2020年中考“圖形的性質(zhì)”專題解題分析

王凱歌

摘 ?要：圖形的性質(zhì)是“圖形與幾何”課程內(nèi)容的重要組成部分，是后續(xù)進(jìn)一步研究圖形的變化和圖形與坐標(biāo)的基礎(chǔ). 綜觀2020年全國(guó)各地區(qū)中考“圖形的性質(zhì)”部分的試題，注重對(duì)基本圖形性質(zhì)掌握、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)習(xí)得、基本思想方法運(yùn)用的考查，體現(xiàn)出基礎(chǔ)性、實(shí)踐性和聯(lián)系性，較好地體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的基本理念.

關(guān)鍵詞：基本圖形;基本性質(zhì);試題評(píng)析

圖形的性質(zhì)主要包括點(diǎn)、線、面、角、相交線與平行線、三角形、四邊形、圓、尺規(guī)作圖，以及相關(guān)定義、命題、定理等內(nèi)容，是后續(xù)進(jìn)一步研究圖形的變化、圖形與坐標(biāo)的基礎(chǔ)，也是發(fā)展邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的載體. 2020年全國(guó)各地區(qū)中考“圖形的性質(zhì)”部分的試題較好地體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的基本理念，不僅注重對(duì)基本圖形的基本性質(zhì)的考查，而且注重對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)習(xí)得和基本思想方法運(yùn)用的考查，突出考查了學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.

一、試題分析

1. 立足“四基”，注重對(duì)基本圖形性質(zhì)掌握的考查

例1 （江西卷）如圖1，[∠1=∠2=65°，∠3=35°，] 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ? ?）.

（A）[AB∥CD] （B）[∠B=30°]

（C）[∠C+∠2=∠EFC] （D）[CG>FG]

解：因?yàn)閇∠1=∠2]，所以[AB∥CD.] 故選項(xiàng)A正確.

因?yàn)閇∠3=35°，] 所以[∠C=∠2-∠3=30°.] 所以[∠B=][∠C=30°.] 故選項(xiàng)B正確.

因?yàn)閇∠EFC]是[△CGF]的外角，所以[∠EFC=∠C+][∠CGF.] 故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

因?yàn)閇∠3>∠C，] 所以[CG>FG.] 故選項(xiàng)D正確.

故此題選擇C.

【評(píng)析】此題構(gòu)圖簡(jiǎn)潔，以學(xué)生熟悉的兩平行線間的夾角為背景，考查兩條直線平行的判定與性質(zhì)、相交線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的推論，以及三角形中邊角之間的關(guān)系. 既有定性分析又有定量分析，考查了學(xué)生對(duì)圖形的構(gòu)成要素和相關(guān)要素之間關(guān)系的理解與運(yùn)用水平.

例2 （湖北·武漢卷）在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過(guò)程中，有下面的問(wèn)題：如圖2，[AC]是[?ABCD]的對(duì)角線，點(diǎn)[E]在[AC]上，[AD=AE=BE，] [∠D=102°，] 則[∠BAC]的大小是________.

解：因?yàn)樗倪呅蝃ABCD]是平行四邊形，

所以[∠][∠ABC=∠D=102°，AD=BC.]

因?yàn)閇AD=AE=BE，]

所以[BC=AE=BE.]

所以[∠EAB=∠EBA，∠BEC=∠ECB.]

因?yàn)閇∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，]

所以[∠ACB=2∠CAB.]

所以[∠CAB+∠ACB=3∠CAB=180°-∠ABC.]

所以[∠CAB=26°.]

故此題答案為[26°].

【評(píng)析】此題以“尺規(guī)三等分角”的問(wèn)題為背景，考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論. 在求解過(guò)程中，首先要將等邊的條件轉(zhuǎn)化為等角，其次是找到它們之間的聯(lián)系，最后利用已知條件求解.

例3 （四川·樂(lè)山卷）如圖3，AB是半圓O的直徑，AC是一條弦，D是[AC]上一點(diǎn)，[DE⊥AB]于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接BD交AC于點(diǎn)G，且[AF=FG.]

（1）求證：點(diǎn)[D]平分[AC];

（2）如圖4，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)H，使[AH=AO]，連接DH. 若點(diǎn)E是線段AO的中點(diǎn)，求證：DH是⊙[O]的切線.

證明：（1）如圖5，連接AD，CD.

因?yàn)锳B是半圓O的直徑，

所以[∠ADB=90°.]

