以“作圖”促理解　探“變化”提素養(yǎng)

鐘文麗　萬妍青

摘 ?要：幾何是研究空間形式的科學，圖形是其最主要的表征形式.“圖形的變化”作為初中數(shù)學幾何學習的重點內(nèi)容之一，是培養(yǎng)學生直觀想象、發(fā)展空間觀念、提升邏輯思維能力的重要載體. 文章從“作圖”的角度，對2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷中部分涉及“圖形的變化”的試題進行評析，并基于幾何作圖視角通過觀察問題、分析問題并解決問題，逐步完善學生的認知結(jié)構(gòu)體系，對“圖形的變化”知識的內(nèi)在聯(lián)系進行歸納、梳理，落實以邏輯推理為核心的思維發(fā)展，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：圖形的變化;幾何作圖;中考數(shù)學

一、考點概述

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）要求通過具體實例了解各種變化的概念，能借助圖形探索幾何變化后圖形的性質(zhì)，并能“運用圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移進行圖案設(shè)計”. 綜觀2020年全國各地區(qū)中考數(shù)學試題，在“圖形的變化”專題有側(cè)重對學生作圖能力的考查的趨勢，部分地區(qū)“圖形的變化”部分的試題在靈活性和創(chuàng)新性上都頗具看點. 而作圖能力反映的是學生的基本應(yīng)用技能和合情推理能力，同時也是直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

本文中選取的以作圖為載體的“圖形的變化”試題，考點主要體現(xiàn)在三個方面：（1）考查軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移三種圖形變化的基本作圖方法;（2）運用尺規(guī)作圖法分析圖形變化后的性質(zhì)及特點;（3）助力“綜合與實踐”與“圖形的變化”相關(guān)聯(lián)的問題解決.

二、試題分析

1. 重視基礎(chǔ)，考查基本作圖，強化直觀想象能力

“圖形的變化”專題側(cè)重對作圖技能及圖形性質(zhì)的考查，經(jīng)歷對平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的作圖體驗，在“觀察—操作—歸納—應(yīng)用”的過程中構(gòu)建與此相關(guān)的知識經(jīng)驗，扎實作圖技能. 同時，在理解“作圖步驟”的過程中，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言和圖形語言，提升學生的數(shù)學閱讀理解能力，進而強化學生的直觀想象核心素養(yǎng).

例1 （山東·煙臺卷）如圖1，已知點[A2，0，][B0，4，C2，4，D6，6，] 連接AB，CD，將線段AB繞著某一點旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段CD重合（點A與點C重合，點B與點D重合），則這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標為_________.

分析：解決此題的關(guān)鍵是能夠找到對稱中心.

解：所作輔助線如圖2所示，設(shè)旋轉(zhuǎn)中心是點P，則P[4，2.]

【評析】此題已知兩個對稱點，要去尋找對稱中心，可以借助尺規(guī)作圖中作線段垂直平分線的方法，即兩條中垂線的交點即為對稱中心. 靈活應(yīng)用中心對稱的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵所在.

例2 （安徽卷）如圖3，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了以格點（網(wǎng)格線的交點）為端點的線段[AB，] 線段[MN]在網(wǎng)格線上.

（1）畫出線段[AB]關(guān)于線段[MN]所在直線對稱的線段[A1B1]（點[A1，B1]分別為點[A，B]的對應(yīng)點）;

（2）將線段[B1A1]繞點[B1]順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段[B1A2]，畫出線段[B1A2 .]

分析：此題考查了軸對稱和旋轉(zhuǎn)對稱的作圖方法.

解：（1）圖4中的線段A1B1即為所求.

（2）圖4中的線段B1A2即為所求.

【評析】此題第（1）小題考查了軸對稱作圖的方法，即找出圖形中的關(guān)鍵點，過關(guān)鍵點作對稱軸的垂線，延長垂線，在垂線的另一端取相等的線段，得到對應(yīng)點，其他關(guān)鍵點以此類推，連接所有對應(yīng)點即可得到對稱后的圖形;第（2）小題考查旋轉(zhuǎn)作圖的方法，即找出圖形中的關(guān)鍵點，連接關(guān)鍵點和旋轉(zhuǎn)中心，將連線按要求的方向與角度繞中心旋轉(zhuǎn)，在連線上截取相等的線段，得到對應(yīng)點，連接所有對應(yīng)點即可得到旋轉(zhuǎn)后的圖形. 此題是基本作圖法最典型的呈現(xiàn)方式.

