高中數(shù)學(xué)主題教學(xué)之“概念類主題” ①——以高中數(shù)學(xué)中“比”的概念為例

汪 健 任念兵

(華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 201203)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的“實(shí)施建議”中提出教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)實(shí)踐中整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展，從而引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[1]．落實(shí)這些建議的關(guān)鍵是實(shí)施主題教學(xué)．中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的知識(shí)類主題按照其關(guān)注的重點(diǎn)，可分為重要的數(shù)學(xué)概念與核心數(shù)學(xué)知識(shí)[2]．其中的核心概念[3]在數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要的地位．如同章建躍先生指出的，“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念往往具有鮮明的直觀背景，簡(jiǎn)單、易懂且威力無(wú)窮，是開(kāi)啟中學(xué)數(shù)學(xué)大門的金鑰匙[4]”．本文把以重要數(shù)學(xué)概念為主要內(nèi)容的知識(shí)類主題稱為“概念類主題”，并以高中數(shù)學(xué)涉及的形形色色的“比”的概念為例，闡釋對(duì)“概念類主題”的理解和教學(xué)設(shè)計(jì)．

1 高中數(shù)學(xué)中的各種“比”

“比”作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，與除法運(yùn)算和分?jǐn)?shù)的概念有著密切的聯(lián)系．相對(duì)于更加強(qiáng)調(diào)等式關(guān)系的除法和更加側(cè)重運(yùn)算結(jié)果的分?jǐn)?shù)，同為兩數(shù)相除運(yùn)算的“比”還具備對(duì)參與運(yùn)算的兩個(gè)量進(jìn)行比較的內(nèi)涵．這一點(diǎn)從歐幾里得《幾何原本》中“比例論”一卷對(duì)“比”的定義即可見(jiàn)一斑[5]．故此相較于除法和分?jǐn)?shù)，“比”更注重運(yùn)算的過(guò)程性以及參與運(yùn)算的兩個(gè)量之間“質(zhì)”的比較．

在中小學(xué)數(shù)學(xué)的課程里，“比”也是一條主要線索，串起了分?jǐn)?shù)、比例、相似比、變化率、頻率等諸多概念．本文關(guān)注的高中數(shù)學(xué)課程里“比”的概念包括：弧度制、三角函數(shù)、直線的斜率、函數(shù)的變化率/導(dǎo)數(shù)．此外，還有諸如線段所在直線上一點(diǎn)分該線段所成的比(見(jiàn)于定比分點(diǎn)公式)、平面面積的射影與原面積的比(見(jiàn)于面積射影定理)等．

在上述各個(gè)“比”的概念中，有一些表述成兩個(gè)幾何量之間的比，如弧度制的定義中弧長(zhǎng)與半徑之比、三角函數(shù)的定義中各種坐標(biāo)之間的比等；另一些則表述成兩個(gè)數(shù)量之間的比，如函數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)定義中的坐標(biāo)差之比等．幾何度量之比與數(shù)量之比的統(tǒng)一過(guò)程是相當(dāng)曲折的[6]．因此，掌握“度量之比”與“數(shù)量之比”之間的聯(lián)系，并通過(guò)問(wèn)題解決來(lái)體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”的思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)[2]是很有幫助的．

2 形與數(shù)——度量之比與數(shù)量之比

由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)度量與數(shù)量不加區(qū)分地用數(shù)來(lái)表示，在度量之比中往往蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系，反之亦然．這就為在各個(gè)“比”的概念中建立度量與數(shù)量之間的聯(lián)系提供了便利．

2.1 弧度制

2.2 三角函數(shù)

三角函數(shù)的定義與學(xué)生此前接觸的其他初等函數(shù)有一個(gè)顯著的區(qū)別：函數(shù)值是“比值”．教材一般會(huì)通過(guò)相似三角形的相似比檢驗(yàn)該定義是自洽的[10]．不過(guò)，這就把原本由直觀的幾何方式定義的銳角三角函數(shù)的概念變得抽象了．對(duì)此，人教A版教材的處理方法是把比值轉(zhuǎn)化成有向線段的數(shù)量，引入“三角函數(shù)線”來(lái)幫助闡釋三角函數(shù)的概念[10]．

