2020年中考“函數(shù)”專題解題分析

姜黃飛　陳世文

摘 ?要：函數(shù)是整個中學(xué)階段的核心知識，貫穿始終，是學(xué)習(xí)的一條主線，是研究運(yùn)動變化的重要數(shù)學(xué)模型，統(tǒng)領(lǐng)著數(shù)與式、方程與不等式，也是連接“圖形與幾何”與“數(shù)與代數(shù)”的橋梁，是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容. 綜觀2020年全國各地區(qū)中考試卷中的函數(shù)試題，既關(guān)注對函數(shù)基本概念、圖象和性質(zhì)的考查，又重視函數(shù)與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”的關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)與其他知識的內(nèi)在聯(lián)系，把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖象相結(jié)合，突出數(shù)與形的結(jié)合，動態(tài)地分析問題，不僅考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，同時考查學(xué)生的思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.

關(guān)鍵詞：函數(shù)模型;數(shù)形結(jié)合;考查要求;問題解決

一、主要考點(diǎn)分析

函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，在“數(shù)與代數(shù)”部分占有重要的地位，由常量教學(xué)過渡到變量教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的一大飛躍. 函數(shù)的主要考查內(nèi)容包括：探索簡單實(shí)例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律;了解常量、變量的意義;了解函數(shù)的概念和三種表示方法;能結(jié)合圖象對簡單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析;理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，并利用這三類函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題. 同時，函數(shù)與方程、不等式，函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合也是函數(shù)部分的重點(diǎn)考查內(nèi)容.

函數(shù)的性質(zhì)著眼于函數(shù)中的數(shù)量特征，函數(shù)的圖象著眼于圖形特征，充分體現(xiàn)了利用數(shù)與形的結(jié)合研究函數(shù)的基本方法和思路，在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)加以滲透，在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)關(guān)注. 函數(shù)是研究運(yùn)動變化的重要數(shù)學(xué)模型，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法. 因此，函數(shù)也是考查學(xué)生分析問題和解決問題能力的有效載體. 綜觀2020年全國各地區(qū)中考試卷中的函數(shù)試題，都立足基礎(chǔ)知識和基本技能，考查與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)思想和方法，積累用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的基本活動經(jīng)驗(yàn). 下面以2020年全國各地區(qū)中考試卷中的部分“函數(shù)”試題為例加以分析.

1. 注重基礎(chǔ)，考查核心概念和表達(dá)式

例1 （湖北·隨州卷）小明從家出發(fā)步行至學(xué)校，停留一段時間后乘車返回，則下列函數(shù)圖象最能體現(xiàn)他離家的距離（s）與出發(fā)時間（t）之間的對應(yīng)關(guān)系的是（ ? ?）.

（A） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（B）

（C） ? ? ? ? ? ? ? ? ? （D）

解析：此題選取學(xué)生較為熟悉的生活情境考查函數(shù)的概念，探究小明離家的距離（s）與出發(fā)時間（t）兩個變量之間的關(guān)系，用圖象法來表示函數(shù). 小明從家出發(fā)步行至學(xué)校時，可以近似看成是一次函數(shù)圖象，是一條從原點(diǎn)開始的線段，停留一段時間時，離家的距離不變，所以為一條平行于橫軸的線段，再乘車返回，離家的距離較快地減小至0，選項(xiàng)B符合題意，故此題選擇B.

例2 （貴州·黔西南州卷）如圖1，在菱形ABOC中，[AB=2，] [∠A=60°，] 菱形的一個頂點(diǎn)C在反比例函數(shù)[y=][kx k≠0]的圖象上，則反比例函數(shù)的解析式為（ ?）.

（A）[y=-33x] （B）[y=-3x]

（C）[y=-3x] （D）[y=3x]

解析：此題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式. 在菱形ABOC中，[∠A=60°，] 菱形邊長為2，所以[OC=2，∠COB=60°.] 如圖2，過點(diǎn)C作[CD⊥OB]于點(diǎn)D，則[OD=1，CD=3.] 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為C[-1， 3]. 因?yàn)辄c(diǎn)C在反比例函數(shù)[y=kx k≠0]的圖象上，得[k=][-3.] 所以反比例函數(shù)的解析式為[y=-3x.] 故此題選擇B.