例3 （黑龍江·雞西卷）如圖5，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，[△ABC]的三個頂點[A5，2，B5，5，][C1，1]均在格點上.

（1）將[△ABC]向左平移5個單位得到[△A1B1C1]，并寫出點[A1]的坐標;

（2）畫出[△A1B1C1]繞點[C1]順時針旋轉(zhuǎn)[90°]后得到的[△A2B2C1]，并寫出點[A2]的坐標;

（3）在（2）的條件下，求[△A1B1C1]在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積.（結(jié)果保留[π].）

分析：結(jié)合圖形平移和旋轉(zhuǎn)的意義作出圖形，并求出掃過的圓心角為直角的扇形面積.

解：（1）如圖6，△[A1B1C1]即為所求，點[A1]的坐標為[A10，2];

（2）如圖6，[△A2B2C1]即為所求，點[A2]的坐標為[A2-3，-3];

（3）如圖6，因為[BC=42+42=42]，

所以[△A1B1C1]在旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為[90π×422360+12×3×4=8π+6.]

【評析】此題第（1）小題考查了平移作圖的一般方法，即找出圖形中的關(guān)鍵點，過關(guān)鍵點作直線，這條直線要與已知線段平行，在平行線上截取平移距離的長度，得到對應(yīng)點，連接所有對應(yīng)點即可得到平移后的圖形;第（2）小題的作法同例2;第（3）小題考查了扇形面積和圖形旋轉(zhuǎn)之間的關(guān)系.

《標準》指出，在“圖形的變化”部分要能夠畫出軸對稱、旋轉(zhuǎn)和平移后的圖形. 通過掌握這些基本作圖方法，有利于使學生從圖形運動變化的角度看全等三角形、平行四邊形、圓等幾何圖形，由靜態(tài)幾何轉(zhuǎn)化為動態(tài)幾何，更加了解圖形的本質(zhì)和意義.

2. 重視方法，借助尺規(guī)作圖法，提升邏輯推理能力

尺規(guī)作圖是幫助學生理解“圖形的變化”的基礎(chǔ)步驟. 一方面，作圖為圖形的變化提供了直觀的圖形條件;另一方面，作圖也為運動提供了軌跡和思路. 同時，在作圖的過程中，體現(xiàn)了圖形的運動路徑，有利于發(fā)現(xiàn)運動中的不變性，從而有效解決問題，最終達到提升學生邏輯推理核心素養(yǎng)的目的.

例4 （湖南·長沙卷）如圖7，人教版初中數(shù)學教科書八年級上冊第48頁告訴我們一種作已知角的平分線的方法.

已知：∠AOB.

求作：∠AOB的平分線.

作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.

（2）分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.

（3）畫射線OC，射線OC即為所求（如圖7）.

試根據(jù)提供的材料完成下面問題.

（1）這種作已知角的平分線的方法的依據(jù)是_________.

（填序號）

① SSS ?② SAS ?③ AAS ?④ ASA

（2）試證明OC為∠AOB的平分線.

分析：（1）根據(jù)題意填寫作圖依據(jù);（2）利用（1）的作圖依據(jù)，借助三角形全等進行證明.

解：（1）①;

（2）由基本作圖方法，得

OM = ON，OC = OC，MC = NC.

因為在△OMC和△ONC中，△OMC ≌ △ONC（SSS），

所以∠AOC = ∠BOC，即OC為∠AOB的平分線.

