乘“素養(yǎng)”東風(fēng) 破“定點(diǎn)”巨浪

韓娟娟 李師師 田生文

摘? 要：通過對(duì)2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科解析幾何解答題多種思路及解法的分析，體會(huì)試題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的多方面考查，總結(jié)解析幾何中定點(diǎn)問題的求解方法，并給出高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一些建議.

關(guān)鍵詞：解析幾何;定點(diǎn)問題;數(shù)學(xué)素養(yǎng);教學(xué)建議

根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程的理念、課程性質(zhì)及學(xué)科特點(diǎn)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》調(diào)整并優(yōu)化了課程結(jié)構(gòu)和內(nèi)容，并提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的六大核心素養(yǎng). 2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題在考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的情況下，很好地印證了對(duì)學(xué)生獨(dú)立思考、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)閱讀和表達(dá)等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查. 筆者對(duì)2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科解析幾何的解答題進(jìn)行分析，以期對(duì)今后的教學(xué)有輔助作用.

一、多思路解析高考試題

思路2：分別利用直線PA，PB與橢圓相交，求得點(diǎn)C及點(diǎn)D的坐標(biāo)，繼而寫出直線CD的方程，得到定點(diǎn). 如證法2.

思路3：分別利用直線PA，PB與橢圓相交，求得點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，歸納推理出定點(diǎn)，并進(jìn)行論證. 如證法5.

由題意，可得下圖.

二、多角度考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)

1. 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

從以上證法中，我們不難看出此題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查比比皆是. 尤其是證法2，當(dāng)明確運(yùn)算的目的是求解兩點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)算思路為聯(lián)立方程組，借助一元二次方程求根時(shí)，雖然運(yùn)算程序較為簡(jiǎn)單，但由于字母及分?jǐn)?shù)的介入，使運(yùn)算結(jié)果的得出比較困難. 在化簡(jiǎn)直線方程時(shí)，形式的繁雜及涉及的未知數(shù)較多，更會(huì)讓很多學(xué)生望而卻步.

證法3中，以點(diǎn)P為橋梁，較容易得到點(diǎn)C和點(diǎn)D坐標(biāo)之間的關(guān)系. 同時(shí)，巧妙地利用兩點(diǎn)均在橢圓上，得到兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式. 整體而言，能夠培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展. 利用平方運(yùn)算而后代入，既可以降低運(yùn)算的難度，又能夠巧妙得出此題所需的關(guān)系式，使解決問題的路徑更加明確和便捷.

證法4中，將橢圓上的點(diǎn)利用參數(shù)進(jìn)行表示，同時(shí)借助向量共線，尋找到相關(guān)三角函數(shù)之間的等式. 思路頗為巧妙，融合了圓錐曲線、三角函數(shù)及向量等多方面的知識(shí). 同時(shí)，使得數(shù)學(xué)運(yùn)算思路不再拘泥于單純的幾何認(rèn)識(shí)，更加關(guān)注代數(shù)的表達(dá).

通過以上多種證法，學(xué)生既可以掌握一定的運(yùn)算規(guī)則及技巧，同時(shí)也可以拓寬運(yùn)算思路，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的品質(zhì).

2. 直觀想象素養(yǎng)

3. 邏輯推理素養(yǎng)

此題中定點(diǎn)問題的實(shí)質(zhì)是當(dāng)動(dòng)直線變化時(shí)，這些直線相交于一點(diǎn)，即這些直線繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng). 章建躍博士認(rèn)為，邏輯推理在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系中有很大的效力. 如證法5，在表示出點(diǎn)C及點(diǎn)D的坐標(biāo)之后，要尋找直線所過的定點(diǎn)，可用特殊的直線情況推理猜想出定點(diǎn)，然后利用三點(diǎn)在一條直線上的特性去驗(yàn)證.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，要注意推理的準(zhǔn)確性和嚴(yán)密性. 在此題第（2）小題的證明過程中，我們要充分考慮到所有情況，如直線CD斜率不存在的情況. 尤其要關(guān)注每個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，以及分式成立的條件等. 良好的邏輯推理能力，能讓學(xué)生在復(fù)雜的情境中抓住問題的本質(zhì)，有條不紊、科學(xué)合理地進(jìn)行論證. 邏輯推理能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特征.

三、多例題探索求解方法

無獨(dú)有偶，2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷的解析幾何解答題也考查了有關(guān)定點(diǎn)的問題.

從以上問題的解答中，我們可以看到解析幾何中的定點(diǎn)問題實(shí)質(zhì)是當(dāng)動(dòng)直線或動(dòng)圓運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，這些直線或圓必將相交于一點(diǎn)，即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng). 總結(jié)這類問題的求解步驟為：（1）選擇變量，即定點(diǎn)隨著這個(gè)變量的變化而不變，如可利用點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等;（2）依據(jù)已知條件，得出定點(diǎn)所滿足的直線或圓的方程;（3）對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，得出定點(diǎn).

對(duì)以下問題的解答，可應(yīng)用上面的方法.

（1）求拋物線C的方程;

（2）若直線OA，OB的斜率之積為[-12，] 求證：直線AB過x軸上一定點(diǎn).

