聚焦核心　行穩(wěn)致遠

摘 ?要：以發(fā)展學生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，有效落實《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》基本理念，是教學與評價的共同目標. 2020年全國各地區(qū)中考試題“圖形的性質(zhì)”相關(guān)內(nèi)容的設(shè)計，聚焦幾何圖形的核心要素及其內(nèi)在聯(lián)系，在強調(diào)對圖形基本性質(zhì)的理解和應(yīng)用水平的基礎(chǔ)上，更加關(guān)注圖形生成過程中的事實和依據(jù)，突出了研究問題的一般思路和方法，使數(shù)學課程的育人目標得以真正實現(xiàn).

關(guān)鍵詞：基本圖形;基本性質(zhì);中考試題;核心素養(yǎng)

以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，有效落實《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）基本理念，是教學與評價的共同目標. 2020年全國各地區(qū)中考“圖形的性質(zhì)”相關(guān)內(nèi)容的設(shè)計，聚焦幾何圖形的核心要素及其內(nèi)在聯(lián)系，在強調(diào)對圖形基本性質(zhì)的理解和應(yīng)用水平的基礎(chǔ)上，更加關(guān)注圖形生成過程中的事實和依據(jù)，突出了研究問題的一般思路和方法，使數(shù)學課程的育人目標得以真正實現(xiàn). 為此，本文圍繞“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容，結(jié)合《標準》的要求，在對2020年全國各地區(qū)相關(guān)中考試題設(shè)計做出整體分析的基礎(chǔ)上，主要從命制試題的基本指向“理解與應(yīng)用”“事實與依據(jù)”“特殊與一般”，以及“育人價值”四個方面，針對典型試題的命題思路進行分析，并提供模擬試題.

一、試題設(shè)計整體分析

《標準》將“圖形與幾何”課程內(nèi)容分為圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形與坐標三個部分. 其中，“圖形的性質(zhì)”是對圖形中各種元素之間的關(guān)系，以及圖形之間關(guān)系的認識，主要包括點、線、面、角，相交線與平行線，三角形和四邊形，正多邊形和圓的基本性質(zhì)與判定，包括基本作圖、基本事實和基本的證明方法.

從2020年全國各地區(qū)中考試題來看，各地區(qū)普遍從不同側(cè)面、不同角度對“圖形的性質(zhì)”內(nèi)容進行了比較全面、系統(tǒng)的考查. 可以看到，大部分試題通過對組成幾何圖形的核心要素之間的關(guān)系所反映的性質(zhì)，以及通過不同圖形的相互聯(lián)系與綜合，基于位置與數(shù)量關(guān)系的確立或改變，考查了分析、解決幾何問題的能力和水平，突出了空間觀念、幾何直觀、推理能力的重要作用. 當然，還有許多綜合性問題，特別是通過圖形的運動與變化討論組成要素間相互關(guān)系的問題（如圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱，銳角三角函數(shù)，相似，視圖與投影），或者將圖形置于坐標系中的問題，均不在本文討論的范圍之內(nèi).

“圖形的性質(zhì)”作為“圖形與幾何”課程內(nèi)容的基礎(chǔ)，在2020年全國約130套省、市、地區(qū)的中考試卷中，所占比例適中. 大多數(shù)試卷中，該部分內(nèi)容占全卷總分值的15%左右;在北京卷、陜西卷、甘肅白銀卷、山東濱州卷、浙江紹興卷、黑龍江哈爾濱卷等試卷中所占總分值的比例較高;在廣西玉林卷、四川攀枝花卷、貴州黔西南州卷、湖南常德卷、浙江杭州卷、遼寧營口卷等試卷中所占總分值的比例較低. 題型方面，主要是選擇題、填空題和解答題，同時，關(guān)于尺規(guī)作圖的問題，有的與各題型相結(jié)合，也有的單獨成為一類題型，如山東青島卷中直接以作圖題的形式呈現(xiàn);題量方面，大多設(shè)計4道題左右，北京卷、河北卷、青海卷、寧夏卷、內(nèi)蒙古通遼卷、山東棗莊卷、江蘇淮安卷、浙江湖州卷、湖南懷化卷、湖北襄陽卷等均設(shè)計了6道或6道以上的試題;難度方面，以容易題、中等題為主，難題很少，在江蘇連云港卷第27題是作為壓軸題出現(xiàn)的.

二、試題設(shè)計思路分析

2020年全國各地區(qū)中考“圖形的性質(zhì)”的內(nèi)容基于組成圖形的核心要素，重點包括圖形中邊與邊、角與角之間的關(guān)系. 研究的方法是定性分析與定量計算相結(jié)合，圖形基本要素間的位置關(guān)系（垂直、平行）與數(shù)量關(guān)系（相等、倍分）相輔相成，突出了把握基本要素及其關(guān)系在研究圖形問題中的重要作用，并使之成為思考圖形問題的習慣.

