高考?jí)狠S題中的數(shù)學(xué)思想研究與教學(xué)建議

摘? 要：對(duì)2010 — 2019年全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中蘊(yùn)涵的五類核心數(shù)學(xué)思想——化歸思想、函數(shù)與方程思想、構(gòu)造思想、分類思想與數(shù)形結(jié)合思想展開(kāi)研究，并且以全國(guó)卷壓軸題為實(shí)例進(jìn)行了詳細(xì)闡述，最后針對(duì)性地提出了一些教學(xué)建議，供師生復(fù)習(xí)備考時(shí)參考.

關(guān)鍵詞：全國(guó)卷;壓軸題;數(shù)學(xué)思想;教學(xué)建議

一、數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思想一詞已屢見(jiàn)不鮮，那么何為數(shù)學(xué)思想？中學(xué)數(shù)學(xué)涉及哪些數(shù)學(xué)思想？數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法有何區(qū)別？

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是兩個(gè)不同的概念，很多師生對(duì)此比較模糊. 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過(guò)程中提煉升華的觀點(diǎn)，是銘記在人們頭腦中起著積極作用的態(tài)度、精神和文化. 數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中應(yīng)用廣泛，具有普遍的指導(dǎo)意義，是構(gòu)建和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的指導(dǎo)思想. 中學(xué)數(shù)學(xué)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有化歸思想、分類思想、構(gòu)造思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、函數(shù)與方程思想、極限思想、統(tǒng)計(jì)思想、最優(yōu)化思想等. 然而數(shù)學(xué)方法是指在從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程中所采取的各種方式、手段與途徑等，主要包括配方、換元、消元、放縮等. 下面以2010—2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷為例進(jìn)行說(shuō)明.

二、全國(guó)卷壓軸題中的數(shù)學(xué)思想統(tǒng)計(jì)與分析

2010—2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷共42套，有42道壓軸題，其中35道是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合試題，占83.3%，這表明函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題型承擔(dān)了大部分全國(guó)卷壓軸題的角色，因此筆者主要研究全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的數(shù)學(xué)思想. 這部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題所涉及的數(shù)學(xué)思想主要有五種：化歸思想、分類思想、構(gòu)造思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想，具體統(tǒng)計(jì)如下.

從表1、表2中可以得到以下結(jié)論.

（1）全國(guó)卷中35道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題都對(duì)數(shù)學(xué)思想有所考查，具有普遍性，要引起師生復(fù)習(xí)備考的重視.

（2）全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題對(duì)化歸思想、函數(shù)與方程思想、構(gòu)造思想、分類思想與數(shù)形結(jié)合思想要求較高. 具體來(lái)說(shuō)，對(duì)函數(shù)與方程思想和構(gòu)造思想的考查最頻繁，達(dá)到32道題，占91.4%;對(duì)化歸思想的考查也十分頻繁，達(dá)到31道題，占88.6%;對(duì)分類討論思想的考查頻率也較高，達(dá)到28道題，占80.0%;對(duì)數(shù)形結(jié)合思想雖然要求最低，但也查考了22道題，占62.9%.

（3）全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題在考查數(shù)學(xué)思想上具有綜合性，沒(méi)有考查單一的數(shù)學(xué)思想，僅涉及兩種數(shù)學(xué)思想的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題也只有1道題，占2.9%，其他34道壓軸題都綜合考查了三種以上的數(shù)學(xué)思想，占97.1%.

三、全國(guó)卷壓軸題中數(shù)學(xué)思想的具體分析

下面以全國(guó)卷中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題為例，對(duì)上述五種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行具體闡述. 限于篇幅，本文只分析數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用思路，不給出詳細(xì)的解答過(guò)程.

1. 函數(shù)與方程思想

（1）函數(shù)與方程思想的內(nèi)涵.

