高中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用

段繼華

摘 要：在高中階段的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)解題是較為困難的內(nèi)容，也是學(xué)生能力較為薄弱的方面，對解題方法不能夠做到靈活使用，加上教學(xué)方式不合理，使得學(xué)生知識(shí)理解和掌握不牢。隨著新課程改革的深入，為了滿足新課程改革要求，彌補(bǔ)以往教學(xué)中的不足，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生解題能力培養(yǎng)，轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)觀念，引入分類討論思維，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)問題內(nèi)涵，提高課堂學(xué)習(xí)效率。本文闡述分類討論思想的概念，分析應(yīng)用的原則，探究高中數(shù)學(xué)解題中分類討論思想的應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);分類討論思想;應(yīng)用策略

高中數(shù)學(xué)解題中，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，特別是一些結(jié)論不是唯一的題目，不能對其統(tǒng)一形式的研究，部分題目需要使用字母表示數(shù)，字母取值不同，其解決也會(huì)不同。因此，在實(shí)際的數(shù)學(xué)問題解答中，需要根據(jù)問題的情況進(jìn)行分類，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成小問題，完成問題思考和解答，簡化解題過程，提高學(xué)生解題能力。

一、利用分類討論思想解決函數(shù)問題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)解題是重要的解題類型，要求學(xué)生具備一定的思維能力，函數(shù)題目在高考中占有較高的比重。因此，在函數(shù)問題解題教學(xué)中，注重分類討論思想的引入，簡化問題復(fù)雜程度，幫助學(xué)生理解題目。一般來說，函數(shù)題目復(fù)雜多變，涉及的變量參數(shù)較多，對解題結(jié)果有著很大的影響。在解題中，引導(dǎo)學(xué)生利用分類思想，對不同參數(shù)產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行逐一探索，創(chuàng)新學(xué)生解題方式。例如，人教A版高中數(shù)學(xué)“函數(shù)的概念和表示”的教學(xué)中，為了加深學(xué)生函數(shù)性質(zhì)和概念的掌握，引入例題開展分類討論活動(dòng)。例題：已知函數(shù)，且x≠0，當(dāng)a的值是多少時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)。

此題是屬于典型變量問題，作為教師需要引導(dǎo)學(xué)生分三種情況討論，第一：當(dāng)2a+1=1且a+3≠0時(shí)，即a=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，y=7x-5;第二：當(dāng)2a+1=0時(shí)，即a=式，函數(shù)是一次函數(shù)，解析式為y=4x-5;第三：當(dāng)a+3=0時(shí)，函數(shù)是一次函數(shù)，解析式為y=4x-5。通過這樣的分類討論活動(dòng)，對確定函數(shù)是一次函數(shù)的已知條件進(jìn)行分析討論，通過對其進(jìn)行逐一的討論分析，完成函數(shù)問題的思考和解答，提高學(xué)生解題能力。在上述解題過程中，結(jié)合一次函數(shù)概念開展分類討論，得到問題的答案，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力培養(yǎng)。

再如，已知函數(shù)f（x）=2x2-2ax+3，在區(qū)間[-1，1]上有最小值，記作g（a），求解g（a）的函數(shù)表達(dá)式。

此題涉及二次函數(shù)的對稱軸知識(shí)，在解題時(shí)，需要根據(jù)對稱軸的不同位置，開展分類討論，完成題目思考和解答。

將原式進(jìn)行配方可以得到y(tǒng)=2（）2+3-，其對稱軸是x=。

當(dāng)≤-1時(shí)，y在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x=-1時(shí)，g（a）=2a+5

當(dāng)-1<<1時(shí)，x=有最小值，g（a）=3-。

當(dāng)≥1時(shí)，y在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)x=1時(shí)，g（a）=5-2a。

