由一道高考試題的“失分”解法引起的教學(xué)思考

王波鳳

摘? 要：對2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題的幾種解法進(jìn)行比較，分析學(xué)生在考場上的“失分”原因，并給出應(yīng)對策略及教學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：高考試題;失分解法;應(yīng)對策略;教學(xué)思考

2020年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第18題屬于中檔題，主要考查的知識點是橢圓定義、向量數(shù)量積運算、點到直線的距離公式和直線與橢圓的位置關(guān)系，運用的思想方法是數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和坐標(biāo)法. 該題滿分16分，但平均分只有10分左右，不少學(xué)生由于不能理解問題的本質(zhì)，在第（2）小題中選擇了煩瑣或錯誤的途徑導(dǎo)致“失分”. 針對此類狀況，教師應(yīng)該深入反思平時的教學(xué)過程，及時作出調(diào)整與改進(jìn).

一、試題再現(xiàn)及常見解法

二、解法比較及“失分”原因

1. 解法比較

解法1透過直線與橢圓這一載體，抓住向量數(shù)量積運算的本質(zhì)，關(guān)注到[OP]的縱坐標(biāo)為0，直接設(shè)出點[P]和點[Q]的坐標(biāo)，過程簡潔明了. 經(jīng)抽樣調(diào)查，考場上用解法1的學(xué)生占了四分之一左右.

解法2比解法1繞了一步，先設(shè)出點[P]的坐標(biāo)，再用點[P]的坐標(biāo)表示出直線[AP]的方程，然后與準(zhǔn)線方程聯(lián)立算出點[Q]的坐標(biāo)，從而得出所求數(shù)量積的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式（與解法1的形式一樣）. 實際上，由于[OP]的縱坐標(biāo)為0，[OP · QP]的值與點[Q]的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以這種解法聯(lián)立直線方程求出點[Q]的縱坐標(biāo)實則多余.

解法3把直線[AP]的斜率[k]作為參數(shù)，表示出直線[AP]的方程，再用[k]表示出點[P]與點[Q]的坐標(biāo)，最后得出向量數(shù)量積的函數(shù)表達(dá)式. 這種解法也沒有關(guān)注到[OP]的縱坐標(biāo)為0，目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式在形式上也比解法1和解法2的目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜得多，既浪費了時間又容易算錯. 從運算的角度來看，沒有解法1和解法2簡便.

解法4對平面向量數(shù)量積的概念有深刻的理解，利用向量數(shù)量積的幾何意義，把向量數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化為線段長的乘積的運算，最后利用基本不等式求解最值，解法巧妙，運算簡單. 雖然思維要求高，但運算量小，考場上用解法4的學(xué)生寥寥無幾. 正所謂“想得多而算得少，想得少而算得多”，那么解法4是如何想到的呢？其實只要回到數(shù)量積定義[OP · QP=OPQPcosOP， QP]就能發(fā)現(xiàn)[QPcosOP， QP=-PR]，即兩個向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模與其在另一個向量方向上的投影的乘積.

2.“失分”原因

學(xué)生答題時為什么會“失分”？其原因在哪里？

第一個原因是審題時不加思考就動筆做，運算能力欠缺. 用解法2或解法3的學(xué)生人數(shù)很多，即使運算過程全對，在考場上多用時間就是“隱性失分”. 而且用解法3的學(xué)生在用斜率[k]表示數(shù)量積的函數(shù)表達(dá)式時出錯的很多，即使表達(dá)式正確，換元配方后求最值結(jié)果正確的也不多，還有部分學(xué)生用導(dǎo)數(shù)方法求最值（解法2和解法3相關(guān)分式的分母中有字母，還需要進(jìn)一步分類討論），做得麻煩又表述不清，相關(guān)步驟一分未得，真是令人痛心！

第二個原因是對于數(shù)學(xué)概念理解不夠深刻，沒有掌握問題的本質(zhì). 例如，本文高考題第（2）小題，點[A]是定點，影響[OP · QP]的關(guān)鍵要素就是動點[P]的位置，而且只與橫坐標(biāo)有關(guān)，抓住這一點就能夠?qū)ふ业胶侠淼慕忸}途徑. 從本文高考題的多種解法中可以看出，選擇解法2和解法3的學(xué)生被問題中的“直線[AP]與橢圓[E]的右準(zhǔn)線相交于點[Q]”蒙蔽了雙眼，看到“直線”兩字就馬上設(shè)出直線方程聯(lián)立方程組求解. 事實上，無論以哪種圖形為背景，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算中有時往往只涉及某個坐標(biāo). 解法4就是在深刻理解向量數(shù)量積的概念和幾何意義的基礎(chǔ)上抓住問題本質(zhì)的好方法.