【評析】此題來源于教材，是對教材的“再理解”，其中蘊含著與軸對稱相關(guān)聯(lián)的知識點. 從教材或配套練習冊中選取素材進行變式成為中考命題的一種角度. 因此，深度剖析教材、注重對教材中典型例題（練習題）資源的利用，也是促進問題解決的關(guān)鍵. 學生在掌握基礎(chǔ)知識、基本技能的同時，通過基本活動經(jīng)驗和基本思想方法的體驗，能讓“數(shù)學化”學習過程自然發(fā)生，以此深化數(shù)學思考，明晰數(shù)學本質(zhì).

例5 （四川·達州卷）如圖8，點[O]在[∠ABC]的邊[BC]上，以[OB]為半徑作[⊙O，∠ABC]的平分線[BM]交[⊙O]于點[D]，過點[D]作[DE⊥BA]于點[E.]

（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補全圖形;

（2）判斷[⊙O]與[DE]交點的個數(shù)，并說明理由.

分析：（1）根據(jù)題意作出圓、角平分線和垂線;（2）根據(jù)切線的性質(zhì)判斷[⊙O]與[DE]的位置關(guān)系.

解：（1）補全后的圖形如圖9所示.

（2）直線[DE]與[⊙O]相切，交點只有一個.

理由：因為[OB=OD，]

所以[∠ODB=∠OBD.]

因為[BD]平分[∠ABC，]

所以[∠ABM=∠CBM.]

所以[∠ODB=∠ABD.]

所以[OD∥AB.]

因為[DE⊥BA，]

所以[DE⊥OD.]

所以直線[DE]是[⊙O]的切線.

所以[⊙O]與直線[DE]只有一個交點.

【評析】此題中的尺規(guī)作圖法體現(xiàn)在：作圓，作角平分線，過直線外一點作已知直線的垂線. 凸顯了綜合作圖與基本作圖的關(guān)聯(lián)，再根據(jù)軸對稱和全等的相關(guān)性質(zhì)，建立求作與已知之間的聯(lián)系，從而找到解決問題的方法. 此題展現(xiàn)了動手與動腦的和諧，又融入了對相關(guān)幾何知識的理解，是一種深層次的“做中學”.

例6 （浙江·舟山卷）如圖10，在等腰三角形[ABC]中，[AB=AC=25，BC=8，] 按下列步驟作圖：① 以點[A]為圓心，適當?shù)拈L度為半徑作弧，分別交[AB，AC]于點[E，F(xiàn)，] 再分別以點[E，F(xiàn)]為圓心，大于[12EF]的長為半徑作弧相交于點[H，] 作射線[AH];

② 分別以點[A，B]為圓心，大于[12AB]的長為半徑作弧相交于點[M，N，] 作直線[MN，] 交射線[AH]于點[O];

③ 以點[O]為圓心，線段[OA]長為半徑作圓.

則[⊙O]的半徑為（ ? ?）.

（A）[25] （B）10

（C）4 （D）5

分析：如圖11，設(shè)[OA]交[BC]于點[T.] 解直角三角形求出[AT]的長，再在[Rt△OCT]中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

解：如圖11，設(shè)[OA]交[BC]于點[T.]

因為[BC=8，AO]平分[∠BAC，]

所以[AO⊥BC]，[BT=TC=4.]

所以[AT=AC2-CT2=252-42=2.]

在[Rt△OCT]中，則有[r2=r-22+42.]

解得[r=5.]

故此題選[D.]

【評析】此題看似作圖步驟復(fù)雜，但若從軸對稱方向觀察，其實就是軸對稱性質(zhì)的“集合”，利用軸對稱性質(zhì)構(gòu)造基本圖形——等腰三角形的三線合一. 此題除了可以運用勾股定理列方程求解，還可以利用三角函數(shù)求解，即利用[sin∠B=sin∠AON，] 直接計算OA的長度. 再次體現(xiàn)了利用基本作圖法和基本圖形分析法解決問題的思路，靈活性較強.

例7 （福建卷）如圖12，C為線段AB外一點.

（1）求作四邊形ABCD，使得CD∥AB，且CD = 2AB;（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.）

（2）在（1）的四邊形ABCD中，AC，BD相交于點P，AB，CD的中點分別為M，N，求證：M，P，N三點在同一條直線上.