1. 聚焦核心要素，注重圖形基本性質(zhì)的理解和應(yīng)用

以組成幾何圖形的核心要素及其關(guān)系為研究對象，考查對于圖形基本性質(zhì)的理解和應(yīng)用的水平，是命制這部分試題的基本原則.

（1）基于點、線、面、角.

例1 （甘肅·天水卷）某正方體的每個面上都有一個漢字，圖1是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，與“伏”字所在面相對面上的漢字是（ ? ?）.

（A）文 （B）羲

（C）弘 （D）化

【設(shè)計思路分析】用平面圖形表示立體圖形，以及立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，體會幾何圖形的抽象性特點，是認識幾何圖形的開始. 此題給出一種正方體的表面展開圖，通過想象正方體展開前后六個面的相對位置（“伏與化”相對，“弘與文”相對，“揚與羲”相對），較好地體現(xiàn)了對于空間觀念的要求. 這里，用“弘、揚、伏、羲、文、化”六個字分別代表六個面，同時傳遞了甘肅天水的民俗文化品質(zhì).

類似地，還有四川達州卷第3題的“勤洗手戴口罩”和江西卷第5題. 設(shè)置立體圖形與平面圖形聯(lián)系的，還有重慶B卷第2題.

（2）基于相交線和平行線.

例2 （新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團卷）如圖2，若[AB∥CD，][∠A=110°，] 則[∠1]的度數(shù)為_______ .

【設(shè)計思路分析】平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系是“圖形與幾何”所要研究的基本問題. 由位置關(guān)系到研究它們所成角的關(guān)系，通過“根據(jù)結(jié)構(gòu)特征對這些角進行分類”，得到對頂角、鄰補角、三線八角，在后續(xù)幾何圖形研究中起著重要的作用. 此題中已知了[“AB∥CD”，] 自然構(gòu)成同位角或同旁內(nèi)角、鄰補角或?qū)斀堑纫幌盗嘘P(guān)系，附加[“∠A=110°”]之后，可以得到其他角的大小.

類似地，還有云南卷第2題、河南卷第4題和湖南懷化卷第5題. 湖南常德卷第3題稍微復(fù)雜一些，需要添加一條輔助線，構(gòu)成三條直線互相平行的結(jié)構(gòu).

例3 （貴州·黔西南州卷）如圖3，將一塊三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，當[∠2=37°]時，[∠1]的度數(shù)為（ ? ?）.

（A）[37°] （B）[43°]

（C）[53°] （D）[54°]

【設(shè)計思路分析】以三角尺的擺放為素材，設(shè)置相交線與平行線及其構(gòu)成相關(guān)角之間的關(guān)系. 事實上，是同時借助了三角尺自身隱含的角的大小. 此題用到了三角尺中的直角. 內(nèi)蒙古通遼卷第4題也是“一副三角尺”的擺放方式問題，解答的關(guān)鍵仍然用到了三角尺中的直角. 寧夏卷第4題需要利用一副三角尺中的45°角和60°角解決問題.

關(guān)于三角尺的擺放，許多地區(qū)中考試卷中相關(guān)問題的設(shè)計綜合了三角形的內(nèi)角和或三角形外角的性質(zhì). 例如，吉林卷第5題，一副三角尺的擺放方式如圖4所示，要求∠α的大小;山東棗莊卷第2題，一副直角三角板的擺放方式如圖5所示，要求[∠DBC]的度數(shù).

類似地，還有貴州遵義卷第3題、山東泰安卷第4題、遼寧撫順卷第6題、四川眉山卷第9題、江蘇泰州卷第12題等.

（3）基于三角形和四邊形.

例4 （青海卷）如圖6，[△ABC]中，[AB=AC=14 cm，][AB]的垂直平分線MN交AC于點D，且[△DBC]的周長是24 cm，則[BC]的長為_______.

【設(shè)計思路分析】三角形是基本的幾何圖形之一，有很多重要的性質(zhì). 此題以三角形的邊為研究對象，與線段的垂直平分線綜合，建立其中線段與線段間的關(guān)系[“AD=BD，AD+DC=AC”]尤為重要.

以三角形的邊為研究對象，直接討論三角形三邊關(guān)系的試題，還有江蘇徐州卷第3題、江蘇宿遷卷第7題、浙江紹興卷第7題，以及黑龍江齊齊哈爾卷第15題;綜合等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)或勾股定理等內(nèi)容設(shè)置線段之間關(guān)系的，有福建卷第5題、貴州銅仁卷第7題.