因?yàn)閇DE⊥AB，]

所以[∠ADE=∠ABD.]

又因?yàn)閇AF=FG，]

所以點(diǎn)[F]是[Rt△AGD]的斜邊[AG]的中點(diǎn).

所以[DF=AF.]

所以[∠DAF=∠ADF=∠ABD.]

因?yàn)閇∠DCA=∠ABD，]

所以[∠DAF=∠DCA.]

所以[AD=CD.]

所以[AD=DC，]

即點(diǎn)[D]平分[AC.]

（2）如圖6，連接[OD]，[AD].

因?yàn)辄c(diǎn)[E]是線段[OA]的中點(diǎn)，

所以[AE=EO.]

因?yàn)閇AH=AO=BO，]

所以[EH=EB.]

因?yàn)閇DE⊥AB，]

所以[DA=DO，DH=DB.]

所以[∠DAO=∠DOA，∠H=∠DBH.]

所以[∠H+∠DOA=∠DBH+∠DAO.]

因?yàn)閇∠DBH+∠DAO=90°，]

所以[∠H+∠DOA=90°.]

所以[∠HDO=90°.]

所以[DH]是⊙[O]的切線.

【評(píng)析】此題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力與幾何直觀能力.

第（1）小題中，要證明弧相等，只需要證明弦相等. 因此，只需要證明[△DAC]是等腰三角形即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明[∠DAC=∠DCA]. 首先，根據(jù)“見(jiàn)直徑，得直角”的常見(jiàn)輔助線作法，由“同角的余角相等”證明[∠ADE=∠ABD];然后，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得[∠DAF=∠ADF]，得[∠ABD=∠DAC];最后，由圓周角定理得[∠DCA=∠ABD]，得[∠DAF=∠DCA]，由此得出結(jié)論.

第（2）小題，由已知得到[DE]分別是線段[OA]，[HB]的垂直平分線，可得[DA=DO]，[DH=DB]，從而[∠DAO=][∠DOA]，[∠H=∠DBH]，再由[∠DBH+∠DAO=90°]即可證明[∠HDO=][90°]，由此得出結(jié)論.

此題解法的核心是從角出發(fā)，通過(guò)添加半徑或弦，構(gòu)造新情境下同弧所對(duì)的圓周角、直角三角形中的互余角、等腰三角形等，溝通了各角之間的數(shù)量關(guān)系.

2. 基于實(shí)踐，注重對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)習(xí)得的考查

例4 （廣東·深圳卷）如圖7，將直尺與[30°]角的三角尺疊放在一起，若[∠1=40°，] 則[∠2]的大小是（ ?）.

（A）[40°] （B）[60°]

（C）[70°] （D）[80°]

解：如圖8，根據(jù)直角三角形中的兩銳角互余，得[∠3=60°.] 再由[∠1=40°，] 得[∠1+∠3=100°.] 根據(jù)平行線的性質(zhì)，由[AB∥CD，] 得[∠1+∠2+∠3=180°.] 得[∠2=80°.] 故此題選擇D.

【評(píng)析】此題以學(xué)生熟悉的直尺和三角尺為實(shí)際背景，借助這兩種學(xué)具中的特殊角或平行線間的特殊關(guān)系，既考查了相交線、平行線的性質(zhì)、角的計(jì)算，又考查了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐操作的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活的理念. 其中，三角尺、直尺的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是此題對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查重點(diǎn).

例5 （山東·煙臺(tái)卷）量角器測(cè)角度時(shí)擺放的位置如圖9所示，在[△AOB]中，射線[OC]交邊[AB]于點(diǎn)[D，] 則[∠ADC]的度數(shù)為（ ?）.

（A）[60°] （B）[70°]

（C）[80°] （D）[85°]

解：因?yàn)閇OA=OB]，[∠AOB=140°，]

所以[∠A=∠B=12180°-140°=20°.]

因?yàn)閇∠AOC=60°，]

所以[∠ADC=∠A+∠AOC=20°+60°=80°.]

故此題選擇C.

【評(píng)析】此題給學(xué)生創(chuàng)造了借助量角器研究問(wèn)題的情境，借助量角器中的同心半圓或角的大小，不僅考查了圓的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，也考查了學(xué)生的觀察能力、推理能力、動(dòng)手實(shí)踐操作的能力和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的習(xí)得.