而在2019年出版的人教A版新教材中，將三角函數(shù)定義為(處于標(biāo)準(zhǔn)位置的)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)及其運(yùn)算結(jié)果[11]．這樣放棄了斜邊的自由度，將“比”還原成數(shù)．隨后，反過(guò)來(lái)驗(yàn)證銳角的三角函數(shù)與新定義兼容，從而獲得三角函數(shù)概念的完整形象．這種處理方式一方面體現(xiàn)了坐標(biāo)作為從點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集的函數(shù)的本質(zhì)，呼應(yīng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)[12]，另一方面，其后的驗(yàn)證過(guò)程也合乎“用恰當(dāng)?shù)睦咏忉尦橄蟮臄?shù)學(xué)概念和規(guī)則”的要求[2]．

2.3 直線的斜率

現(xiàn)行的滬教版[13]與人教版教材[14]對(duì)直線斜率的定義均從傾斜角出發(fā)，把斜率定義成傾斜角的正切，本質(zhì)上是作為三角函數(shù)的一種應(yīng)用．在隨后的實(shí)際計(jì)算中，教材又把斜率解讀為直線上兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比．因此，直線的斜率雖然是一個(gè)幾何概念，但是仍然按照數(shù)量之比定義，體現(xiàn)了解析幾何解決問(wèn)題的一般路徑：用代數(shù)方法求解幾何問(wèn)題．

不過(guò)，在國(guó)外(特別是北美)的教材中，斜率卻往往先于傾斜角的概念出現(xiàn)[15]．在后續(xù)的內(nèi)容中，這些教材也會(huì)更多地強(qiáng)調(diào)斜率作為改變量之比的特性，將其作為斜率的根本屬性．這種處理方法與上面的方式正好相反，源自幾何的觀點(diǎn)．我們將在下面關(guān)于函數(shù)變化率的分析中看到，為什么看似相同的改變量之比和坐標(biāo)差之比被解讀為截然相反的意義．

事實(shí)上，這兩種觀念的碰撞在斜率的符號(hào)使用上也可窺一斑．長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)于“斜率的符號(hào)為什么用k？”這個(gè)問(wèn)題一直沒(méi)有定論．與此同時(shí)，在西方也有類似的討論：“斜率的符號(hào)為什么用m？”就目前能找到的資料來(lái)看，字母k的使用可能源于俄語(yǔ)Угловой коэффициент(直譯為“角系數(shù)”)中коэффициент(系數(shù))一詞的首字母к，而字母m則出自法語(yǔ)monter(“攀登”)一詞的首字母m．是否可以認(rèn)為：以k為斜率的數(shù)學(xué)教學(xué)體系更強(qiáng)調(diào)斜率作為數(shù)量之比的一面，而m為斜率的數(shù)學(xué)教學(xué)體系則突出斜率作為改變量之比的角色呢？這是一個(gè)有趣的問(wèn)題[16]．

2.4 函數(shù)的變化率/導(dǎo)數(shù)

函數(shù)變化率的概念通過(guò)函數(shù)圖象的切線這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，與直線的斜率緊密地聯(lián)系在一起．因此，人教A版教材在引入函數(shù)變化率的概念時(shí)，沿用了其對(duì)直線斜率的處理方式，直接給出坐標(biāo)差之比的算式結(jié)果，而不再?gòu)?qiáng)調(diào)它作為“比”的過(guò)程[17]．人教A版新教材則將變化率表述成變化量之比[18]．可以認(rèn)為，用坐標(biāo)差之比解釋函數(shù)變化率是將其歸為數(shù)量之比；而把函數(shù)變化率當(dāng)成改變量之比、把導(dǎo)數(shù)當(dāng)成改變量之比的極限則將它歸為了(帶符號(hào)的)度量之比．這兩種處理方式可參考微積分的教材中導(dǎo)數(shù)概念形成的兩種表述方式：