以三角形的角為研究對象的試題，江蘇常州卷第15題的構(gòu)圖方式與例4類似，如圖7所示，是在給出“[△AFC]是等邊三角形”的條件下求[∠B]的度數(shù). 當綜合了三角形的內(nèi)角和及三角形的外角性質(zhì)時，討論三角形中角之間的關(guān)系就更加豐富了，如山東聊城卷第3題、湖北黃岡卷第12題、湖北襄陽卷第12題.

以三角形全等為題材，設(shè)置邊與邊、角與角之間關(guān)系的試題更是比比皆是. 例如，廣東卷第20題、貴州銅仁卷第20題、四川宜賓卷第11題、四川南充卷第18題、江蘇南京卷第19題、江蘇無錫卷第21題、浙江溫州卷第18題、浙江臺州卷第21題，等等.

例5 （北京卷）如圖8，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，[EF⊥AB，OG∥EF.]

（1）求證：四邊形OEFG是矩形;

（2）若[AD=10，EF=4，] 求OE和BG的長.

【設(shè)計思路分析】研究特殊的平行四邊形是通過對平行四邊形的邊、角特殊化來實現(xiàn)的，分析平行四邊形與矩形、菱形、正方形概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，明確它們的內(nèi)涵和外延，是解決相關(guān)問題的關(guān)鍵. 此題第（1）小題中，要得到“四邊形OEFG是矩形”，首先應(yīng)判斷“四邊形OEFG是平行四邊形”. 在已有條件[“OG∥EF”]的基礎(chǔ)上，只需要證明[“EO∥FG”.] 于是，需要對于點E，O，F(xiàn)，G的位置進行設(shè)計，可見，這里的已知條件就是以“點”的形式呈現(xiàn)的. 第（2）小題中，給定菱形ABCD和矩形OEFG的邊長，自然可以得到相關(guān)線段的長. 其中，主要綜合了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識.

類似地，還有新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團卷第18題、山東青島卷第21題，主要綜合了三角形全等的判定和性質(zhì)等. 此外，還有一些結(jié)合周長或面積，設(shè)計為與特殊的平行四邊形相關(guān)的計算問題，如云南卷第6題、黑龍江龍東地區(qū)卷第8題、山東棗莊卷第17題等.

特殊的平行四邊形是命制判斷命題真?zhèn)蔚脑囶}的較好載體，如上海卷第5題、四川眉山卷第5題和山東濱州卷第7題，均需要對特殊平行四邊形中的各種關(guān)系進行判斷.

例6 （天津卷）如圖9，?ABCD的頂點[C]在等邊三角形[BEF]的邊[BF]上，點[E]在[AB]的延長線上，[G]為[DE]的中點，連接[CG.] 若[AD=3，AB=CF=2]，則[CG]的長為_______.

【設(shè)計思路分析】將三角形與四邊形組合在一起，研究對于同一個點、同一條線段或同一個角，分別置身于不同的基本圖形之中，其角色的本質(zhì)屬性及其適當?shù)霓D(zhuǎn)換是解決這類問題的關(guān)鍵. 此題由于平行四邊形和等邊三角形放置位置的特殊性，當給定[“AD=3，][AB=CF=2”] 的數(shù)量及其關(guān)系時，兩個基本圖形的形狀和大小都是唯一確定的. 研究以點G為一個端點的線段[CG]的長，一定需要結(jié)合點G的屬性來解決. 這里設(shè)計了“[G]為[DE]的中點”，圍繞中點，使三角形中位線的性質(zhì)或三角形全等的判定均具備了合理的條件，添加輔助線、構(gòu)造基本圖形順理成章.

類似地，陜西卷第18題可以看作是平行四邊形和等腰三角形的組合;四川遂寧卷第18題可以看作是矩形和等腰三角形的組合;湖南湘西州卷第21題可以看作是正方形和等邊三角形的組合.

（4）基于正多邊形和圓.

例7 （海南卷）如圖10，已知AB是[⊙O]的直徑，CD是弦，若[∠BCD=36°，] 則[∠ABD]等于（ ? ?）.

（A）54° （B）56°

（C）64° （D）66°

【設(shè)計思路分析】圓是一種特殊的曲線圖形，借助圓心、半徑、直徑、弦、弧等圓的組成要素，討論圓中有關(guān)角、點與圓、直線與圓的位置和數(shù)量關(guān)系是研究的重點. 此題是一道關(guān)于圓周角的問題，利用圓周角與所對弧之間的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為[Rt△ABD]中兩個銳角互余;利用圓周角與圓心角之間的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為以圓心O為頂點的兩個角互補.

類似地，浙江杭州卷第9題，如圖11，討論[∠AED]與[∠AOD]之間的關(guān)系，需要將[∠AED]轉(zhuǎn)化為圓周角[∠B，] 與圓心角[∠COD]有關(guān)，進而與[∠AOD]有關(guān)，在試題給定的 [“OA⊥BC”] 條件下，問題可解. 我們發(fā)現(xiàn)，解決圓中有關(guān)角的問題，一定要與圓的組成要素建立好聯(lián)系.