例6 （寧夏卷）如圖10，在[△ABC]中，[∠C=84°，]分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于[12AB]的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于點(diǎn)[M，N，] 作直線[MN]交[AC]于點(diǎn)[D];以點(diǎn)[B]為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交[BA]，[BC]于點(diǎn)[E，F(xiàn)，] 再分別以點(diǎn)[E，F(xiàn)]為圓心，大于[12EF]的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)[P]，作射線[BP]，此時(shí)射線[BP]恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)[D]，則[∠A]的度數(shù)為 ________.

解：由圖10的作圖過(guò)程可得，[MN]是線段[AB]的垂直平分線，[BD]是[∠ABC]的平分線.

所以[AD=BD]，[∠ABD=][∠CBD=12∠ABC.]

所以[∠A=∠ABD=∠CBD.]

因?yàn)閇∠A+∠ABC+∠C=180°，] 且[∠C=84°，]

所以[∠A+2∠ABD=180°-∠C.]

所以[3∠A=180°-84°.]

所以[∠A=32°.]

【評(píng)析】此題主要考查了尺規(guī)作圖中的基本技能和角平分線、垂直平分線的性質(zhì). 此題的題干以敘述作圖步驟的形式呈現(xiàn)，要求學(xué)生首先要知道實(shí)施這些步驟的目的，不僅考查了基本作圖中對(duì)作線段的垂直平分線和一個(gè)角的平分線的作法的要求，還考查了基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的習(xí)得與達(dá)成情況. 另外，此題還在完成基本作圖的基礎(chǔ)上，考查了角平分線、垂直平分線的性質(zhì)，多側(cè)面和多角度地實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生作圖等操作技能及對(duì)概念、性質(zhì)的理解與應(yīng)用的考查.

3. 加強(qiáng)聯(lián)系，注重對(duì)基本思想方法運(yùn)用的考查

例7 （黑龍江·哈爾濱卷）如圖11，在菱形[ABCD]中，對(duì)角線[AC]，[BD]相交于點(diǎn)[O]，點(diǎn)[E]在線段[BO]上，連接[AE]，若[CD=2BE，∠DAE=∠DEA，EO=][1，] 則線段[AE]的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

解：設(shè)[BE=x，] 則[CD=2x.]

因?yàn)樗倪呅蝃ABCD]為菱形，

所以[AB=AD=CD=2x，OB=OD，AC⊥BD.]

因?yàn)閇∠DAE=∠DEA，]

所以[DE=DA=2x.]

所以[BD=3x.]

所以[OB=OD=32x.]

因?yàn)閇OE+BE=BO，]

所以[1+x=32x.]

解得[x=2，] 即[AB=4，OB=3.]

在[Rt△AOB]中，[OA=42-32=7.]

在[Rt△AOE]中，[AE=12+（7）2=22.]

故此題的答案為[22.]

【評(píng)析】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等. 因?yàn)樗倪呅蝃ABCD]是菱形，其對(duì)角線互相垂直，所以可以將求[AE]的長(zhǎng)的問(wèn)題歸到[Rt△AEO]中進(jìn)行研究，應(yīng)用勾股定理求解. 解題時(shí)可以將已知條件中線段長(zhǎng)度之間的相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系用代數(shù)式分別表示出來(lái)，根據(jù)和或差的關(guān)系建立等量關(guān)系，應(yīng)用方程思想求解，使解答的過(guò)程更加簡(jiǎn)潔明了.

例8 （浙江·寧波卷）如圖12，[⊙O]的半徑[OA=2]，[B]是[⊙O]上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)[B]作⊙[O]的切線[BC]，[BC=OA]，連接[OC]，[AC]. 當(dāng)[△OAC]是直角三角形時(shí)，其斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_______.

解：如圖13，連接[OB.]

因?yàn)閇BC]是[⊙O]的切線，且[BC=OA=OB，]

所以[△OBC]為等腰直角三角形，

由勾股定理，得[OC=22.]

因?yàn)閇OC>OA，]

根據(jù)題意，當(dāng)[△OAC]為直角三角形時(shí)，有[∠AOC=][90°]或[∠OAC=90°.]

如圖14，當(dāng)[∠AOC=90°]時(shí)，

在[Rt△ACO中，] [AC=][OA2+OC2=23;]

如圖15，當(dāng)[∠OAC=90°]時(shí)，四邊形[OACB]為正方形，

在[Rt△ACO中，] [OC=OA2+AC2=22].

故此題的答案為[22]或[23].