三、應(yīng)對策略

1. 教概念本質(zhì)，重理解能力

為什么多數(shù)學(xué)生想不到解法4？這與教師教學(xué)中“輕概念，重解題”有關(guān). 波利亞在《怎樣解題》一書中指出，你把題目中所有關(guān)鍵的概念都考慮到了嗎？你是怎樣應(yīng)用這些概念的？你用到它的意義、它的定義了嗎？回到定義上去是一項重要的思維活動，教師在概念課的教學(xué)中要杜絕“一滑而過”的現(xiàn)象，千萬不要重記憶、輕理解，不僅要讓學(xué)生理解概念產(chǎn)生的必要性，還要讓學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，深刻理解概念，靈活運用概念解題.

2. 重視解題方法的選擇和歸納

教學(xué)中，有時我們覺得學(xué)生就某一知識和方法應(yīng)該掌握了，也就不再深入分析了，解題方法沒有總結(jié)到位，學(xué)生雖然表面會了，但是一考就錯. 所以教師在平時的課堂教學(xué)中一定要重視解題方法的總結(jié)和歸納，指導(dǎo)學(xué)生解題前一定要有預(yù)判，要有選擇和比較，這樣就可減少不必要的運算，從而提高解題速度，避免“失分”.

3. 注重知識間的聯(lián)系，創(chuàng)造性地改編練習(xí)題

教材是試題之源，教學(xué)中要用好教材，重視教材中知識的聯(lián)系. 例如，本文高考題考查的是解析幾何和向量的綜合知識，教學(xué)中一味孤立地教某個知識和某個方法就僵化了學(xué)生的思維. 雖然教材是按章節(jié)安排內(nèi)容的，每章內(nèi)容后的習(xí)題也是與相關(guān)知識對應(yīng)的，但是教師在平時的教學(xué)中要創(chuàng)造性地改編練習(xí)題，綜合各種背景知識靈活運用.

例如，以下兩道題就可以作為本文高考題的變式.

學(xué)生在平時多練練類似的題目，到考場上就減少“失分”了.

四、幾點思考

在平時的教學(xué)中，以下幾點“功夫”教師必須做到位.

1. 培養(yǎng)學(xué)生的審題能力

不少學(xué)生由于平時作業(yè)多、時間緊，往往省去了認(rèn)真審題這一重要環(huán)節(jié)，養(yǎng)成了拿到題目就做的習(xí)慣，結(jié)果一做就錯. 想好了才做，是選擇正確方法的前提. 平時教學(xué)中要指導(dǎo)學(xué)生如何審題，布置作業(yè)時要精而少，這樣學(xué)生才有時間養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣.

2. 訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范表達(dá)的能力

培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確、簡潔、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)和書寫，卷面字跡清楚，邏輯推理嚴(yán)密. 例如，本文中高考題的解法，求點[A]的坐標(biāo)前要說明點[A]的位置（第一象限），寫直線方程時要交代斜率是否存在，等等. 只有規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇磉_(dá)，才能避免“會而不對”“對而不全”導(dǎo)致的失分.

3. 加強(qiáng)學(xué)生的運算能力

為何選擇同樣方法的學(xué)生運算時所用時間和運算結(jié)果不一樣？還是運算能力有差異. 要提升運算素養(yǎng)，平時的作業(yè)練習(xí)盡量要求學(xué)生不用計算器，對遇到的煩瑣的運算要細(xì)心、耐心和有信心. 要讓學(xué)生學(xué)會感受和比較不同的解法，在教學(xué)過程中教師要適時地介紹一些常規(guī)和簡化的運算方法，培養(yǎng)學(xué)生的運算技能，讓學(xué)生珍惜每一次運算機(jī)會.

總之，教師應(yīng)該做到“在埋頭拉車的同時還要抬頭看路”，多反思平時的教學(xué)，多了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，把以上幾點“功夫”做扎實了，學(xué)生在考場上就不會“無謂失分”了.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐永忠. 重視基礎(chǔ)查素質(zhì)，關(guān)注創(chuàng)新考能力：2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷評析及啟示[J]. 中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2017（10）：49-54.