此外，結(jié)合垂徑定理設(shè)置弧、弦、圓心角、圓周角之間的關(guān)系，也是經(jīng)常使用的方法，如陜西卷第9題和湖北荊門卷第7題等.

例8 （遼寧·撫順卷）如圖12，在?ABCD中，AC是對角線，[∠CAB=90°，] 以點A為圓心，以AB的長為半徑作[⊙A]，交邊BC于點E，交AC于點F，連接DE.

（1）求證：DE與[⊙A]相切;

（2）若[∠ABC=60°，AB=4，] 求陰影部分的面積.

【設(shè)計思路分析】點、線、角均是三角形、四邊形、圓等基本圖形的組成要素，自然使這些基本圖形發(fā)生聯(lián)系.“直線與圓相切”作為一種特殊的位置關(guān)系，也必然成為研究的重點. 此題中，點E既是?ABCD的邊BC上的點，又是[⊙A]的圓周上的點. 第（1）小題中，證明DE與[⊙A]是否相切，取決于半徑AE與DE是否具有垂直的位置關(guān)系. AE與DE同在[△AED]中，需要結(jié)合?ABCD中組成要素間的關(guān)系，這里設(shè)計了[“∠CAB=90°”]，借助三角形全等的判定與性質(zhì)即可;第（2）小題中，圍繞點E討論所生成的新圖形（陰影部分）的面積，需要將其轉(zhuǎn)化為[△AEC]和扇形[AEF]面積的差，那么求解面積的值就需要給出相關(guān)數(shù)量的大小. 于是給出條件[“∠ABC=60°，AB=4”]，這兩個量的特殊性，為同時在?ABCD和[⊙A]中解決問題提供了機會.

類似地，還有安徽卷第20題、浙江溫州卷第7題、江蘇南京卷第24題、甘肅定西卷第26題等.

例9 （云南卷）如圖13，正方形ABCD的邊長為4，以點A為圓心，AD為半徑畫圓弧DE得到扇形DAE（陰影部分，點E在對角線AC上）. 若扇形DAE正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是（ ? ?）.

（A）[2] （B）1

（C）[22] （D）[12]

【設(shè)計思路分析】此題以正方形為背景，依托正方形畫出扇形，并在此基礎(chǔ)上圍成圓錐，將正方形的性質(zhì)、扇形面積、扇形與圓錐側(cè)面展開圖之間的關(guān)系有效融合，體現(xiàn)了知識間的聯(lián)系與綜合. 計算與扇形面積有關(guān)問題的，還有浙江寧波卷第14題和內(nèi)蒙古呼和浩特卷第11題.

關(guān)于正多邊形，多數(shù)試題均指向與正多邊形內(nèi)角和外角有關(guān)的問題，如北京卷第5題、福建卷第15題、河北卷第18題、江蘇無錫卷第5題、山東煙臺卷第14題、廣東東莞卷第12題等. 此外，由于正多邊形具有一些類似于圓的性質(zhì)，正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念與圓密切相關(guān)，指向這類問題的設(shè)計，可以較好地體現(xiàn)正多邊形的特性，如江蘇徐州卷第16題.

2. 用好尺規(guī)作圖，關(guān)注生成過程中的事實與依據(jù)

從能夠使用無刻度的直尺和圓規(guī)完成基本作圖開始，到能夠感知作圖過程中尺規(guī)可以生成圖形的基本事實，在獲得新的幾何研究對象的同時，能夠進一步明確新的位置和數(shù)量關(guān)系，并了解其中的數(shù)學依據(jù)，是命制這部分試題的重要方面.

（1）能利用尺規(guī)完成基本作圖.

例10 （陜西卷）如圖14，已知[△ABC，AC>AB，] [∠C=45°，] 試用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點P，使[∠PBC=45°.]（保留作圖痕跡，不寫作法.）

【設(shè)計思路分析】尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，只使用圓規(guī)和直尺，并且只允許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.《標準》要求能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段;作一個角等于已知角;作一個角的平分線;作一條線段的垂直平分線;過一點作已經(jīng)直線的垂線.

此題的設(shè)計是“作一個角等于已知角”，屬于基本作圖. 如圖15，可以直接在BC的上方作[∠PBC=∠C，] 交AC于點P，則點P即為所求. 由于試題給定角的位置和大小的特殊性，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，也可以“作一條線段的垂直平分線”，如圖16，作BC的垂直平分線交AC于點P，點P即為所求;結(jié)合直角三角形的兩個銳角互余，還可以“過一點作已知直線的垂線”，如圖17，作[BP⊥AC，] 垂足為點P，則點P即為所求. 不同的作圖方法可以集中于對同一問題的解決，給定“[∠C=45°]”是關(guān)鍵，這為學生選用不同的解題方案創(chuàng)造了條件，更為我們的尺規(guī)作圖教學提供了優(yōu)秀的資源.