函數(shù)思想是基于對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象數(shù)量特征并建立函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)的知識(shí)來(lái)觀察、分析和解決問(wèn)題的一種思維方式. 方程思想是基于對(duì)方程概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，根據(jù)問(wèn)題所表達(dá)的含義設(shè)置未知量，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)中各個(gè)量之間的關(guān)聯(lián)，建立變量之間的等量關(guān)系，列出方程或方程組去分析問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決的一種思維方式. 函數(shù)與方程聯(lián)系緊密，可以相互轉(zhuǎn)化，若函數(shù)有解析式，則這個(gè)解析式就可以看作方程;反過(guò)來(lái)，在二元方程中，若兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集變量間存在著某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，則這個(gè)方程就能看成一個(gè)函數(shù). 例如，解方程[fx=0]可以看成求函數(shù)[y=fx]的零點(diǎn);求函數(shù)[y=fx]與函數(shù)[y=gx]的交點(diǎn)可以視為求方程[fx=gx]的解.

（2）函數(shù)與方程思想的運(yùn)用原則.

在運(yùn)用函數(shù)與方程思想時(shí)，需要遵循以下原則.

轉(zhuǎn)化等價(jià)性原則. 函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的前提是要保證轉(zhuǎn)化的等價(jià)性. 例如，在三角轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意三角函數(shù)的有界性，從而避免擴(kuò)大函數(shù)的定義域.

簡(jiǎn)單性原則. 在數(shù)學(xué)解題中，頻繁的復(fù)雜推理和運(yùn)算會(huì)消磨學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，所以要善于對(duì)比和辨析，在可接受的范圍內(nèi)追求解法的簡(jiǎn)約性. 例如，2012年新課程全國(guó)卷文科第21題可以通過(guò)變參分離.將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問(wèn)題，再通過(guò)隱含零點(diǎn)的代換解決. 但這樣解決比較煩瑣，直接運(yùn)用不等式與函數(shù)的最值解決更為簡(jiǎn)潔.

（3）函數(shù)與方程思想的思維程序.

函數(shù)與方程思想的思維程序，如圖1所示.

【評(píng)析】函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，函數(shù)與方程思想也是高中階段運(yùn)用最頻繁的數(shù)學(xué)思想，在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)要有運(yùn)用函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化的意識(shí). 函數(shù)與方程的引入方法很多，特別是函數(shù)的引入方法更為豐富，如整體引入、局部引入、參變分離引入、分離函數(shù)引入、作差引入等. 在解決引入的函數(shù)與方程問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)用到函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)最值或函數(shù)的圖象等.

【評(píng)析】由于函數(shù)的零點(diǎn)就是令函數(shù)值等于0的方程的根，也是函數(shù)圖象與[x]軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以函數(shù)零點(diǎn)與方程的轉(zhuǎn)化是運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的典范.

2. 構(gòu)造思想

（1）構(gòu)造思想的內(nèi)涵.

構(gòu)造思想是指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，先對(duì)問(wèn)題的條件和實(shí)質(zhì)進(jìn)行透徹地分析和深刻地理解，根據(jù)問(wèn)題條件與結(jié)論之間的聯(lián)系或問(wèn)題的特征，借助長(zhǎng)期積累的解題經(jīng)驗(yàn)，發(fā)揮豐富的想象力和創(chuàng)造性思維，構(gòu)造出與問(wèn)題有關(guān)的輔助模型，然后通過(guò)解決輔助模型來(lái)解決原問(wèn)題，即將原問(wèn)題的模式轉(zhuǎn)化為更能反映問(wèn)題本質(zhì)特征的新模式的思想方法. 構(gòu)造思想不僅在高考和競(jìng)賽中有著廣泛的運(yùn)用，而且對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展也有極大的推動(dòng)作用. 數(shù)學(xué)家喬治[?]波利亞在其編制的享譽(yù)世界的解題綱領(lǐng)“怎樣解題表”中對(duì)構(gòu)造思想給予了高度評(píng)價(jià).

（2）構(gòu)造思想的思維程序.

運(yùn)用構(gòu)造思想解題通常包括構(gòu)造恒等式、構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造不等式、構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造平面圖形、構(gòu)造立體圖形、構(gòu)造解析模型等. 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中構(gòu)造思想的核心是構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)有一定的規(guī)律可循，思維程序如圖2所示.

【評(píng)析】當(dāng)函數(shù)求導(dǎo)后，若令導(dǎo)函數(shù)等于0的方程很難求解時(shí)，由于高中階段還沒(méi)有學(xué)習(xí)二階導(dǎo)數(shù)，所以需要以導(dǎo)函數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)造新函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)解決問(wèn)題，這是十分常見(jiàn)的構(gòu)造函數(shù)的方法. 其他的函數(shù)構(gòu)造方法還有整體構(gòu)造、局部構(gòu)造、多重構(gòu)造、和差構(gòu)造、變參分離構(gòu)造、常數(shù)分離構(gòu)造等.

