對(duì)數(shù)的比較與斐波那契數(shù)列
——從2020年全國(guó)Ⅲ卷理科第12題談起

肖志軍 張 浩

(1. 北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 100022； 2. 北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心 100021)

1 一道“致命問題”

2020年全國(guó)Ⅲ卷理科第12題是一道比較對(duì)數(shù)大小的題目：已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則( )．

(A)a

(C)b

解析因?yàn)?4<53，所以4log53<3，

這樣的問題曾被選為“致命問題”．美國(guó)麻省理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家Tanya Khovanova及其Alexey Radul在2012年《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》第十期上合作發(fā)表文章《致命問題》(Killer Problems)[1]，其中介紹的第11個(gè)問題是一個(gè)與上述題目類似的問題：log23與log35誰更大？

這篇文章的第一作者Khovanova曾于1976年代表蘇聯(lián)參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽(IMO)獲得金牌，并且是IMO有史以來第二位獲得金牌的女選手．這篇文章包含了14道“致命問題”，王淑紅和蔣迅[2]在《數(shù)學(xué)文化》上也介紹過這些問題，它們的特點(diǎn)是“構(gòu)思新穎、設(shè)計(jì)巧妙，很難使人想到答案，但是一旦看到答案，又使人恍然大悟 ：“原來這么簡(jiǎn)單！”這些問題一般都能夠用初等數(shù)學(xué)知識(shí)來解答，但令學(xué)生們抓狂．

設(shè){Fn}是斐波那契數(shù)列(Fibonacci)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，即F1=F2=1，當(dāng)n>2時(shí)，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2(這個(gè)遞推關(guān)系由Girard在1634年發(fā)現(xiàn))．我們觀察到上述不等式鏈中對(duì)數(shù)的底和真數(shù)組成的數(shù)列2,3,5,8,13恰好是斐波那契數(shù)列的一個(gè)子列，于是我們提出如下猜想：

通過計(jì)算機(jī)數(shù)值驗(yàn)證可以得到當(dāng)n≤103時(shí)，不等式均成立．因此這也讓我們更加相信這一猜想的正確性.

nFnn-2n-1logFn+1Fnn-1n320.50.630930.666667430.6666670.6826060.75550.750.7739760.8680.80.8107140.8333337130.8333330.842480.8571438210.8571430.8633610.8759340.8750.8799770.88888910550.8888890.8927730.91000.9898990.9899320.9910000.9989989990.9989993270.999

2 猜想的證明

引理1(Bernoulli不等式)：設(shè)x≥-2，n∈N，則(1+x)n≥1+nx.

證明當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立．

以下考慮n>1的情況．

設(shè)f(x)=(1+x)n-(1+nx)，

則f′(x)=n[(1+x)n-1-1]．

當(dāng)x≥0時(shí)，f′(x)≥0，

所以f(x)單調(diào)遞增，f(x)≥f(0)=0．

當(dāng)-2≤x≤0時(shí)，因?yàn)?1+x)n-1-1≤

|1+x|n-1-1≤0，所以f′(x)≤0，

所以f(x)單調(diào)遞減，f(x)≥f(0)=0．

所以當(dāng)x≥-2時(shí)，f(x)≥0，即(1+x)n≥1+nx．

注常見的Bernoulli不等式中要求x≥-1，這個(gè)引理說明x≥-1的條件可以放大至x≥-2．

則0

(1)首先證明猜想的左半部分．

我們有

因?yàn)?+φ-2n-2>1，

又因?yàn)棣?2n-2+φ-2n<φ0+φ0=2，

所以-(φ-2n-2+φ-2n)>-2．

由Bernoulli不等式得

因?yàn)閚≥4，所以

(2)下面證明猜想的右半部分．

我們有

>φ·[1-(φ-2n+φ-2n-2)].

又因?yàn)?(φ-2n-2+φ-2n)>-2，

由Bernoulli不等式得

>φn[1-n(φ-2n-2+φ-2n)].

3 推論與探索

證明當(dāng)n=3時(shí)，φ

設(shè)n≤k時(shí)命題成立,則當(dāng)n=k+1時(shí)，

φk-2+φk-3

因?yàn)?/p>

φk-1+φk-2=φk-2(1+φ)=φk-2·φ2=φk,

φk-2+φk-3=φk-3(1+φ)=φk-3·φ2=φk-1,

所以φk-1

證明(1)當(dāng)k≥2且n>k時(shí)，

(2)當(dāng)k≤1時(shí)，

證明(1)當(dāng)n≥3時(shí)，

(2)因?yàn)?/p>