定向分布于兩圓上的兩點間距離最值的探求

李金興

(浙江省蕭山中學 311201)

1 兩點連線段與兩圓心連線段垂直時

為便于闡明探求方法,先舉一個簡單的例子.

例1已知點P在圓C1:x2+y2=1上,點Q在圓C2:(x-2)2+y2=4上,且PQ⊥x軸,求P,Q兩點間距離的最大值.

分析當兩圓相交時,P,Q兩點間距離的最小值為0，故不予研究.為求P,Q兩點間距離的最大值,由對稱性不妨設P在x軸上方、Q在x軸下方(如圖1).

圖1

圖2

2 兩點連線段與兩圓心連線段不垂直時

為便于闡明探求方法,仍先舉一個簡單的例子.

圖3

將直線PQ與C1的方程聯(lián)立消去y得

而將直線PQ與C2的方程聯(lián)立消去y得

所以

小結改變直線PQ的傾斜角，可以用同樣方法構造向量數(shù)量積來求P,Q兩點間距離的最大值.事實上，適當旋轉坐標系可以更直觀地來解決該問題，請看例2另解如下：

圖4

圖5

(1)若P在圓C1的上半圓上，則

消去X,Y得

再與X2+Y2=1聯(lián)立解得

圖6

(2)若P在圓C1的下半圓上，則

3 兩圓處于不同位置關系時的應用舉例

上述三個例子中給出構造向量、并利用向量的數(shù)量積或叉積的幾何意義來求定向分布于兩圓上的兩點間距離的最值；對于不同位置關系的兩圓，需要合理選擇方法.

例4已知點P在圓C1:x2+y2=1上，點Q在圓C2:(x-4)2+y2=4上，且直線PQ的傾斜角為30°，求P,Q兩點間距離的取值范圍.

圖7

(2)若P在下半圓上、Q在上半圓上的情形；此時，P,Q兩點間距離

例5已知點P在圓C1:x2+y2=1上，點Q在圓C2:(x-2)2+y2=16上，且直線PQ的傾斜角為30°，求P,Q兩點間距離的取值范圍.

圖8

(4)若P在上半圓上、Q在下半圓上；則P,Q兩點間距離

綜上所述，P,Q兩點間距離的取值范圍為

反思例5的解答中構造向量數(shù)量積時由于兩個向量的旋轉方向相反，利用圖形直觀容易求得數(shù)量積的最值，但構造向量叉積時由于兩個向量的旋轉方向相同，有時不能利用圖形直觀來求叉積的最值.