3. 化歸思想

（1）化歸思想的內(nèi)涵.

化歸思想是指將一個(gè)待解決的復(fù)雜疑難問(wèn)題通過(guò)變換與轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為相對(duì)簡(jiǎn)單的、可解決的問(wèn)題的一種方法，又稱為轉(zhuǎn)化與化歸思想. 化歸思想的原則是化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化抽象為直觀、化模糊為明朗、化未知為已知等. 化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種基本的、有效的思維方式與策略，化歸思想在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用廣泛，幾乎無(wú)處不在. 俄國(guó)著名數(shù)學(xué)家C.A.雅潔卡婭對(duì)化歸思想有著高度的評(píng)價(jià)：數(shù)學(xué)解題就是把要解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化與化歸為已經(jīng)解過(guò)的問(wèn)題. 化歸思想的實(shí)質(zhì)是揭示問(wèn)題之間的聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

（2）化歸思想的思維程序.

化歸思想的思維程序如圖3所示.

【評(píng)析】觀察與聯(lián)系是運(yùn)用化歸思想正確解決問(wèn)題的前提. 觀察時(shí)需要思考問(wèn)題的條件、隱含條件和要解決的問(wèn)題是什么，問(wèn)題屬于哪一種類型，問(wèn)題的配圖和算式有什么特點(diǎn)，等等. 聯(lián)系時(shí)需要思考題目的條件和結(jié)論有什么聯(lián)系，此題或同類型的問(wèn)題以前見(jiàn)過(guò)或做過(guò)嗎，當(dāng)時(shí)是如何考慮的，用了哪些知識(shí)和方法，需要注意什么細(xì)節(jié)，等等. 變換與轉(zhuǎn)化是運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題的核心. 常用的變換主要有放縮、待定系數(shù)法、配方法、整體代入法及動(dòng)靜結(jié)合法等. 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化通常有數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化、高維與低維的轉(zhuǎn)化、多元與單元的轉(zhuǎn)化、高次與低次的轉(zhuǎn)化、超越式與代數(shù)式的轉(zhuǎn)化等.

【評(píng)析】函數(shù)與不等式綜合問(wèn)題是全國(guó)卷中出現(xiàn)頻率最高的壓軸題型，這類壓軸題通常可以化歸為函數(shù)問(wèn)題解決，這也是解決此類問(wèn)題的通法.

4. 分類思想

（1）分類思想的內(nèi)涵.

若問(wèn)題的結(jié)論不確定或不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究表述，那么通常需要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將問(wèn)題分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題，當(dāng)每一類小問(wèn)題解決之后，再將其結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)一整合，來(lái)解決原問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想被稱為分類思想. 用分類思想解決問(wèn)題時(shí)必須保證分類科學(xué)，并力求簡(jiǎn)潔，所以分類思想在培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力方面具有重要的價(jià)值. 實(shí)際上，分類不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，還是一種解決問(wèn)題的思維方式，可以廣泛應(yīng)用到其他科學(xué)研究領(lǐng)域，也會(huì)對(duì)我們未來(lái)的生活和工作產(chǎn)生積極的影響.

（2）分類思想的運(yùn)用原則.

在運(yùn)用分類思想時(shí)，需要遵循以下原則. ① 在同一層分類中，其分類標(biāo)準(zhǔn)必須統(tǒng)一，即只能有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn);② 分類的過(guò)程需要按照一定的邏輯順序，遵守“不重不漏”的原則，既不出現(xiàn)重復(fù)討論的情況，也不存在任何遺漏;③ 當(dāng)問(wèn)題需要分多層討論時(shí)，不能出現(xiàn)“躍層討論”的混亂現(xiàn)象，要注意討論的層次性和完整性.

（3）分類思想的思維程序.

分類討論思想的思維程序如圖4所示.