【評(píng)析】此題考查了圓的切線的性質(zhì)、勾股定理和三角形的性質(zhì)等知識(shí). 根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理，可以計(jì)算出[OC]的長(zhǎng)度. 根據(jù)題意知[△OAC]是直角三角形，但哪個(gè)角是直角需要進(jìn)行進(jìn)一步判斷. 因?yàn)閇OC>OA]，根據(jù)三角形的性質(zhì)，可知[∠OCA]不可能是直角，此時(shí)需要對(duì)另外兩個(gè)角是直角的情況進(jìn)行分類討論. 在解決問(wèn)題的過(guò)程中，要全面考慮圖形在變化過(guò)程中可能出現(xiàn)的情況，關(guān)注分類討論思想的運(yùn)用.

例9 （天津卷）在[⊙O]中，弦[CD]與直徑[AB]相交于點(diǎn)[P]，[∠ABC=63°].

（1）如圖16，若[∠APC=100°]，求[∠BAD]和[∠CDB]的大小;

（2）如圖17，若[CD⊥AB]，過(guò)點(diǎn)[D]作[⊙O]的切線，與[AB]的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)[E]，求[∠E]的大小.

解：（1）因?yàn)閇∠APC]是[△PBC]的一個(gè)外角，[∠ABC=63°]，[∠APC=100°，]

所以[∠C=∠APC-∠ABC=37°.]

因?yàn)樵凇裑O]中，[∠BAD=∠C，]

所以[∠BAD=37°.]

因?yàn)閇AB]為⊙[O]的直徑，

所以[∠ADB=90°.]

因?yàn)樵赱⊙O]中，[∠ADC=∠ABC=63°，]

所以[∠CDB=∠ADB-∠ADC=27°.]

（2）如圖18，連接[OD]. [E][A][B][C][D][P][O][圖18]

因?yàn)閇CD⊥AB]，

所以[∠CPB=90°].

所以[∠PCB=90°-∠PBC=27°].

因?yàn)樵赱⊙O]中，[∠BOD=2∠BCD]，

所以[∠BOD=54°].

因?yàn)閇DE]是[⊙O]的切線，

所以[OD⊥DE].

所以[∠E=90°-∠EOD].

所以[∠E=36°.]

【評(píng)析】此題以圓為背景，考查了圓的基本性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理及其推論、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)等，有效溝通了圓中的圓周角、弧、圓心角、切線之間的關(guān)系.

第（1）小題中，利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”，將求[∠BAD]大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[∠C]大小的問(wèn)題，而[∠APC]是[△BCP]的外角，根據(jù)已知條件和三角形內(nèi)角和定理的推論，即可求出[∠C]的大小. 因?yàn)閇AB]是[⊙O]的直徑，所以[∠ADB=90°.] 要求[∠CDB]的大小，只需求出[∠ADC]的大小即可，而[∠ADC]與[∠ABC]相等，所以[∠CDB]的大小就不難得到了. 此題還可以連接[AC]，將求[∠CDB]的大小轉(zhuǎn)化為求[∠CAB]的大小進(jìn)行求解.

第（2）小題中，在利用切線的基本性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，將求[∠E]大小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[∠EOD]的大小的問(wèn)題，利用“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”，轉(zhuǎn)化為求[∠BCD]的大小的問(wèn)題.

此題的難度不大，解法多樣，不僅考查了圓、三角形等相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，而且充分體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想在解決幾何問(wèn)題中的重要作用.

二、 解法分析

1. 以特殊圖形為載體，考查邏輯推理能力

例10 （山東·菏澤卷）如圖19，矩形[ABCD]中，[AB=5，] [AD=12，] 點(diǎn)[P]在對(duì)角線[BD]上，且[BP=][BA]，連接[AP]并延長(zhǎng)，交[DC]的延長(zhǎng)線于點(diǎn)[Q]，

連接[BQ]，則[BQ]的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

解：在矩形[ABCD]中，有[CD=AB=5]，[AD=12]，[∠BAD=∠BCD=90°，]

所以[BD=AB2+AD2=13.]

因?yàn)閇BP=BA，]

所以[PD=BD-BP=8，∠BAP=∠BPA=∠DPQ.]

因?yàn)閇AB∥CD，]

所以[∠BAP=∠DQP.]

所以[∠DPQ=∠DQP.]

所以[DQ=DP=8.]

所以[CQ=DQ-CD=3.]