①設(shè)函數(shù)y=f(x)是在區(qū)間X內(nèi)定義著的．從自變量的某一數(shù)值x=x0出發(fā)，給它加一增量Δx0，使不越出區(qū)間X，于是新值x0+Δx亦屬于這區(qū)間．那時(shí)函數(shù)值y=f(x0)將換成新值y+Δy=f(x0+Δx)，即獲得增量Δy=Δf(x0)=f(x0+Δx)-f．

圖1

2.5 小結(jié)

人類對(duì)“比”的認(rèn)識(shí)，從局限于度量之比到包容了數(shù)量之比，是數(shù)學(xué)從算術(shù)/幾何發(fā)展到代數(shù)的漫長(zhǎng)過(guò)程的一個(gè)縮影．上述“比”的概念大抵經(jīng)歷了“度量之比→帶符號(hào)的度量之比→數(shù)量之比”的發(fā)展過(guò)程．這個(gè)過(guò)程在定比分點(diǎn)公式和面積射影定理中也有體現(xiàn)．

定比分點(diǎn)的定義中涉及到有關(guān)“比”的概念是點(diǎn)分線段所成的比，它與射影幾何中的齊次坐標(biāo)有著密切的聯(lián)系[21]，因而經(jīng)歷了“線段的長(zhǎng)度→有向線段的數(shù)量→齊次坐標(biāo)”的演變過(guò)程，兼具度量之比與數(shù)量之比的特點(diǎn)．

面積射影定理的常見(jiàn)形式是完全用幾何度量(面積)來(lái)表述的，證明則需要微積分的思想[22]，故并不常見(jiàn)于我國(guó)現(xiàn)行中學(xué)教材．定理的代數(shù)(帶正負(fù)號(hào))形式本質(zhì)與幾何形式相同，詳細(xì)的證明則可參閱多元微積分的相關(guān)部分[23]．可見(jiàn)，面積射影定理結(jié)論的拓展也與三角函數(shù)定義的推廣經(jīng)歷了類似的過(guò)程．

綜上，在教學(xué)中把一系列與高中數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的“比”的概念串聯(lián)起來(lái)，從形與數(shù)兩個(gè)角度進(jìn)行比較，可以為教學(xué)提供豐富的素材，也能將“數(shù)形結(jié)合”的思想通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，是用于培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的好材料．

3 “比”的主題教學(xué)設(shè)計(jì)

根據(jù)以上對(duì)“比”的數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容的分析，可以制訂以“比”為數(shù)學(xué)主題的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)流程．

3.1 教學(xué)目標(biāo)

第一，經(jīng)歷用幾何方式與代數(shù)方式刻畫弧度制、三角函數(shù)、斜率、導(dǎo)數(shù)等各個(gè)“比”的概念的過(guò)程，掌握兩種刻畫方式之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，能夠?qū)⑵鋺?yīng)用于相關(guān)運(yùn)算，并能解釋相應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，加深對(duì)“比”的概念的理解．提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

第二，通過(guò)梳理常量的“比”的概念與變量/函數(shù)中“比”的相關(guān)概念等內(nèi)容，體會(huì)“比”的過(guò)程性；結(jié)合與“比”有關(guān)的圖形構(gòu)造與動(dòng)態(tài)問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到“比”在變量數(shù)學(xué)中，特別是函數(shù)的研究中所占的重要地位．提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

第三，了解人們對(duì)“比”的認(rèn)識(shí)的發(fā)展過(guò)程，初步認(rèn)識(shí)“比”的內(nèi)涵與外延及其在數(shù)學(xué)中的地位，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.2 教學(xué)流程