【評(píng)析】分類思想的思維程序研究分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié). 分層整合時(shí)一般是將同層中的每類結(jié)果與其前提條件求交集，而統(tǒng)一整合時(shí)一般求每一層結(jié)果的并集. 不必見(jiàn)參數(shù)就盲目討論，有時(shí)變參分離、消元、變換主元、整體處理等可以避免討論，要善于優(yōu)化討論，使問(wèn)題的解決變得更簡(jiǎn)潔.

【評(píng)析】導(dǎo)函數(shù)等于0的方程的根往往直接影響著函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性是繼續(xù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，所以當(dāng)根的大小關(guān)系不明確時(shí)，往往需要以根的大小為標(biāo)準(zhǔn)分三類進(jìn)行討論，這也是常用的分類方法. 當(dāng)然，常見(jiàn)的分類標(biāo)準(zhǔn)還有參數(shù)正負(fù)討論、判別式法、點(diǎn)動(dòng)型、區(qū)間動(dòng)型等.

5. 數(shù)形結(jié)合思想

（1）數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵.

數(shù)形結(jié)合思想主要指數(shù)與形之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系等結(jié)合起來(lái)，通過(guò)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，將抽象思維與形象思維進(jìn)行結(jié)合，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的. 數(shù)形結(jié)合思想是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要指導(dǎo)思想和基本策略，也是中學(xué)階段最典型與最重要的思想方法之一. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有著高度的評(píng)價(jià)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非.”

（2）數(shù)形結(jié)合思想的類型.

數(shù)形結(jié)合思想主要有以下三種類型.

以形助數(shù). 以形助數(shù)主要指將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，然后用幾何的方法去解決問(wèn)題，具體方法有構(gòu)造距離、斜率模型、構(gòu)造平面圖形、構(gòu)造立體圖形等.

以數(shù)解形. 以數(shù)解形主要指將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后再用代數(shù)的方法去解決問(wèn)題，具體方法有函數(shù)法、解析法、三角法等.

數(shù)形互助. 數(shù)形互助主要指將代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題根據(jù)題目相互轉(zhuǎn)化，最終達(dá)到解決問(wèn)題的目的，具體方法有面積法、體積法等.

【評(píng)析】函數(shù)伴隨著圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題時(shí)，需要根據(jù)題意直接或間接作出題意所表征的圖象，數(shù)形互助，不但體現(xiàn)了問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，提高了解題效率.

四、教學(xué)建議

數(shù)學(xué)思想在全國(guó)卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中的運(yùn)用幾乎無(wú)處不在，需要引起師生的高度注意，當(dāng)然，同一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題的解決視角不同，其運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有所差異，這就需要師生的辨析與優(yōu)化. 那么，在日常教學(xué)中應(yīng)該如何滲透數(shù)學(xué)思想呢？

1. 充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想

教材在探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，通過(guò)對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類處理滲透了分類思想，通過(guò)借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)研究對(duì)數(shù)函數(shù)滲透了化歸思想，通過(guò)用函數(shù)圖象來(lái)概括性質(zhì)滲透了數(shù)形結(jié)合思想等，這些教材核心內(nèi)容都是滲透數(shù)學(xué)思想的優(yōu)質(zhì)素材.

2. 重視數(shù)學(xué)概念課與章末復(fù)習(xí)課教學(xué)

因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的生成與發(fā)展往往滲透著數(shù)學(xué)思想，章末復(fù)習(xí)課不僅要組織學(xué)生完成習(xí)題，更要突出章末復(fù)習(xí)課的兩個(gè)核心功能：構(gòu)建本章節(jié)知識(shí)的思維結(jié)構(gòu)和滲透數(shù)學(xué)思想方法.

3. 有目的、有意識(shí)地突出數(shù)學(xué)思想

加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想教學(xué)，展示數(shù)學(xué)思想在指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題方面的魅力，并通過(guò)講練結(jié)合、合作探究與歸納領(lǐng)悟等多種方式促進(jìn)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的能力.

4. 有計(jì)劃、有步驟循序漸進(jìn)地滲透數(shù)學(xué)思想

由于數(shù)學(xué)思想教學(xué)具有隱晦性、活動(dòng)性、主觀性和差異性，所以數(shù)學(xué)思想的教學(xué)不是一蹴而就、一氣呵成的，它需要教師長(zhǎng)期的滲透，學(xué)生慢慢的感悟和運(yùn)用，這是一個(gè)靜待花開(kāi)的過(guò)程.

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