分析：（1）借助基本作圖法以平移運動，作[CD∥AB，] 再作[CD=2AB.]

（2）借助“X”型基本圖形，證明△APM ∽ △CPN，得到∠CPN + ∠CPM = 180°，繼而得到M，P，N三點共線.

解：（1）如圖13，四邊形ABCD即為所求.

（2）證明：如圖14，因為CD∥AB，

所以∠ABP = ∠CDP，∠BAP = ∠DCP.

所以△ABP ∽ △CDP.

因為AB，CD的中點分別為M，N，

所以AB = 2AM，CD = 2CN.

連接MP，NP，

因為∠BAP = ∠DCP，

所以△APM ∽ △CPN.

所以∠APM = ∠CPN.

因為點P在AC上，

所以∠APM + ∠CPM = 180°.

所以∠CPN + ∠CPM = 180°.

所以M，P，N三點在同一條直線上.

【評析】此題第（1）小題內(nèi)涵豐富，有三種方法可達成“過直線外一點作已知直線的平行線”. 在進行尺規(guī)作圖時，有意識地啟動一題多解，并對每種作圖方法都給出邏輯證明，這樣可以在歷練學生基本作圖能力的基礎(chǔ)上，使其知法明理;第（2）小題中證明“三點共線”需要學生具備很強的論證能力，聯(lián)系中心對稱的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)“基本作圖法”和“基本圖形分析法”的有機結(jié)合，通過融入思維直覺與邏輯推理，在動手動腦中培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

問題解決體現(xiàn)了“行動 + 反思”的學習過程：尺規(guī)作圖既有具體的運動行為，也有對運動過程的表示及作圖后的反思，即將“外部操作活動”轉(zhuǎn)化為“內(nèi)部思維活動”的問題載體. 充分利用《標準》中的基本作圖法，通過作圖將復(fù)雜問題簡單化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

3. 重視應(yīng)用，設(shè)置問題情境，加強綜合分析能力

“圖形的變化”部分的試題往往會和實際問題或函數(shù)問題相結(jié)合，通過設(shè)置具體的問題情境，體現(xiàn)思考、作圖和證明的邏輯鏈，彰顯數(shù)形結(jié)合思想. 這正是《標準》所提倡的“經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，考查了學生合情推理和演繹推理的能力.

例8 （上海卷）如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分，使其中一個部分沿某個方向平移后能與另一個部分重合，那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形.下列圖形中，平移重合圖形是（ ? ?）.

（A）平行四邊形 （B）等腰梯形

（C）正六邊形 （D）圓

分析：根據(jù)“平移重合”的概念判斷.

解：如圖15，在[?ABCD]中，取[BC，AD]的中點[E，][F，] 連接[EF.]

因為四邊形[ABEF]向右平移可以與四邊形[EFCD]重合，

所以[?ABCD]是平移重合圖形.

【評析】此題通過閱讀理解的形式考查了圖形平移的性質(zhì). 近年來，以閱讀理解和圖形的變化相結(jié)合的試題屢見不鮮. 由此可見，通過閱讀挖掘試題本質(zhì)才是關(guān)鍵.

例8 （新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團卷）如圖16，在平面直角坐標系中，點[O]為坐標原點，拋物線[y=ax2+bx+c]的頂點是[A1，3，] 將[OA]繞點[O]順時針旋轉(zhuǎn)[90°]后得到[OB，] 點[B]恰好在拋物線上，[OB]與拋物線的對稱軸交于點[C.]

（1）求拋物線的解析式;

（2）[P]是線段[AC]上一動點，且不與點[A，C]重合，過點[P]作平行于[x]軸的直線，與[△OAB]的邊分別交于[M，N]兩點，將[△AMN]以直線[MN]為對稱軸翻折，得到△[A′MN，] 設(shè)點[P]的縱坐標為[m.]

① 當△[A′MN]在[△OAB]內(nèi)部時，求[m]的取值范圍;

② 是否存在點[P，] 使[S△A′MN=56S△OA′B，] 若存在，求出滿足條件[m]的值;若不存在，說明理由.

