高中數(shù)學建模方法的選擇
——以“身高與體重”為例

顧予恒 何波祿

(1.杭州第二中學錢江學校 311215；2.杭州第十四中學 310006)

隨著新課程新教材的實施，作為數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學建模正成為當下高中數(shù)學教學中一道新的靚麗風景線．如何進行數(shù)學建模問題設計，如何開展數(shù)學建模課堂教學，如何引導學生完成數(shù)學建模全過程，如何評價數(shù)學建模的成果等問題都是值得老師們積極探討的新問題．

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》中提出數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象、用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)．數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題[1]．每個環(huán)節(jié)與步驟都有其價值和意義，其中如何分析問題、建立模型并確定參數(shù)是非常重要的一環(huán)，一個好的數(shù)學模型是數(shù)學建模問題的核心．不久前，筆者參加市里的一次數(shù)學建模課展示，在教學設計時幾易其稿，原因就在于對如何引導學生構建模型有不同的設想．本文對這節(jié)課的其他教學設計從略，主要就模型建立環(huán)節(jié)進行展示，供各位讀者研討．

1 問題提出

筆者選取了人教版普通高中數(shù)學教科書必修第一冊第156頁課后練習中的第12題作為數(shù)學建模問題進行教學.

問題某地不同身高的未成年男性的體重平均值如下表[2]：

表1 未成年男性的身高與平均體重

根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)建立恰當?shù)臄?shù)學模型，使之能近似地反映這個地區(qū)未成年男性身高x(單位：cm)與平均體重y(單位：kg)的函數(shù)關系，并寫出這個函數(shù)的解析式．

2 三種數(shù)學建模方法

通過數(shù)學建模去解決的實際問題多種多樣，根據(jù)目的不同，分析的方法不同，或者采用的數(shù)學工具不同，所建立的模型也是不同的．一般來說建模方法大體上分為機理分析建模，統(tǒng)計分析建模以及機理與統(tǒng)計相結合的建模[3]．

機理分析建模是根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)學規(guī)律，建立的模型常有明確的物理、生物或現(xiàn)實意義，因此機理分析建模是一個“白箱”建模方法；統(tǒng)計分析建模是將研究對象看作一個“黑箱”系統(tǒng)，通過對系統(tǒng)輸入、輸出數(shù)據(jù)的測量和統(tǒng)計分析，按照一定的準則找出與數(shù)據(jù)擬合的最好的模型，因此統(tǒng)計建模方法是一個“黑箱”建模方法．

機理分析建模方法與統(tǒng)計分析建模方法在描述白箱與黑箱系統(tǒng)上各有所長，也有較好的應用效果．但是我們面臨的現(xiàn)實問題大多是灰箱系統(tǒng)，僅靠機理分析建?；蛘呓y(tǒng)計分析建模解決問題會存在不可避免的弊端與限制．為了實現(xiàn)二者的互補，更常用的建模方法是先用機理分析建立模型的結構，再用統(tǒng)計分析確定模型參數(shù)，這種將機理與統(tǒng)計相結合的建模方法是一個“灰箱”建模方法．

3 建模方法的選擇

由于本節(jié)課是在學生初步接觸了教材中數(shù)學建模專題“建立函數(shù)模型解決實際問題”中的“茶水最佳口感溫度”后進行的教學，所以很多師生會第一時間選擇與之相似的建模方法．

3.1 統(tǒng)計分析建模

大家容易想到先畫出表1中數(shù)據(jù)的散點圖(見圖1)，利用圖象直觀分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可選擇指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)或冪函數(shù)近似地描述未成年男性身高與平均體重之間的關系．借助計算機軟件能方便快捷地擬合出這三個函數(shù)解析式(圖2是用GeoGebra擬合指數(shù)函數(shù))，至于哪個函數(shù)擬合度更好，可以引入比較擬合的函數(shù)與實際數(shù)據(jù)之間的誤差平方和或者擬合優(yōu)度判定系數(shù)R2，誤差平方和越小或者擬合優(yōu)度判定系數(shù)越接近于1，擬合度越高．將這三個函數(shù)模型進行列表比較(見表2)，站在統(tǒng)計分析的角度，不難判斷，指數(shù)函數(shù)模型y=2.004·e0.0197x是最優(yōu)模型．