第一階段，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，結(jié)合弧度制和三角函數(shù)從幾何量到代數(shù)量的演變過(guò)程，認(rèn)識(shí)坐標(biāo)法與函數(shù)觀點(diǎn)下“比”的概念相對(duì)于初中內(nèi)容的發(fā)展；

第二階段，結(jié)合解析幾何與立體幾何的相關(guān)內(nèi)容，如定比分點(diǎn)、斜率、面積射影定理等，深化對(duì)“比”的數(shù)、形兩個(gè)側(cè)面的認(rèn)識(shí)；

第三階段，結(jié)合函數(shù)變化率與導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“比”的動(dòng)態(tài)特征，及其在變量數(shù)學(xué)中的地位．

3.3 主題學(xué)習(xí)任務(wù)舉例

下面這個(gè)主題學(xué)習(xí)任務(wù)以“比”作為橋梁，用導(dǎo)數(shù)解釋了引入弧度制的必要性．

弧度制的再認(rèn)識(shí)

(1)運(yùn)用計(jì)算軟件(如EXCEL)描點(diǎn)作x-sinx°的散點(diǎn)圖(x∈{0.01,0.02,…,0.09})，觀察到各點(diǎn)大致位于一條過(guò)原點(diǎn)的直線l上，如圖2所示．

圖2

(3)試調(diào)整(1)中圖表里x軸的單位長(zhǎng)度，使直線l的斜率變?yōu)?．結(jié)合(2)的結(jié)論，解釋引入弧度制對(duì)y=sinx圖象的影響；

(4)設(shè)f(x)=sinx，試通過(guò)(2)的結(jié)論計(jì)算f′(0)；

(5)借助兩角和的正弦公式與倍角公式，推導(dǎo)公式(sinx)′=cosx；

(6)試結(jié)合上述結(jié)論解釋在函數(shù)的研究中使用弧度制來(lái)度量角的優(yōu)勢(shì)．

設(shè)計(jì)意圖：本任務(wù)旨在幫助學(xué)生理解引入弧度制的好處，可作為導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章節(jié)的拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容．問(wèn)題(1)考查了學(xué)生運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)可視化技術(shù)(圖表)，借助圖形探索解決問(wèn)題思路的能力；問(wèn)題(2)需要學(xué)生具備利用圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力，同時(shí)也要求學(xué)生能夠把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問(wèn)題；問(wèn)題(3)則要求學(xué)生能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想，從數(shù)據(jù)分析的角度來(lái)探索函數(shù)的性質(zhì)．總的來(lái)說(shuō)，這三個(gè)問(wèn)題在關(guān)注學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)的同時(shí)，兼顧了數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

問(wèn)題(4)則啟發(fā)學(xué)生通過(guò)此前的運(yùn)算抽象出相關(guān)的函數(shù)極限，并在此基礎(chǔ)上得到導(dǎo)數(shù)的計(jì)算結(jié)果；問(wèn)題(5)進(jìn)而要求學(xué)生在此基礎(chǔ)上，藉由相關(guān)的運(yùn)算方法提煉出解決一類問(wèn)題的方法；最后，問(wèn)題(6)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表述其對(duì)弧度制的數(shù)學(xué)特征的認(rèn)識(shí)．后面三個(gè)問(wèn)題旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

如同一些作者指出的，高中數(shù)學(xué)微積分專題為弧度制的合理解釋提供了可能[9]．而將學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的與之類似的現(xiàn)象(如：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e的由來(lái)[24])進(jìn)行聯(lián)系和對(duì)比，能夠通過(guò)“比”這一核心概念，提升學(xué)生對(duì)此類數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí)．

以上探索表明，抓住核心概念，發(fā)掘其在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容范圍里的聯(lián)系，探究其在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的地位，并由此設(shè)計(jì)出的以概念為主題的教學(xué)，不僅可以為教師提供非常豐富的教學(xué)素材，也能為學(xué)生提供廣闊的思考空間，最終有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).