在[Rt△BCQ]中，根據(jù)勾股定理，得

[BQ=][BC2+CQ2=122+32=317.]

【評(píng)析】此題以矩形為載體，考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等. 考慮到矩形的特殊性，要求出線段[BQ]的長(zhǎng)，可以將其歸到[Rt△BQC]中利用勾股定理求解，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為求[CQ]長(zhǎng)的問(wèn)題. 根據(jù)[BP=BA]，可知[△ABP]為等腰三角形，由“等邊對(duì)等角”，結(jié)合平行線的性質(zhì)，可得[△DPQ]為等腰三角形，進(jìn)而得出[DQ=DP]，此時(shí)只需求出[DP]的長(zhǎng)即可. 根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知的邊長(zhǎng)，利用勾股定理不難求出其對(duì)角線BD的長(zhǎng)，完成此題的解答. 此題構(gòu)圖簡(jiǎn)潔，要求學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中有清晰的思路，突出考查了學(xué)生的邏輯思維能力.

2. 以探究發(fā)現(xiàn)為基礎(chǔ)，考查綜合運(yùn)用能力

例11 （貴州·黔東南州卷）如圖20，[△ABC]和[△DCE]都是等邊三角形.

探究發(fā)現(xiàn)：

（1）[△BCD]與[△ACE]是否全等？若全等，加以證明;若不全等，試說(shuō)明理由.

拓展運(yùn)用：

（2）若[B]，[C]，[E]三點(diǎn)不在一條直線上，[∠ADC=][30°]，[AD=3]，[CD=2]，求BD的長(zhǎng).

（3）若B，C，E三點(diǎn)在一條直線上（如圖21），且[△ABC]和[△DCE]的邊長(zhǎng)分別為[1]和[2]，求[△ACD]的面積及AD的長(zhǎng).

解：（1）[△BCD≌△ACE.] 證明如下.

因?yàn)閇△ABC]和[△DCE]都是等邊三角形，

所以[AC=BC，DC=EC，] [∠ACB=∠DCE=60°.]

所以[∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，]

即[∠BCD=∠ACE.]

所以[△BCD≌△ACE.]

（2）由（1），得[△BCD≌△ACE.]

所以[BD=AE.]

因?yàn)閇△DCE]是等邊三角形.

所以[∠CDE=60°，DE=CD=2.]

因?yàn)閇∠ADC=30°，]

所以[∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°.]

在[Rt△ADE]中，[AD=3，DE=2，]

所以[AE=AD2+DE2=13.]

所以[BD=AE=13.]

（3）如圖22，過(guò)點(diǎn)[A]作[AF⊥CD]于點(diǎn)[F.]

因?yàn)閇B，C，E]三點(diǎn)在一條直線上，

所以[∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°.]

因?yàn)閇△ABC]和[△DCE]都是等邊三角形，

所以[∠BCA=∠DCE=60°.]

所以[∠ACD=60°.]

所以[∠CAF=30°.]

所以[CF=12AC=12.]

在[Rt△ACF]中，[AF=AC2-CF2=32.]

所以[S△ACD=12CD?AF=32.]

又因?yàn)閇FD=CD-CF=32，]

所以在[Rt△AFD]中，[AD=AF2+DF2=3.]

【評(píng)析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等，同時(shí)考查了學(xué)生構(gòu)造基本圖形解決問(wèn)題的能力.

第（1）小題中，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及角的關(guān)系，可以判斷出兩個(gè)三角形全等. 該小題的起點(diǎn)較低，為后續(xù)運(yùn)用結(jié)論解決問(wèn)題做了鋪墊.

第（2）小題中，首先利用第（1）小題的結(jié)論，將求[BD]長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求[AE]長(zhǎng)的問(wèn)題，再利用已知條件和勾股定理求解.

第（3）小題中，借助前兩道小題的研究經(jīng)驗(yàn)，以求[△ACD]面積的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造含有特殊角的直角三角形進(jìn)行求解，深化學(xué)生對(duì)含有特殊角的直角三角形中邊和角之間關(guān)系的理解和認(rèn)識(shí).

此題沿著探究發(fā)現(xiàn)、拓展運(yùn)用的路徑，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入思考，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

3. 以動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為背景，考查創(chuàng)新思維能力

例12 （四川·涼山州卷）如圖23，點(diǎn)[P，Q]分別是等邊三角形[ABC]邊[AB，BC]上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)[P，][Q]以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)[A，B]出發(fā).