圖2 擬合函數(shù)

表2 擬合函數(shù)對比

但這樣的統(tǒng)計分析建模得到的真的就是最佳模型嗎？

從常識與現(xiàn)實情況的視角對模型進行檢驗，發(fā)現(xiàn)我們建立的最優(yōu)模型似乎經(jīng)不起推敲．比如剛出生的嬰兒身高約為50cm，將x=50cm代入指數(shù)函數(shù)模型得到平均體重y=5.3693kg，在現(xiàn)實生活中剛出生10多斤的巨嬰是非常罕見的，并非普遍現(xiàn)象．

出現(xiàn)這個問題的原因何在？

首先，用統(tǒng)計分析建模得到的模型不依賴于系統(tǒng)機理，只是基于樣本數(shù)據(jù)，因此樣本數(shù)據(jù)的收集非常重要，是高中數(shù)學建模過程中重要的一環(huán)．該收集哪些數(shù)據(jù)(what)，為什么收集這些數(shù)據(jù)(why)，如何收集數(shù)據(jù)(how)，都需要在建模前思考．類似于本題中給出的數(shù)據(jù)，可以再找更多的數(shù)據(jù)來提高擬合的吻合程度，也可以采用限制定義域的方法只研究某一個身高范圍內(nèi)的情況．

其次，更重要地，經(jīng)過“茶水最佳口感溫度”教學之后，許多同學和老師簡單地理解數(shù)學建模就是經(jīng)歷收集樣本數(shù)據(jù)，畫出散點圖，通過計算機軟件擬合得出最佳擬合函數(shù)的過程．實際上，這樣的數(shù)學建模缺少了現(xiàn)實意義和數(shù)學建模味．我們不能將數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析混淆起來，數(shù)學建模課要上出數(shù)學建模的味道．

真實的數(shù)學建模，對問題的分析不局限在數(shù)學上，需要充分調(diào)動其他學科的知識或生活經(jīng)驗來進行研究，以數(shù)學與現(xiàn)實問題及相關學科知識相融合的方式，確定影響問題的關鍵因素和相關因素，找到適合的數(shù)學概念、原理來描述相應問題的數(shù)學規(guī)律，進而做出模型假設，這是一個“用數(shù)學思維思考世界”的過程．本節(jié)課要建立的未成年男性平均體重隨身高的變化規(guī)律模型是典型的灰箱系統(tǒng)，所以我們需要引入機理建模，讓建模變得有理有據(jù)！

3.2 機理與統(tǒng)計結合的建模

筆者查閱了相關的文獻資料，在教材原題的基礎上進行了改編，設計了一系列的閱讀思考材料，引導學生了解馬爾薩斯模型，為體重與身高的關系在生物學上找尋科學依據(jù)．

閱讀材料(縮減版)英國人口學家馬爾薩斯(Malthus)調(diào)查了英國一百多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口出生率與死亡率為常數(shù)，即人口增長率不變的假設，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型——馬爾薩斯模型：y=y0ert．(馬爾薩斯模型具體的歷史和推導過程等在閱讀材料中展現(xiàn)，此處從略)

根據(jù)生物學知識，人體細胞是人體結構和生理功能的基本單位，是生長發(fā)育的基礎[4]．在未成年時期，可以假設細胞的增殖率與死亡率為常數(shù)，通常增殖率大于死亡率．若把細胞的增殖率與死亡率類比于人口的出生率與死亡率，那么細胞數(shù)量隨身高的變化符合馬爾薩斯增長模型；假設人體細胞的重量都是一樣的，則體重與細胞數(shù)量成正比．如此可以建立起未成年男性的平均體重隨身高變化的數(shù)學模型．