四、多方位啟示數(shù)學(xué)教學(xué)

1. 數(shù)學(xué)教學(xué)要依托教材，以基礎(chǔ)知識(shí)為根基

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展終歸是建立在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解之上，因此知識(shí)的教學(xué)是最基礎(chǔ)也是最重要的教學(xué)活動(dòng). 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)完整的環(huán)節(jié)，是基于教材的. 學(xué)生應(yīng)該掌握必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，了解有關(guān)數(shù)學(xué)概念、公式及基本定理. 只有做到對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)融會(huì)貫通、掌握扎實(shí)，才能更深入地了解和探究數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵和外延. 因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)課堂的重要作用，關(guān)注對(duì)相關(guān)概念的深入挖掘，細(xì)致講解知識(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)，尤其是一些重要公式的推導(dǎo)和定理的證明，使學(xué)生知其然也知其所以然. 同時(shí)，要注重對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解教學(xué)，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生打好根基.

在解析幾何的教學(xué)中，教師要讓學(xué)生掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)，如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的幾何特征，建立求解它們的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì)和它們之間的關(guān)系，從而為深入探究做鋪墊.

2. 數(shù)學(xué)教學(xué)要著力培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)，以基本方法為核心

在教育部印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中，明確提出課程是教育思想、教育目標(biāo)和教育內(nèi)容的主要載體，是學(xué)校教育教學(xué)活動(dòng)的基本依據(jù)，直接影響人才培養(yǎng)質(zhì)量. 因此，對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開課堂. 要想發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就要在課堂教學(xué)中拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，使其感受到數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，幫助學(xué)生更好地建立求解問題的框架.

在平面解析幾何的教學(xué)中，需要關(guān)注兩個(gè)基本問題：（1）根據(jù)條件，求解平面曲線的方程;（2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì). 在求解曲線方程時(shí)，可利用定義法、直接法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等. 在探究直線與曲線的性質(zhì)時(shí)，包括交點(diǎn)個(gè)數(shù)、公共弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)等問題，解決這類問題時(shí)，通法是聯(lián)立直線與曲線的方程組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或者y的一元二次方程進(jìn)行討論. 同樣，需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到相應(yīng)圖象之間的位置關(guān)系，進(jìn)而借助圖象的幾何特征加以分析.

3. 數(shù)學(xué)教學(xué)要基于能力的訓(xùn)練，以解決問題為目標(biāo)

學(xué)生在掌握了較為扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，理解了數(shù)學(xué)思想方法后，能夠綜合應(yīng)用知識(shí)進(jìn)行解題，同時(shí)具備發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決問題的能力，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方面. 數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)龐大的系統(tǒng)，但它并不是孤立存在的，其與物理學(xué)、生物學(xué)、天體學(xué)等聯(lián)系密切. 教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)、了解數(shù)學(xué)，也要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣博性和應(yīng)用性，激發(fā)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛. 教學(xué)中可以適當(dāng)設(shè)置一些問題情境，讓學(xué)生對(duì)獲取的信息進(jìn)行歸納、整理及分類，從而抽象概括出數(shù)學(xué)問題，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要作用.

在解析幾何的教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用坐標(biāo)法求解問題的過程——從實(shí)際問題情境中，抽象出圓錐曲線問題，如行星運(yùn)行軌跡、平拋運(yùn)動(dòng)軌跡等;利用其幾何特征，科學(xué)合理地建立坐標(biāo)系，用代數(shù)語言刻畫幾何問題;結(jié)合直觀想象，利用代數(shù)運(yùn)算，求得結(jié)論;得出相應(yīng)的幾何解釋，解決問題. 讓學(xué)生經(jīng)歷問題解決的過程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.

4. 數(shù)學(xué)教學(xué)要緊跟學(xué)術(shù)的前沿，以課程改革為路徑

數(shù)學(xué)教育要秉持德育為先、能力為重、全面發(fā)展的教育理念. 在教學(xué)中，教師不僅要隨時(shí)更新自己的知識(shí)庫(kù)，也要不斷反思、變革教法和學(xué)法，以學(xué)生的全面發(fā)展為根本，改進(jìn)學(xué)生的培養(yǎng)模式. 推廣利用自主、合作與探究的學(xué)習(xí)方式，以及啟發(fā)、討論、參與的教學(xué)方式，進(jìn)一步增強(qiáng)育人的針對(duì)性與實(shí)效性. 讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的探究過程，學(xué)會(huì)合作，共享思維的匯聚和碰撞，感受知識(shí)的發(fā)生，體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系，從而組建數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

教學(xué)中，教師應(yīng)積極利用“互聯(lián)網(wǎng)+”輔助教學(xué)的模式，更好地獲取、整合并利用教學(xué)資源. 在解析幾何的教學(xué)中，可利用計(jì)算機(jī)軟件向?qū)W生演示曲線的形成過程、相關(guān)參數(shù)對(duì)曲線的影響，以及曲線之間的相互位置關(guān)系等. 同時(shí)，也可以帶領(lǐng)學(xué)生去追溯解析幾何的發(fā)展史及其對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)，撰寫相關(guān)的數(shù)學(xué)小論文.

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