棒?。ǔ鍪鞠马搱D12）這個(gè)信封里也裝了一個(gè)四邊形，它可能是——

生長方形。

生正方形。

3.評一評。

師（出示圖13）小紅和小明從現(xiàn)在所在的位置同時(shí)出發(fā)去學(xué)校，誰先到誰獲勝，這樣的比賽公平嗎？

生不公平。

師假設(shè)小紅和小明都從學(xué)校出發(fā)，你能設(shè)計(jì)一條公平的路線嗎？

……

[說明：好的數(shù)學(xué)材料，不僅是知識的載體，更是引燃學(xué)生思維火花的導(dǎo)火線。在方格圖不斷變化的過程中，通過直觀演示，學(xué)生明白：在變化的過程中，出現(xiàn)了很多長方形，因?yàn)樗鼈兊膶呄嗟取⑺膫€(gè)角都是直角;其中有一個(gè)很特殊的長方形，就是正方形，正方形具備長方形的特征?！安乱徊隆睅椭鷮W(xué)生鞏固長方形（正方形）的本質(zhì)特征?！霸u一評”則讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，借助數(shù)學(xué)知識能解釋生活中的問題，同時(shí)為后面學(xué)習(xí)圖形的周長做鋪墊。]

二、教學(xué)反思

（一）動手操作，讓理解活起來

動手操作是小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要途徑和方法。在探究長方形的特征時(shí)，教師為學(xué)生提供紙張、剪刀、小棒等各種工具，讓學(xué)生通過量一量、折一折、比一比等多種實(shí)驗(yàn)手段動手操作，多種感官協(xié)同參與，在動手動腦、探索驗(yàn)證、討論交流中，長方形和正方形的概念一點(diǎn)一點(diǎn)地被揭示出來，學(xué)生的理解逐漸鮮活起來。

（二）量化說理，讓理解明起來

相對定性分析，定量分析更精準(zhǔn)、更具說服力。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生借助簡單工具，科學(xué)規(guī)范操作，獲得一定的定量數(shù)據(jù)，對問題、現(xiàn)象進(jìn)行定量刻畫、深刻分析，有助于學(xué)生對概念的理解。比如，在驗(yàn)證長方形邊的特征時(shí)，學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)操作量出數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察分析得到結(jié)論，從而驗(yàn)證自己的猜想。在定義各邊的名稱時(shí)，學(xué)生根據(jù)一條邊畫出不同的長方形，根據(jù)不同邊在格子圖上的長度，感受 “長方形大小需要兩條不同長度的邊確定”“正方形只要一條邊就可以確定大小”。借助數(shù)據(jù)來分析、說理，更清晰也更有說服力，學(xué)生的理解也更加明朗。

（三）遷移方法，讓理解用起來

數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、結(jié)論的驗(yàn)證，需要經(jīng)歷數(shù)次實(shí)驗(yàn)方能檢驗(yàn)結(jié)論的正確性，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的“科學(xué)認(rèn)知”。本節(jié)課的實(shí)驗(yàn)探究，分兩個(gè)層次展開。第一層次：教師指導(dǎo)學(xué)生探究長方形的特征。教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“提出猜想—選擇方法—操作驗(yàn)證—得出結(jié)論”的實(shí)驗(yàn)過程，讓學(xué)生在體會探究長方形特征的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)基本流程的同時(shí)，加深對長方形概念的理解。第二層次：學(xué)生自主探究正方形的特征。學(xué)生自主地將探究長方形特征的實(shí)驗(yàn)方法和對長方形特征的理解遷移過來，通過多次的測量記錄、重合折疊、直角比量等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，正方形的特征在觀察、分析與證明中逐步印刻入心，進(jìn)一步深化對概念的理解。