一點說明由于高一學生的數(shù)學知識和生物學背景有限，因此教師通過讓學生閱讀材料，幫助他們了解經(jīng)典模型，并引導學生從文字材料中提取模型假設．未來遇到現(xiàn)實問題，則要學會根據(jù)實際情況自行設置模型假設．模型假設是建立模型的前提，一般是為了降低模型的復雜程度而作的一些約定．

機理建模

記身高為xcm時，細胞數(shù)量為Q(x)，假設細胞的增殖率b和死亡率d為常數(shù)，即細胞增長率r=b-d為常數(shù)，在一個較小的身高變化[x,x+Δx]內(nèi)新增細胞數(shù)為

Q(x+Δx)-Q(x)=rQ(x)Δx，

上式兩邊同除以Δx，并令Δx→0，有

若記Q0為出生時的細胞數(shù)，x0為出生時的身高，由積分易得

假設所有細胞的重量一樣，那么體重y與細胞數(shù)量Q成正比，即

y=pQ，

其中p是常數(shù)．因此體重隨身高的變化規(guī)律為

這個機理建模的過程其實就是類比馬爾薩斯模型的推導過程而進行的數(shù)學推理，但考慮到高一學生不了解微積分知識，因此教師在教學設計時，特意在閱讀思考材料中加入了一個假設，即把細胞的增殖率與死亡率類比于人口的出生率與死亡率，那么細胞數(shù)量隨時間的變化符合馬爾薩斯增長模型．于是，學生就可以直接套用馬爾薩斯模型來解釋體重隨身高的變化規(guī)律，得到(*)式．如果是高三或有競賽基礎的學生上課，學情不同，那也可以引導學生自行建立模型．

統(tǒng)計求解

接著既可以仿照“茶水”一課時采用的多種方法求解參數(shù)(比如求多組數(shù)據(jù)的平均值等)，也可以選用GeoGebra軟件進行擬合得到函數(shù)解析式為y=2.004·e0.0197x．這些都是利用統(tǒng)計方法來求解模型的過程．

終于，基于機理與統(tǒng)計建模相結合的新模型建立起來，但筆者發(fā)現(xiàn)這個新建立的模型與之前單純統(tǒng)計建模得到的結果是一樣的，依然避免不了類似于當x=50cm時，平均體重與事實不符的問題．

機理建模看來也并非十全十美，那么還可以如何調(diào)整，讓教學設計更加完美呢？這引起了筆者的進一步思考．剛才的機理建模中的假設過于粗糙，人體細胞形態(tài)多樣，差異很大，大多數(shù)細胞直徑僅有幾個微米，但有的可達到100微米以上[4],假設細胞的重量均一樣過于寬泛；此外不同類型的細胞其增長率也應該不同．基于以上分析，我們可以對細胞進行分類研究，從改進模型假設的方式入手對模型進行優(yōu)化，重新進行機理建模．

筆者繼續(xù)查閱文獻資料尋找解決方案．生物書中描述：在未成年時期，人體長高是骨細胞分裂增生形成的結果[5]，因此身高與骨細胞數(shù)量成正比；骨骼肌是體內(nèi)最多的組織，約占體重的40%，構成骨骼肌的基本單位是肌肉細胞[6]，同樣地，體重與肌肉細胞數(shù)量成正比．

于是筆者又擴展了閱讀材料，設置了新的模型假設．

模型假設

1．身高與骨細胞數(shù)量成正比，體重與肌肉細胞數(shù)量成正比；

2．假設未成年時期人體骨細胞的增長率為常數(shù)；

3．假設未成年時期人體肌肉細胞的增長率為常數(shù)．

機理建模

記時刻t的骨細胞數(shù)量為G(t)，G0=G(0)表示人體出生時骨細胞數(shù)量．假設骨細胞的增殖率和死亡率為常數(shù)，即骨細胞增長率為常數(shù)r1，類似于馬爾薩斯模型，未成年時期骨細胞的增長模型為