分析：（1）拋物線[y=ax2+bx+c]的頂點是[A1，3，]可以假設(shè)拋物線的解析式為[y=ax-12+3，] 通過旋轉(zhuǎn)的意義，求出點[B]的坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題.（2）根據(jù)翻折的意義畫出圖形，① 根據(jù)△[A′MN]在[△OAB]內(nèi)部，構(gòu)建不等式即可解決問題;② 求出直線[OA，AB]的解析式，求出[MN，] 利用面積關(guān)系構(gòu)建方程即可解決問題.

解：（1）因為拋物線[y=ax2+bx+c]的頂點為[A1，3]，

所以設(shè)拋物線的解析式為[y=ax-12+3.]

因為[OA]繞點[O]順時針旋轉(zhuǎn)[90°]后得到[OB.]

所以設(shè)點[B]的坐標為[B3，-1.]

把[B3，-1]代入[y=ax-12+3，] 得[a=-1.]

所以拋物線的解析式為[y=-x-12+3，]

即[y=-x2+2x+2].

（2）① 如圖17，因為[B3，-1，]

所以直線[OB]的解析式為[y=-13x.]

因為[A1，3，]

所以[C1，-13.]

因為[P1，m，AP=PA′，]

所以[A′1，2m-3.]

由題意[-13<2m-3<3，] 得[43<m<3.]

② 因為直線[OA]的解析式為[y=3x]，直線[AB]的解析式為[y=-2x+5，P1，m，]

所以[Mm3，m，N5-m2，m.]

所以[MN=5-m2-m3=15-5m6.]

因為[S△A′MN=56S△OA′B，]

所以[12 · m-2m+3 · 15-5m6=56×12×2m-3+13×3.]

整理，得[m2-6m+9=6m-8.]

解得[m1=6+19]（舍），[m2=6-19.]

當點[P]在[x]軸下方時，同理，可得[m3=6-393，][m4=6+393]（舍）.

所以滿足條件的[m]的值為[6-19]或[6-393.]

【評析】此題體現(xiàn)了在直角坐標系中解決“圖形的變化”的問題，需要圖形在坐標系中有“位置”，這個“位置”就是圖形在直角坐標系中的坐標. 借助基本作圖法，作出旋轉(zhuǎn)、翻折后的圖形，利用全等三角形的性質(zhì)求出其坐標. 函數(shù)背景下的圖形的變化問題，其本質(zhì)是借助數(shù)形結(jié)合思想，理清變化前后圖形之間的關(guān)系.

例9 （江蘇·南京卷）如圖18（1），要在一條筆直的路邊[l]上建一個燃氣站，向[l]同側(cè)的[A，B]兩個城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃氣.試確定燃氣站的位置，使鋪設(shè)管道的路線最短.

（1）如圖18（2），作出點[A]關(guān)于[l]的對稱點[A，] 線段[AB]與直線[l]的交點[C]的位置即為所求，即在點[C]處建燃氣站，所得路線[ACB]是最短的.

為了證明點[C]的位置即為所求，不妨在直線[l]上另外任取一點[C，] 連接[AC，BC，] 證明[AC+CB<][AC′+C′B.] 試完成這個證明.

（2）如果在[A，B]兩個城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個生態(tài)保護區(qū)，燃氣管道不能穿過該區(qū)域. 試分別給出下列兩種情形的鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）.

① 生態(tài)保護區(qū)是正方形區(qū)域，位置如圖18（3）所示;

② 生態(tài)保護區(qū)是圓形區(qū)域，位置如圖18（4）所示.

分析：（1）借助軸對稱的性質(zhì)作出圖形;（2）借助軸對稱、正方形和圓的切線性質(zhì)作出最短路線.

解：（1）如圖19，連接[A′C′，]

因為點[A，A′]關(guān)于直線[l]對稱，點[C]在[l]上，

所以[CA=CA′.]

所以[AC+BC=A′C+BC=A′B.]

同理，可得[AC′+C′B=A′C′+BC′.]

因為[A′B<A′C′+C′B，]

所以[AC+BC<AC′+C′B.]