當(dāng)a的取值不同，g（a）的表達(dá)式不同。

二、借助分類討論思想解答概率問題

概率是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，是高考中必考的考點(diǎn)之一，為了提高學(xué)生概率解題效率，引入分類討論思想，培養(yǎng)學(xué)生分類討論意識(shí)，尋找概率問題解題方式，提高學(xué)生解題能力。例如，人教A版高中數(shù)學(xué)“概率”教學(xué)中，教師可以引入古典概率問題，開展分類討論活動(dòng)。例題：在某個(gè)學(xué)校高三班級(jí)中，為了參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，選出18名學(xué)生作為接力賽預(yù)備選手，從1到18進(jìn)行編號(hào)，如果從中任意選擇3人，選出運(yùn)動(dòng)員編號(hào)是以3為公差的等差數(shù)列的概率是多少？為了保證學(xué)生能夠準(zhǔn)確解題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想進(jìn)行解題，首先，讓學(xué)生計(jì)算出基本事件是17×16×3，并且運(yùn)動(dòng)員編號(hào)設(shè)為Yn=Y1+3（n-1），當(dāng)Y1=1時(shí)，運(yùn)動(dòng)員從1、4、7、10、13、16選擇，可以有四種組合方式。其次，當(dāng)Y1=2時(shí)，同樣有四種選擇，當(dāng)Y1=3時(shí)，依然存在四種選擇方式。通過這樣的方式，可以準(zhǔn)確計(jì)算出本題的答案。通過分類討論的方式，優(yōu)化概率教學(xué)方式，考慮變量的變化形式，保證計(jì)算的準(zhǔn)確性。在概率問題解答中，注重學(xué)生讀題習(xí)慣培養(yǎng)，根據(jù)具體問題進(jìn)行分類討論，采取正確的分類方式，明確問題解題思路，分類討論思想的應(yīng)用，幫助學(xué)生準(zhǔn)確解題，鍛煉學(xué)生問題思考能力，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維能。

三、利用分類討論思想解答排列組合問題

排列組合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)內(nèi)容，排列組合問題是學(xué)生非常頭疼的題目，特別是排列組合類型的綜合題，教師可以以問題作為基礎(chǔ)，根據(jù)實(shí)際情況讓學(xué)生靈活利用知識(shí)，完成問題的分析和解答。在解題過程中，注重學(xué)生審題，從題目中發(fā)掘有效信息，對其進(jìn)行整合，尋找問題解答方式。在實(shí)際的解題中，讓學(xué)生深入理解題目，發(fā)掘題干中的有效信息，通過歸納和總結(jié)，開展分類討論，最終完成問題解答。例題：在1到9中，任意選出3個(gè)數(shù)，其和是3的倍數(shù)，合適的選擇方式有（ ）種。

在題目解答中，需要對題目進(jìn)行分析，對1到9的數(shù)字按照除以3余數(shù)的不同可以分成3組，想要選出3個(gè)數(shù)字的和是3的倍數(shù)，要么在同一組選3個(gè)，要么是3個(gè)組各選1個(gè)，同組選3個(gè)有3種選擇方式，3組各選1個(gè)的選法有27種，因此，一共有30種選擇方式。

再如，在四面體上，頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)一共有10個(gè)點(diǎn)，從中任意選擇四個(gè)，不同的取法有（ ）種。

在解題時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對題目進(jìn)行分析，從10個(gè)點(diǎn)中任意取4個(gè)點(diǎn)，可以分成四點(diǎn)同面和不同面兩種情況，四點(diǎn)共面可以分成三種情況，第一：在四面體的同一個(gè)面的有10種選擇方式;第二，取棱上3點(diǎn)以及該棱對棱的中點(diǎn)的有6種;第三，由中位線構(gòu)成的平行四邊形有3種。將總的取點(diǎn)總數(shù)減去不符合題干要求的3類，一共有141種取法。面對此種類型題目，乍一看很難找到解題思路，通過對題干進(jìn)行發(fā)掘分析，找出隱藏的信息內(nèi)容，尋找正確的解題方式，利用分類討論思想，正確解答出答案。