G(t)=G0er1t．

記時刻t的肌肉細胞數(shù)量為J(t)，J0=J(0)表示人體出生時肌肉細胞數(shù)量．假設肌肉細胞增長率為常數(shù)r2，那么未成年時期肌肉細胞的增長模型為

J(t)=J0er2t．

記身高為xcm，平均體重為ykg，由前面的分析知，存在常數(shù)k1與k2，使得x(t)=k1G(t)=k1G0er1t，y(t)=k2J(t)=k2J0er2t．

y(x)=kxr．

選用GeoGebra軟件進行擬合得到函數(shù)解析式為

y=0.001·x2.1029．

以下有三個方面可以說明我們建立的冪函數(shù)增長模型是合理的：

(1)冪函數(shù)的擬合優(yōu)度判定系數(shù)為0.9736，擬合度比較高，繪制原始數(shù)據(jù)的散點圖與擬合曲線進行對比，發(fā)現(xiàn)所得模型與所給的原始數(shù)據(jù)基本吻合(圖3)；

圖3 原始數(shù)據(jù)與擬合曲線的對比圖

(2)將x=50cm代入冪函數(shù)模型得到平均體重為y=3.7206kg，這數(shù)據(jù)符合認知與實際情況；

(3)國際上一個適用于成人的身體質量指數(shù)——BMI，它的計算公式就是體重除以身高的平方(這里的身高是以米為單位)，這與我們建模得到的函數(shù)幾乎一致．

冪函數(shù)模型的缺點是當x≥150時，實際平均體重數(shù)據(jù)明顯比擬合數(shù)值大，究其原因可能是因為未成年男性進入青春發(fā)育期分泌更多的雄激素，雄激素有促進蛋白質合成、促進肌肉發(fā)育的作用，會使男性肌肉粗壯[7]．這種因素會引起肌肉細胞的增長率發(fā)生變化，因此我們還可以將模型進行分段處理，分別利用冪函數(shù)擬合60≤x≤150與150≤x≤170的數(shù)據(jù)，得到未成年男性平均體重隨身高的變化規(guī)律滿足：

4 教學反思

本節(jié)課的教學設計過程從統(tǒng)計分析建模，到機理建模與統(tǒng)計分析解模結合，再到調(diào)整機理改進模型，恰好就是一次為追求更好的數(shù)學模型而不斷嘗試的過程．其實，基于一個現(xiàn)實問題建立的數(shù)學模型往往沒有最好可言，有的正是不斷追求更好.

新教材中眾多的應用問題就是數(shù)學建模素材的巨大寶庫．本節(jié)課的問題就來源于教材的課后習題，是對教材內(nèi)容的開發(fā)再利用．利用好這些素材，開展生動、有效的建?；顒咏虒W，可以更好地發(fā)揮數(shù)學的育人功能，促成數(shù)學建模核心素養(yǎng)的落地．真實的數(shù)學建?；顒硬粌H需要收集數(shù)據(jù)，還需要充分利用網(wǎng)絡、書籍等多種資源來獲得跨學科的知識和經(jīng)驗幫助建模的完成．為了本節(jié)課的教學設計，筆者就查閱了很多生物學書籍，還請教了生物老師，才逐步找到了身高與平均體重間的內(nèi)在機理，這本身就是一個很重要的學習過程．

由于本節(jié)課是一節(jié)展示課，所以需要在一節(jié)課時間內(nèi)引導學生完成全部教學任務．如果能用幾節(jié)課時間，以開題、做題、結題等方式，讓學生自主完成數(shù)學建模問題，學生能自己建立如教學設計中設計的那些不同模型并說清理由，那樣的數(shù)學建模教學對學生的幫助必然會更大．

數(shù)學建模，任重道遠，道阻且長，期待有更多優(yōu)秀的數(shù)學建模案例引領高中師生共同進步.