（2）能解決基本作圖后的問題.

例11 （廣東卷）在菱形ABCD中，[∠A=30°，] 取大于[12AB]的長為半徑，分別以點A，B為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交AD邊于點E（作圖痕跡如圖18所示），連接BE，BD，則[∠EBD]的度數(shù)為_______.

【設(shè)計思路分析】尺規(guī)作圖與圖形的判定有著本質(zhì)的聯(lián)系，作圖過程中所確定的位置與數(shù)量關(guān)系，就可以作為圖形所具有的基本事實. 此題將點E的生成蘊含在“作一條線段的垂直平分線”基本作圖之中，垂直平分線的性質(zhì)自然能夠成為求解相關(guān)問題的條件，應(yīng)用這個條件，再結(jié)合等腰三角形、菱形、平行線的性質(zhì)等，即可得到角與角之間的關(guān)系.

類似地，通過給出尺規(guī)作圖的痕跡，求解關(guān)于角的計算問題的試題還有很多. 例如，廣西南寧卷第7題設(shè)計了“作一個角的平分線”的基本作圖;湖北襄陽卷第7題、寧夏卷第14題和山東濰坊卷第15題，均同時設(shè)計了“作一個角的平分線”和“作一條線段的垂直平分線”的基本作圖. 另外，廣東深圳卷第8題設(shè)計的“作一個角的平分線”，遼寧撫順卷第16題設(shè)計的“作一條線段的垂直平分線”，均是通過給出“尺規(guī)作圖的痕跡”求解關(guān)于邊的計算問題.

例12 （四川·達州卷）如圖19，點O在[∠ABC]的邊BC上，以O(shè)B為半徑作[⊙O，] [∠ABC]的平分線BM交[⊙O]于點D，過點D作[DE⊥BA]于點E.

（1）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），補全圖形;

（2）判斷[⊙O]與[DE]交點的個數(shù)，并說明理由.

【設(shè)計思路分析】此題需要學生根據(jù)試題的描述獨立完成尺規(guī)作圖的過程. 第（1）小題中，完成“作一個角的平分線”和“作一條線段的垂直平分線”如圖20所示;第（2）小題要求判斷[⊙O]與DE交點的個數(shù)，就是判斷基本作圖后所生成的圖形之間的位置關(guān)系，連接OD，結(jié)合之前基本作圖中已確定的位置關(guān)系，可得[∠ODE=90°，] 即DE與[⊙O]相切，只有1個交點.

像這樣，先給出作圖步驟，再根據(jù)基本圖形確定好的位置關(guān)系，附加角的大小或線段的長度，解決相關(guān)的計算問題的試題，還有甘肅定西卷第21題、江蘇揚州卷第17題和無錫卷第24題.

（3）能了解作圖中的數(shù)學依據(jù).

例13 （山西卷）閱讀與思考：下面是小宇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

辦法一：如圖21，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD = 30 cm，然后分別以D，C為圓心，以50 cm與40 cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點E，作直線CE，則∠DCE必為90°.

辦法二：如圖22，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點出M，N兩點，然后把木棒斜放在木板上，使點M與點C重合，用鉛筆在木板上將點N對應(yīng)的位置標記為點Q，保持點N不動，將木棒繞點N旋轉(zhuǎn)，使點M落在AB上，在木板上將點M對應(yīng)的位置標記為點R. 然后將RQ延長，在延長線上截取線段QS = MN，得到點S，作直線SC，則∠RCS = 90°.

我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？…… ]

任務(wù)：

（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個數(shù)學定理是____________________________.

（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明∠RCS = 90°.

（3）① 尺規(guī)作圖：試在圖23的木板上，過點C作出AB的垂線.（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法.）

② 說明你的作法所依據(jù)的數(shù)學定理或基本事實.（寫出一個即可.）

【設(shè)計思路分析】如同幾何證明要做到“言必有據(jù)”一樣，作圖也要做到有根有據(jù). 此題主要涉及作圖的依據(jù). 顯然，第（1）小題是勾股定理的逆定理;第（2）小題，由操作過程獲得角與線段，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，可得[∠RCS=90°];第（3）小題，第①問屬于“過一點作已知直線的垂線”基本作圖，第②問依據(jù)的是“到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上”或“三邊分別相等的兩個三角形全等”或“等腰三角形的三線合一”. 可見，此題以完成任務(wù)單的方式，由給定作圖方法尋找依據(jù)，由操作過程推理數(shù)學結(jié)論，由獨立作圖說明依據(jù)的數(shù)學定理或基本事實，逐層遞進，將尺規(guī)作圖的內(nèi)容和要求呈現(xiàn)得特別自然、完整，且合理、深刻.