（2）如圖20，在點[C]處建燃氣站，鋪設(shè)管道的最短路線是折線[ACDB]（其中點[D]是正方形的頂點）;如圖21，在點[C]處建燃氣站，鋪設(shè)管道的最短路線是折線[ACD，][DE，EB]構(gòu)成的曲線（其中[CD]，[BE]都與圓相切）.

【評析】此題是“將軍飲馬”問題的典型變式. 第（1）小題利用軸對稱的相關(guān)性質(zhì)證明了最短距離問題，建立了數(shù)學模型;第（2）小題借助第（1）小題的模型，解決了正方形和圓背景下的最短路徑問題，考查了學生數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心能力.

“圖形的變化”雖然可以與不同背景的問題相結(jié)合，但是其作圖依據(jù)還是來源于圖形變換的性質(zhì). 熟悉各種類型的作圖方法，了解各類作圖的原理，才能在“圖形的變化”的新情境中游刃有余.

三、復(fù)習建議

通過對2020年全國部分地區(qū)中考數(shù)學試卷中“圖形的變化”部分試題的分析，筆者認為在中考復(fù)習中應(yīng)該注意以下三點.

1. 認識幾何作圖的價值，為“圖形的變化”的教學奠定基礎(chǔ)

畫圖意識的培養(yǎng)不是一蹴而就的，教學中應(yīng)設(shè)計適當?shù)膯栴}（任務(wù)），引導(dǎo)學生畫圖、用圖，除了培養(yǎng)學生基本的畫圖技巧，還要加強學生的圖形語言表達能力.

在“圖形的變化”的教學中，教師要緊密聯(lián)系學生熟悉的實例，使學生認識生活中的圖形變換，以觀察、動手操作為主要方式組織學生開展實踐活動，切實把握好圖形變換的具體目標及其要求的“度”. 例如，利用“圖形的變化”設(shè)計圖案是一項十分有趣的實踐活動，教師應(yīng)該充分發(fā)揮學生的主動性和創(chuàng)造性，引導(dǎo)學生自主設(shè)計漂亮的圖案，在這樣的活動中，學生主動進行基本作圖技能的訓(xùn)練，這能對培養(yǎng)學生的類比推理及演繹推理能力起到潛移默化的作用.

2. 加強教學活動設(shè)計，為活動經(jīng)驗和數(shù)學思想方法的積累搭建平臺

“圖形的變化”的教學不能僅停留在“作圖”這個層面，要通過歸納等手段，引導(dǎo)學生理解作圖的依據(jù)，發(fā)現(xiàn)變化中的不變性. 只有深諳幾何知識原理，才能駕輕就熟地解決這類問題. 當然，“圖形的變化”的問題背景千變?nèi)f化，這就要求我們在日常教學時貫穿“能作圖時盡量作圖”，在作圖的基礎(chǔ)上看圖說話、用圖探究. 同時緊扣“四基”，回歸到數(shù)學知識的層面去分析和解釋問題，并注重日常積累，這樣才有利于培養(yǎng)學生的綜合能力.

3. 以作圖為抓手，在“圖形的變化”的應(yīng)用中提升數(shù)學素養(yǎng)

“圖形的變化”的應(yīng)用不僅局限于作圖或幾何證明，而更多地體現(xiàn)在生活中的應(yīng)用. 例如，將圖形的變化與圖形設(shè)計相結(jié)合，將實際生活中的問題抽象成數(shù)學問題等，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

通過解決此類問題，可以使學生透過運動的過程看本質(zhì)，在復(fù)雜圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形，體驗數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力.

如圖22，體現(xiàn)了以作圖為抓手的“圖形的變化”的學習進程，無論是應(yīng)用作圖還是綜合作圖，最終都落實為基本作圖，體現(xiàn)了扎實基礎(chǔ)、回歸本源的重要性. 而每上升一個層級，又促進了學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升. 由此可見，以作圖為基點，積累“圖形的變化”相關(guān)問題的解題經(jīng)驗，是培養(yǎng)學生幾何直觀、發(fā)展學生空間觀念、提高學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力的助力器.

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