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    數(shù)學(xué)理解讓核心素養(yǎng)落地生根

    2021-10-18 22:48:51沈凱
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)理解認知結(jié)構(gòu)

    沈凱

    【摘要】數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力之間的橋梁,在教與學(xué)中均有重要意義.它存在于教學(xué)過程之中,在教學(xué)結(jié)果中也得到了體現(xiàn).數(shù)學(xué)理解是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的重要途徑,它也可以避免大量的、重復(fù)的題海戰(zhàn)術(shù).本研究以一節(jié)新授課為例,在學(xué)生原有認知的基礎(chǔ)上運用基本知識和學(xué)科原理構(gòu)建新知識.

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;認知結(jié)構(gòu);關(guān)系性理解

    一個數(shù)學(xué)的概念和方法或事實被理解了,那么它就會成為個人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分……理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強度來確定的.教學(xué)大綱將教學(xué)目標分為了解、理解、掌握、靈活運用四個層次,可見理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重要目標.教學(xué)大綱對理解也作了如下定義:對概念和規(guī)律(定律、定理、公式、法則等)達到了充分且理性的認識,不但能夠用自己的語言準確地表達其內(nèi)容是什么,而且能夠知道它們是怎樣得到的,以及它們與概念之間有什么關(guān)聯(lián).

    數(shù)學(xué)的理解主要是強調(diào)在原有理解的基礎(chǔ)上,運用基本知識和學(xué)科原理框架對新知識建構(gòu)新的認知.理解性學(xué)習(xí)重在獲得對基本概念和原理的深層次理解,是一種高效的學(xué)習(xí),也是有意義的學(xué)習(xí).學(xué)習(xí)過程的本質(zhì)是理解的探索和發(fā)展,而不是事實內(nèi)容的記憶和積累,因此,關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程,促進其深層次的理解是很重要的一個步驟.

    中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計應(yīng)側(cè)重發(fā)展學(xué)生的理解,而不僅僅是傳授知識.教師在教學(xué)過程中應(yīng)了解學(xué)生的智能特點,充分理解學(xué)生的認知特點,在學(xué)生已有經(jīng)驗和思路的基礎(chǔ)上,采用合適的方法促進學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的深層次理解.

    一、問題提出

    “函數(shù)的奇偶性”本質(zhì)上是用數(shù)學(xué)語言來刻畫一個函數(shù)圖像本身是否關(guān)于y軸對稱或關(guān)于原點對稱.筆者在學(xué)生初中階段已有知識的基礎(chǔ)上進行了如下教學(xué)設(shè)計.

    在直角坐標系中作出函數(shù)f(x)=x2的圖像.

    問題1:函數(shù)f(x)=x2的圖像具有對稱性嗎?

    生:函數(shù)f(x)=x2的圖像關(guān)于y軸對稱.

    問題2:函數(shù)f(x)=x2的圖像為什么關(guān)于y軸對稱?

    生:我們初中就學(xué)過了,因為如果我們將f(x)=x2的圖像畫在一張紙上,再沿著y軸將這張紙折疊,那么y軸右邊的圖像將會與y軸左邊的圖像完全重合.

    在肯定學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師繼續(xù)提出問題3:如何用數(shù)學(xué)語言來準確刻畫函數(shù)f(x)=x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的呢?

    生:……(課堂鴉雀無聲)

    二、問題分析

    學(xué)生對對稱真正了解嗎?學(xué)生對對稱的認識還停留在初中階段,即翻折后折痕一邊的圖像與另一邊重合,或者繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.這符合初中生的認知水平,也是對于對稱現(xiàn)象的一種感性認識.學(xué)生能從圖形的角度感受對稱現(xiàn)象的發(fā)生,并且獲得對于對稱概念的初步理性認識,但這是一種模糊的、淺顯的認知.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心問題是幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力下向高認知的學(xué)習(xí)任務(wù)攀升.其中有一方面就是對數(shù)學(xué)對象的認識,從自然語言向更準確、更精煉的符號語言的轉(zhuǎn)化.“函數(shù)的奇偶性”這一節(jié)課正是讓學(xué)生經(jīng)歷一個對稱概念的形成過程,加深學(xué)生對概念的準確認知,從中建構(gòu)自己對于對稱的理解和認識.

    三、教學(xué)設(shè)計(片段)

    問題4:是因為點(1,1)和點(-1,1)都在函數(shù)f(x)=x2的圖像上,所以認為函數(shù)f(x)=x2的圖像關(guān)于y軸對稱嗎?

    生:盡管這兩個關(guān)于y軸對稱的點都在f(x)=x2的圖像上,但是不足以說明f(x)=x2的圖像是關(guān)于y軸對稱的.

    問題5:那我們多取幾組點就能說明嗎?

    生:有限組點肯定不足以說明.

    問題6:那我們?nèi)o數(shù)組點呢?

    生:好像也不行,應(yīng)該要任意一組點才行,即需要在函數(shù)f(x)=x2的圖像上任取一點P,證明它關(guān)于y軸的對稱點Q也在函數(shù)f(x)=x2的圖像上.

    學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完成證明:在f(x)=x2的圖像上任取一點Px0,f(x0),即f(x0)=x20.設(shè)點P關(guān)于y軸的對稱點為Q,則Q點的坐標為(-x0,f(-x0)).因為f(-x0)=(-x0)2=x20=f(x0),所以點Q也在函數(shù)f(x)=x2的圖像上.所以函數(shù)f(x)=x2的圖像關(guān)于y軸對稱.

    問題7:這個證明中的關(guān)鍵之處有哪些?

    生1:點P要從函數(shù)圖像上任取.

    生2:f(-x0)=f(x0)這個式子的成立也是關(guān)鍵.

    問題8:若函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x)對定義域中任意的x恒成立,能推出函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱嗎?

    生:在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點P(x0,y0),即y0=f(x0).因為f(-x)=f(x)對定義域中任意的x恒成立,則y0=f(-x0),即點Q(-x0,y0)一定在函數(shù)y=f(x)的圖像上,所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱.

    問題9:若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,則其解析式會有什么特征?

    生:在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點P(x0,y0),即y0=f(x0),點P關(guān)于y軸的對稱點Q(-x0,y0)一定在函數(shù)y=f(x)的圖像上,即y0=f(-x0).等量代換后得到f(-x0)=f(x0),即f(-x)=f(x)對定義域中任意的x恒成立.

    師:所以函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x)對任意的定義域中x恒成立等價于函數(shù)y=f(x)的圖像是關(guān)于y軸對稱的.此時給出偶函數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為A,如果對于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

    問題10:大家可以繼續(xù)思考偶函數(shù)的圖像有什么特點?

    生:剛才我們已經(jīng)證明了偶函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對稱的.

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