類似地，湖南長沙卷第19題設(shè)計了求作已知角的平分線及其作圖的依據(jù);湖北荊州卷第13題設(shè)計了求作[△ABC]的外接圓及其作圖的依據(jù).

3. 強化內(nèi)在聯(lián)系，把握研究方法之中的特殊與一般

研究基本圖形的基本性質(zhì)，是“圖形的性質(zhì)”部分的重要內(nèi)容，對其研究策略的提煉與遷移更是重中之重. 在探尋圖形的位置和數(shù)量關(guān)系中，在將圖形特殊化或一般化的過程中設(shè)計問題情境，是命制這部分試題的常用方法.

（1）位置和數(shù)量的關(guān)系.

例14 （黑龍江·牡丹江卷）在等腰三角形[ABC]中，[AB=BC，] 點D，E在射線[BA]上，[BD=DE，] 過點E作EF∥BC，交射線CA于點[F]. 試解答下列問題.

（1）當點E在線段AB上，CD是[△ACB]的角平分線時，如圖24，求證：[AE+BC=CF.]（提示：延長CD，F(xiàn)E交于點M.）

（2）當點E在線段[BA]的延長線上，CD是[△ACB]的角平分線時，如圖25;當點E在線段BA的延長線上，CD是[△ACB]的外角平分線時，如圖26，試直接寫出線段[AE，BC，CF]之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明.

（3）在（1）（2）的條件下，若[DE=2AE=6]，則[CF]的長為_______.

【設(shè)計思路分析】圖形中，由于幾何要素相對位置的不同，其數(shù)量關(guān)系也會有所不同. 有時，雖然位置改變，但存在某種數(shù)量關(guān)系保持不變的情況，“變化中的不變性”往往是數(shù)學研究中重要的內(nèi)容. 此題中，點[E]有三種不同的位置，按照題干中約定的構(gòu)圖方式，“當點[E]在線段[AB]上，[CD]是[△ACB]的角平分線時”“當點[E]在線段[BA]的延長線上，[CD]是[△ACB]的角平分線或外角平分線時”，均存在相同的數(shù)量關(guān)系[“AE+BC=CF”]. 同時，第（1）小題求解的思路和方法，對于第（2）小題具有很好的提示和借鑒作用;第（3）小題中，將線段賦值后，利用不同位置關(guān)系情況下線段之間不變的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論.

（2）特殊和一般的關(guān)系.

例15 （浙江·紹興卷）問題：如圖27，在[△ABD]中，[BA=BD.] 在[BD]的延長線上取點[E，C，] 作[△AEC，] 使[EA=EC]. 若[∠BAE=90°，] [∠B=45°，] 求[∠DAC]的度數(shù).

思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“[∠B=][45°]”去掉，其余條件不變，那么[∠DAC]的度數(shù)會改變嗎？說明理由.

（2）如果把以上“問題”中的條件“[∠B=45°]”去掉，再將“[∠BAE=90°]”改為“[∠BAE=n°]”，其余條件不變，求[∠DAC]的度數(shù).

【設(shè)計思路分析】將問題的條件不斷弱化，探尋幾何要素之間的關(guān)系，也是研究幾何圖形的重要方法之一. 此題“問題”中的[△ABE]是等腰直角三角形;“思考”第（1）小題中，[△ABE]是直角三角形;“思考”第（2）小題中，[△ABE]是一般三角形，隨著[△ABE]不斷的一般化，討論[∠DAC]的大小，只要圍繞著它的位置建立角與角之間的數(shù)量關(guān)系就可以了. 在特殊情況下獲得某種結(jié)論，當減少其中某些特殊因素時，并沒有影響到結(jié)果的獲得，甚至沒有影響到所建立起來的關(guān)系的改變，從而使相關(guān)問題的研究更趨近于圖形的本質(zhì)屬性. 這樣的設(shè)計體現(xiàn)了研究問題的一般思路和方法.

類似地，江蘇連云港卷第27題，是通過改變圖形“背景”的方式，討論所構(gòu)成圖形的面積之間的數(shù)量關(guān)系，研究的方法仍然需要經(jīng)歷將圖形一般化或特殊化的過程.

4. 彰顯文化內(nèi)涵，實現(xiàn)圖形與幾何內(nèi)容的育人價值

（1）以七巧板設(shè)置情境.

例16 （山東·威海卷）七巧板是大家熟悉的一種益智玩具，用七巧板能拼出許多有趣的圖案. 小李將一塊等腰直角三角形硬紙板（如圖28）切割成七塊，正好制成一副七巧板（如圖29）. 已知[AB=40 cm，] 則圖中陰影部分的面積為（ ? ?）.