（1）如圖23，連接[AQ，CP.] 求證：[△ABQ≌△CAP.]

（2）如圖23，當(dāng)點(diǎn)[P，Q]分別在[AB，BC]邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，[AQ，CP]相交于點(diǎn)[M，∠QMC]的大小是否變化？若變化，試說(shuō)明理由;若不變，求出它的度數(shù).

（3）如圖24，當(dāng)點(diǎn)[P，Q]分別在[AB，BC]的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線[AQ，CP]相交于點(diǎn)[M，∠QMC]的大小是否變化？若變化，試說(shuō)明理由;若不變，求出它的度數(shù).

解：（1）因?yàn)閇△ABC]是等邊三角形，

所以[∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA.]

因?yàn)辄c(diǎn)[P，Q]的運(yùn)動(dòng)速度相同，

所以[AP=BQ.]

所以[△ABQ≌△CAP.]

（2）點(diǎn)[P，Q]在[AB，BC]邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，[∠QMC]的大小不變，[∠QMC=60°.] 理由如下.

因?yàn)閇△ABQ≌△CAP，]

所以[∠BAQ=∠ACP.]

因?yàn)閇∠QMC]是[△ACM]的外角，

所以[∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC.]

因?yàn)閇∠BAC=60°，]

所以[∠QMC=60°.]

（3）當(dāng)點(diǎn)[P，Q]分別在[AB，BC]的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，[∠QMC]的大小不變，[∠QMC=120°]. 理由如下.

同（2）的證明，可得[△ABQ≌△CAP.]

所以[∠BAQ=∠ACP.]

因?yàn)閇∠QMC]是[△APM]的外角，

所以[∠QMC=∠BAQ+∠APM.]

所以[∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=120°.]

【評(píng)析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等. 第（1）小題利用等邊三角形的性質(zhì)及[AP=BQ，] 不難證明[△ABQ≌][△CAP，] 為后續(xù)的研究起到了方向標(biāo)作用. 第（2）小題中，利用三角形外角的性質(zhì)及第（1）小題的結(jié)論，可探究出[∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=][60°.] 第（3）小題在前兩道小題研究經(jīng)驗(yàn)和思路方法的基礎(chǔ)上，利用全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)，不難探究出[∠QMC=120°]. 此題的整體難度不大，三道小題之間邏輯性強(qiáng)，搭設(shè)的臺(tái)階不僅為學(xué)生能順利解決問(wèn)題指明了方向，而且為第（3）小題的解答奠定了方法基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力水平.

三、試題解法欣賞

例13 （河南卷）如圖25，在邊長(zhǎng)為[22]的正方形[ABCD]中，點(diǎn)[E，F(xiàn)]分別是邊[AB，BC]的中點(diǎn)，連接[EC，F(xiàn)D，] 點(diǎn)[G，] [H]分別是[EC，F(xiàn)D]的中點(diǎn)，連接[GH]，則[GH]的長(zhǎng)度為 ? ? ?.

解法1：如圖26，設(shè)[DF，CE]交于點(diǎn)[O.]

因?yàn)樗倪呅蝃ABCD]是正方形，

所以[∠B=∠DCF=90°，BC=CD=AB.]

因?yàn)辄c(diǎn)[E，F(xiàn)]分別是邊[AB，BC]的中點(diǎn)，

所以[BE=CF.]

所以[△CBE≌△DCF.]

所以[CE=DF=BC2+BE2=10，∠BCE=∠CDF.]

因?yàn)閇∠CDF+∠CFD=90°，]

所以[∠BCE+∠CFD=90°.]

所以[∠COF=90°，] 即[DF⊥CE.]

因?yàn)辄c(diǎn)[G，H]分別是[EC，F(xiàn)D]的中點(diǎn)，

所以[CG=DH=102.]

因?yàn)閇∠DCF=90°，CO⊥DF，]

所以[CF ? CD=DF ? OC.]

所以[OC=2105.]

所以[OG=CG-OC=1010.]

在[Rt△OCD]中，[DO=CD2-OC2=4105.]

所以[OH=OD-HD=31010.]

所以在[Rt△GOH]中，[HG=OG2+OH2=1.]

解法2：如圖27，過(guò)點(diǎn)[E]作[EP⊥DC]交CD于點(diǎn)P， 過(guò)點(diǎn)[F]作[FQ⊥AD]交AD于點(diǎn)Q，[EP]與[FQ]相交于點(diǎn)[I].