四、借助分類討論思想解決不等式問題

不等式問題是學(xué)生解題中的難點(diǎn)，面對不等式問題解題，需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不等式的變形或者位置變換，將未知數(shù)和已知數(shù)分開，便于計(jì)算。對于簡單的數(shù)字和未知數(shù)的不等式，可以通過變形移位的方式解答，對于復(fù)雜的不等式，需要引導(dǎo)學(xué)生考慮數(shù)字或者式子的符號(hào)，對于不等式存在根號(hào)的情況，引導(dǎo)學(xué)生引入分類討論思想，根號(hào)內(nèi)的結(jié)果不能小于零，這些內(nèi)容是不等式學(xué)習(xí)時(shí)具備的知識(shí)。例題：求解不等式[（n-1）×（n-5）]÷[（n+2）×（n-6）]>0。

在解題時(shí)，需要讓學(xué)生知道，含分母的題目，首先要考慮分母不為零的情況，首先可以確定n≠-2、n≠6，接下來是去分母的問題，兩邊同時(shí)乘以分母，這時(shí)需要考慮同時(shí)乘以一個(gè)式子，其結(jié)果是正還是負(fù)，考慮分母（n+2）×（n-6）的正負(fù)問題，開展分類討論分析。通過分母大于零和小于零兩種情況的結(jié)果，通過數(shù)軸展示出來，完成n的取值范圍的計(jì)算。

再如，假設(shè)m∈R，求解關(guān)于x的不等式：m2x2+2mx-3<0。

分析：在此題解答中，需要對m是否為零進(jìn)行討論，通過分類討論找出對應(yīng)不等式的解集。

當(dāng)m=0時(shí)，原不等式為-3<0，對于任意x∈R都成立。

當(dāng)m≠0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化成（mx-1）（mx+3）<0，求解得-3

當(dāng)m>0時(shí)，求解得出，當(dāng)m<0時(shí)，求解的。綜上可知，當(dāng)m=0時(shí)，不等式的解集是R。當(dāng)m>0時(shí)，不等式的解集是{x|}，當(dāng)m<時(shí)，不等式的解集是{x|}。

題目主要考查學(xué)生對字母表示的一元二次不等式的解法和應(yīng)用，根據(jù)字母系數(shù)開展分類討論，夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)，提高學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力，鍛煉學(xué)生解題能力。

五、利用分類討論思想解決集合問題

在高中數(shù)學(xué)題目中，集合題目是重要的內(nèi)容，占據(jù)的比例相對較多，在集合問題解題時(shí)，需要根據(jù)集合之間的關(guān)系，以及集合和集合元素的關(guān)系，對其進(jìn)行合理分類，完成問題的思考和解答。一般來說，集合題目的形式大多是填空和選擇，需要學(xué)生計(jì)算解決問題。在實(shí)際解題教學(xué)中，需要對集合分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行明確，考慮集合的特殊情況，擴(kuò)展學(xué)生解題思路，提高學(xué)生解題效率。例題：設(shè)A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}，且B包含C，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：當(dāng)-2≤x≤a時(shí)，z=x2的范圍和實(shí)數(shù)a的正負(fù)號(hào)有關(guān)，|a|和2的大小有關(guān)，對a進(jìn)行分類討論。因此，A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，所以B={y|-1≤y≤2a+3}。

當(dāng)-2≤a≤0時(shí)，C={z|a2≤z≤4}。因?yàn)锽包含C，所以，4≤2a+3，a≥，與-2≤a≤0矛盾。

當(dāng)0

當(dāng)a>2時(shí)，C={z|0≤z≤a2}，因?yàn)锽包含C，所以a2≤2a+3，-1≤a≤3，所以2

在集合問題解題中，利用分類討論思想解題，根據(jù)特定的集合概念，對其進(jìn)行分類討論，尋找問題解題思路，完成問題的思考和解答。

結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)解題中，引入分類討論思想，提高學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率，構(gòu)建高效數(shù)學(xué)課堂，推動(dòng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)一步發(fā)展。因此，作為高中數(shù)學(xué)教師，需要全面分析分類討論思想，將其和數(shù)學(xué)解題有效結(jié)合，加強(qiáng)學(xué)生解題訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握分類討論應(yīng)用方法，讓學(xué)生能夠做到舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

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