一道平面向量高考試題的研究與拓展

高成龍 姜志惠

摘? 要：通過對2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第12題的解法進行深入探究，將試題中的特殊條件一般化，由點到線、由線到面、由面到體進行層層探究，充分挖掘高考試題的功能，得到了更具有一般性的結(jié)論，并以此來促進教學(xué).

關(guān)鍵詞：平面向量;試題研究;拓展

四、方法總結(jié)

1. 素養(yǎng)展現(xiàn)

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識，是聯(lián)系代數(shù)運算與幾何直觀的一種有力工具. 本文運用數(shù)量積的定義、基底法、坐標法及數(shù)量積的幾何意義對高考試題進行拓展，然后運用數(shù)量積的幾何意義對試題的結(jié)論進行深入探究，從點到線、從線到面，再從面到體逐層展開，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想. 同時，這一過程還可以很好地培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)與直觀想象素養(yǎng). 具體表現(xiàn)為：① 試題是以等邊三角形為背景，求解向量數(shù)量積運算的最值問題，這是一個綜合情境，解決問題的關(guān)鍵是恰當?shù)亟⒅苯亲鴺讼祷蛘哌x擇基底等方法將向量數(shù)量積運算轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值的問題來解決，這一過程可以很好地培養(yǎng)學(xué)生在綜合情境中提出運算問題和確定運算對象的能力，進一步提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng);② 在實際教學(xué)中通過四種解法的比較，讓學(xué)生感受到以動點[P]的坐標為自變量的優(yōu)點，四種解法能讓學(xué)生從不同角度入手去研究向量數(shù)量積問題，培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)問題特點及運算的條件合理選擇運算方法的能力;③ 試題以平面向量為載體，運用代數(shù)方法研究等邊三角形的幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生利用直觀想象探討問題的本質(zhì)及其與數(shù)學(xué)聯(lián)系的能力.

2. 備考建議

平面向量的幾何意義靈活地解釋了向量數(shù)量積的實質(zhì)，利用平面向量數(shù)量積的幾何意義可以將兩個平面向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化成較為簡單的長度計算，可以很好地解決三角形、四面體中向量數(shù)量積的最值問題， 實現(xiàn)了簡化運算的目的，凸顯了代數(shù)運算與幾何直觀的融合，通過形與數(shù)的結(jié)合，能讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學(xué)整體性的理解，這也是《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》對代數(shù)與幾何主題的要求. 教師只有充分理解了核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，才能針對不同水平的學(xué)生實施不同的指導(dǎo)，從而實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的目標. 另外，在解題教學(xué)過程中， 我們不能僅僅停留在問題的表面，要引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度聯(lián)想與探究， 剖析高考試題，認真分析試題的根源，總結(jié)和歸納試題的解法，盡可能地將試題價值最大化，讓學(xué)生能做一題通一類，真正實現(xiàn)觸類旁通，促進教學(xué).

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]儲今雨. 對一道解析幾何高考題的推廣[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017，56（11）：50-52.

[3]朱通. 對一道高考題的一般化探究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（上半月），2015（6）：13-15.

[4]朱寒杰. 基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的一道平面向量典型試題的研究與拓展[J]. 中學(xué)教研，2019（11）：47-49.

[5]王伯根. 利用平面向量數(shù)量積的幾何意義巧解一類問題[J]. 數(shù)學(xué)之友，2018（20）：69-70，72.