因?yàn)樗倪呅蝃ABCD]是正方形，

所以[AD⊥CD]，[BC⊥CD]，[BA⊥AD]，[FQ⊥EP].

所以[AD∥EP∥BC]，[AB∥QF∥DC].

因?yàn)辄c(diǎn)[E]，[F]分別是邊[AB]，[BC]的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)[P]，[Q]分別為[CD]，[AD]的中點(diǎn).

所以點(diǎn)I是EP，QF的中點(diǎn).

因?yàn)檎叫蝃ABCD]的邊長(zhǎng)為[22]，

所以[PC=QD=2].

因?yàn)辄c(diǎn)[G]，[H]分別是[EC]，[FD]的中點(diǎn)，

所以[IG=12PC=22]，[IH=12QD=22].

所以在[Rt△IGH]中，[GH=IG2+IH2=1].

【評(píng)析】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形的中位線及勾股定理等知識(shí). 解法1在判斷出[EC]與[FD]的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，直接在[Rt△GOH]中利用勾股定理求[GH]的長(zhǎng)度. 解法2充分利用了正方形及中點(diǎn)的性質(zhì)，通過(guò)作輔助線[EP]與[FQ]構(gòu)造[Rt△GIH，] 再應(yīng)用勾股定理進(jìn)行求解，計(jì)算量比解法1有所減少. 此題簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

例14 （江蘇·鹽城卷）如圖28，[⊙O]是[△ABC]的外接圓，[AB]是[⊙O]的直徑，[∠DCA=∠B.]

（1）求證：[CD]是[⊙O]的切線;

（2）若[DE⊥AB]，垂足為點(diǎn)[E]，[DE]交[AC]于點(diǎn)[F]，求證：[△DCF]是等腰三角形.

證法1：（1）如圖29，連接[OC.]

因?yàn)閇OC=OA，]

所以[∠OCA=∠A.]

因?yàn)閇AB]為[⊙O]的直徑，

所以[∠BCA=90°，] 即[∠A+∠B=90°.]

因?yàn)閇∠DCA=∠B，]

所以[∠OCD=∠OCA+∠DCA=90°.]

所以[OC⊥CD.]

因?yàn)辄c(diǎn)[C]在[⊙O]上，

所以[CD]是[⊙O]的切線.

（2）因?yàn)閇∠OCA+∠DCA=90°，∠OCA=∠A，]

所以[∠A+∠DCA=90°.]

因?yàn)閇DE⊥AB，]

所以[∠A+∠EFA=90°.]

所以[∠DCA=∠EFA.]

又因?yàn)閇∠EFA=∠DFC，]

所以[∠DCA=∠DFC.]

所以[△DCF]是等腰三角形.

證法2：（1）如圖29，連接[OC.]

因?yàn)閇OC=OB，]

所以[∠OCB=∠B.]

因?yàn)閇∠DCA=∠B，]

所以[∠DCA=∠OCB.]

因?yàn)閇AB]為[⊙O]的直徑，

所以[∠BCA=90°.]

所以[∠OCB+∠OCA=90°.]

所以[∠OCD=∠DCA+∠OCA=90°.]

所以[OC⊥CD.]

因?yàn)辄c(diǎn)[C]在[⊙O]上，

所以[CD]是[⊙O]的切線.

（2）因?yàn)閇DE⊥AB，]

所以[∠FEA=90°.]

所以[∠EAF+∠EFA=90°.]

因?yàn)閇∠EAF+∠B=90°，]

所以[∠EFA=∠B.]

因?yàn)閇∠DCA=∠B，∠DFC=∠EFA，]

所以[∠DCA=∠DFC.]

所以[△DCF]是等腰三角形.

【評(píng)析】此題考查了圓的切線的判定定理、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定等，熟練掌握性質(zhì)和定理是解決此類題的關(guān)鍵. 在上面的兩種證法中，要注意轉(zhuǎn)化思想在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.

總之，在2020年全國(guó)中考試題中，“圖形的性質(zhì)”部分不僅注重對(duì)“四基”的考查，而且普遍重視數(shù)學(xué)的思維過(guò)程和應(yīng)用意識(shí)，突出在新的問(wèn)題情境下探究圖形基本要素和相關(guān)要素之間的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)于幫助學(xué)生合理選用數(shù)學(xué)方法、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣具有重要意義.

參考文獻(xiàn)：

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