（A）25 cm2 （B）[1003]cm2

（C）50 cm2 （D）75 cm2

【設(shè)計思路分析】七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為“東方魔板”. 此題中的七巧板由5個等腰直角三角形、1個平行四邊形和1個正方形組成，在切割、制成的過程中，基于這些圖形中邊、角之間的關(guān)系，可以獲得一些數(shù)量關(guān)系. 當賦予最初硬紙板一條邊的長度時，利用相關(guān)數(shù)量關(guān)系，即可得到七巧板中任何一條線段的長. 可見，以七巧板為情境設(shè)計問題，可以更加突出“組合圖形”中幾何要素之間相互依存的關(guān)系，也進一步體現(xiàn)了其美學價值.

像這樣，以七巧板為情境設(shè)計試題的，還有山東煙臺卷第9題、浙江湖州卷第10題和浙江衢州卷第14題.

（2）以勾股定理為素材.

例17 （湖北·隨州卷）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理. 在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖30），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（1）① 試敘述勾股定理;

② 勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，試從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理.（圖30 ～ 32均滿足證明勾股定理所需的條件.）

（2）① 如圖33，34，35，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關(guān)系滿足[S1+S2=S3]的個數(shù)有_______.

② 如圖36，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為[S1，S2，] 直角三角形面積為[S3，] 試判斷[S1，S2，S3]的關(guān)系并證明.

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖37所示的“勾股樹”. 在如圖38所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知[∠1=∠2=∠3=][∠α，] 則當[∠α]變化時，回答下列問題.（結(jié)果可用含m的式子表示.）

①[a2+b2+c2+d2]的值為_______;

② b與c的關(guān)系為_______，a與d的關(guān)系為_______.

【設(shè)計思路分析】勾股定理是初等幾何中的一個基本定理，是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一，反映了直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，是直角三角形的一條重要性質(zhì). 勾股定理把形的特征（三角形中有一個角是直角）轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系[a2+b2=c2，] 使形與數(shù)密切相關(guān).

此題的設(shè)計參考了人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學》八年級下冊教師教學用書第十七章勾股定理拓展資源中的相關(guān)內(nèi)容. 從介紹我國古代對勾股定理的杰出貢獻開始，第（1）小題要求先寫出勾股定理的內(nèi)容，再結(jié)合已給出的三種圖式（均滿足證明勾股定理所需的條件）任選一種證明該定理，圖30即為“趙爽弦圖”，三種證法均可以利用圖形中面積之間的關(guān)系;第（2）小題，將直角邊和斜邊上分別向外部作正方形的情況，換成向外部作半圓、等邊三角形，以及作成兩個月形的圖案，再次探究圖形面積之間的關(guān)系，提供了形式（依托直角三角形三邊改造新的圖形）與內(nèi)容（新圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系）的研究思路與方法，其結(jié)論 [“S1+S2=S3”] 的統(tǒng)一性，更使得這樣的設(shè)計堪稱完美;第（3）小題中，當直角三角形的銳角發(fā)生變化時，從直角三角形的直角邊依次生成的正方形邊長之間的關(guān)系，均可以用直角三角形的斜邊的長m表示，進一步詮釋了經(jīng)典的魅力.

以“趙爽弦圖”為素材進行試題設(shè)計的，還有浙江金華卷第10題、湖北孝感卷第15題、湖南婁底卷第18題等. 此外，寧夏卷第12題選取了我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載的“圓材埋壁”問題，湖南株洲卷第18題選取了《漢書·律歷志》中記載的問題，山東棗莊卷第20題以著名的歐拉公式為素材進行命制.

依托經(jīng)典，呈現(xiàn)研究幾何問題的一般思路和方法，揭示了作為一門科學的數(shù)學所表現(xiàn)出來的文化特征及應(yīng)有價值.

三、模擬試題欣賞

1. 已知直線[l1∥l2]，將一塊含30°角的直角三角板按如圖39所示放置，若[∠1=27°，] 則[∠2]的度數(shù)等于（ ? ?）.

（A）3° （B）33°

（C）43° （D）63°

參考答案：B.

提示：根據(jù)相交線構(gòu)成的對頂角相等、平行線構(gòu)成的內(nèi)錯角相等，以及直角三角板所含角的大小即可求解.

2. 已知三角形的三邊長分別為a，b，c. 為求它的面積S，中外數(shù)學家曾經(jīng)進行過深入研究. 古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年）給出了海倫公式[S=pp-ap-bp-c]，其中[p=a+b+c2];我國南宋時期數(shù)學家秦九韶（約1202—1261年）提出了秦九韶公式[S=12a2b2-a2+b2-c222]. 若一個三角形的三邊長分別為[12， 12， 13]，則這個三角形的面積是（ ? ?）.

（A）[26] （B）[29]

（C）[218] （D）[236]

參考答案：C.

提示：取[a=12]，[b=13]，[c=12]，代入秦九韶公式.

3. 在[△ABC]中，[AB=AC，] 作[∠BAC]的平分線AM交BC于點D，作邊AB的垂直平分線EF，與AM交于點P，作圖痕跡如圖40所示，連接PB，PC，若[∠ABC=]72°，則有下列結(jié)論：①[PA=][PB=PC;] ②[∠BAD=∠CAD=18°;] ③[∠BPC=72°;] ④ PB平分∠CPE.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ? ?）.

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

參考答案：D.

提示：由已知，得△ABC，△PBC，△PAB，△PAC均是等腰三角形，再結(jié)合“三角形內(nèi)角和為180°”，以及角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等，可得相關(guān)角的度數(shù).

4. 如圖41，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若E，F(xiàn)分別為AO，AD的中點，[AC=12，] 則EF的長為_______?.

參考答案：3.

提示：根據(jù)EF為[△AOD]的中位線，[OD=12BD]，[BD=AC]求解.

5. 如圖42，六邊形[ABCDEF]的六個內(nèi)角都相等，若[AB=1]，[BC=CD=3]，[DE=2]，則這個六邊形的周長等于_______.

參考答案：15.

提示：將六邊形[ABCDEF]補成一個等邊三角形，由已知可得這個等邊三角形的邊長為8. 于是，[EF=2]，[AF=4]. 所以，這個六邊形的周長等于15.

6. 在[⊙O]中，[AB]為直徑，[C]為[⊙O]上一點.

（1）如圖43，過點[C]作[⊙O]的切線，與[AB]的延長線相交于點[P]，若[∠CAB=27°]，求[∠P]的度數(shù);

（2）如圖44，[D]為[⊙O]上一點，且[OD]經(jīng)過[AC]的中點[E]，連接[DC]并延長，與[AB]的延長線相交于點P，若[∠CAB=10°]，求[∠P]的度數(shù).

參考答案：（1）36°;（2）30°.

提示：（1）連接[OC]，在⊙[O]中，[∠COB=2∠CAB];在[Rt△OPC]中，[∠P=90°-∠COP].

（2）由已知，得[∠ACD=12∠AOD][=1290°-∠EAO].再根據(jù)[∠ACD]是[△ACP]的外角，得[∠P=∠ACD-∠CAP].

7. 如圖45，在正方形[ABCD]中，點[P]是對角線[BD]上的一點，點[E]在[AD]的延長線上，且[PA=PE]，[PE]交[CD]于點[F].

（1）證明：[PC=PE];

（2）求[∠CPE]的度數(shù);

（3）如圖46，把“正方形ABCD”改為“菱形ABCD”，其他條件不變，當[∠ABC=120°]時，連接[CE]，試探究線段[AP]與線段[CE]的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

參考答案：（1）略;（2）90°;（3）[AP=CE].

提示：（1）在正方形[ABCD]中，因為[AB=BC]，[∠ABP=∠CBP]，所以[△ABP≌△CBP]. 進而得到相關(guān)線段的關(guān)系.

（2）在[△PCF]中，[∠CPF]與[∠PCF，∠CFP]相關(guān)，[∠PCF]在正方形[ABCD]中，可借助第（1）小題的結(jié)論，得[∠PCF=∠DAP=∠E.] 又因為[∠CFP=∠EFD]，問題轉(zhuǎn)化為與[△DEF]中的[∠EFD]與[∠E]相關(guān). 由[△DEF]是直角三角形，得[∠EFD+∠E=90°][，] 即[∠CPE=90°].

（3）同（1）和（2），[∠CPF]與[△DEF]中的[∠EFD]和∠E相關(guān). 在菱形ABCD中，由已知的[∠ABC=120°，] 得[∠CDE=60°]，即[∠CPE=60°]. 可得[△EPC]是等邊三角形，進而[AP=CE].

綜上，基于對2020年中考“圖形的性質(zhì)”專題命題的分析，可以看到，試題重點圍繞基本圖形的基本性質(zhì)，突出了組成圖形的基本要素（邊、角）或相關(guān)要素（對角線）之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，關(guān)注了通過尺規(guī)作圖可以生成圖形的過程中的數(shù)學依據(jù). 同時，將不同的圖形進行有效的聯(lián)系與綜合，在定性與定量的描述中，充分彰顯了研究幾何圖形特殊化、一般化的策略和方法. 由此體會到，抓住要素，可以進而有為;強化聯(lián)系，才會彼此借力;聚焦核心，方能行穩(wěn)致遠.

參考文獻：

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[2]劉金英，張義民. 以學生發(fā)展為導(dǎo)向的命題研究：2016年中考數(shù)學試題“圖形的性質(zhì)”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（初中版），2017（1 / 2）：75-83.