【評析】對于函數(shù)概念的考查，往往依托一定的生活情境，在實(shí)際情境中抽象出數(shù)量關(guān)系，研究兩個變量之間的相互聯(lián)系，感受函數(shù)的本質(zhì)是一種對應(yīng)關(guān)系，解析法、列表法、圖象法是表示函數(shù)的三種形式. 在2020年全國各地區(qū)中考試題中，對函數(shù)的三種表示形式都有相應(yīng)的考查，是考查的基礎(chǔ)，也是核心.

2. 蘊(yùn)涵思想，考查函數(shù)圖象與性質(zhì)

例3 （山東·威海卷）一次函數(shù)[y=ax-a]與反比例函數(shù)[y=ax a≠0]在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ?）.

（A） （B）

（C） ?（D）

解析：此題考查一次函數(shù)[y=kx+b k≠0]和反比例函數(shù)[y=kx k≠0]的圖象位置與表達(dá)式中比例系數(shù)k，b之間的關(guān)系，考查兩類函數(shù)的基本性質(zhì).

選項(xiàng)A，由函數(shù)[y=ax-a]的圖象可知[a>0，-a>0，]而由函數(shù)[y=ax a≠0]的圖象可知[a>0]，相矛盾，故選項(xiàng)A錯誤.

選項(xiàng)B，由函數(shù)[y=ax-a]的圖象可知[a<0]，由函數(shù)[y=ax a≠0]的圖象可知[a>0]，相矛盾，故選項(xiàng)B錯誤.

選項(xiàng)C，由函數(shù)[y=ax-a]的圖象可知[a>0]，由函數(shù)[y=ax a≠0]的圖象可知[a<0]，相矛盾，故選項(xiàng)C錯誤.

選項(xiàng)D，由函數(shù)[y=ax-a]的圖象可知[a<0]，由函數(shù)[y=ax a≠0]的圖象可知[a<0]，故正確.

所以此題選擇D.

例4 （福建卷）已知[P1x1，y1，P2x2，y2]是拋物線[y=ax2-2ax]上的點(diǎn)，下列命題正確的是（ ?）.

（A） 若[x1-1>x2-1，] 則[y1>y2]

（B） 若[x1-1>x2-1，] 則[y1<y2]

（C） 若[x1-1=x2-1，] 則[y1=y2]

（D） 若[y1=y2]，則[x1=x2]

解析：此題考查二次函數(shù)的對稱軸和增減性，因?yàn)閽佄锞€[y=ax2-2ax=ax-12-a，] 所以拋物線的對稱軸為[x=1].

由于a的符號不確定，故要分類討論.

當(dāng)[a>0]時，圖象開口向上，在對稱軸[x=1]的左邊y隨x的增大而減小，而在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大，若[x1-1>x2-1，] 則[y1>y2] ，故選項(xiàng)B錯誤.

當(dāng)[a<0]時，若[x1-1>x2-1，] 則[y1<y2]，故選項(xiàng)A錯誤;若[y1=y2]，則[x1-1=x2-1，] 故選項(xiàng)D錯誤.

所以此題選擇C.

此題若借助圖象數(shù)形結(jié)合，也可直觀地求解.

【評析】對函數(shù)性質(zhì)的考查，主要涉及解析式中的系數(shù)變化與函數(shù)圖象位置的關(guān)系、函數(shù)的增減性、對稱性和最值，都體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合. 由此可見，理清函數(shù)性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系是解決此類問題的基本保障，數(shù)形結(jié)合思想是解決此類問題的基本思想.

3. 聯(lián)系生活，考查函數(shù)應(yīng)用和建模能力

例5 （湖北·天門、仙桃、潛江、江漢油田卷）小華端午節(jié)從家里出發(fā)，沿筆直道路勻速步行去媽媽經(jīng)營的商店幫忙，媽媽同時騎三輪車從商店出發(fā)，沿相同路線勻速回家裝載貨物，然后按原路原速返回商店，小華到達(dá)商店比媽媽返回商店早5分鐘，在此過程中，設(shè)媽媽從商店出發(fā)開始所用時間為t（分鐘），圖3表示兩人之間的距離s（米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系的圖象;圖4中線段AB表示小華和商店的距離[y1] （米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系的圖象的一部分. 試根據(jù)所給信息解答下列問題.

（1）填空：媽媽騎車的速度是________米 / 分鐘，媽媽在家裝載貨物所用時間是________分鐘，點(diǎn)M的坐標(biāo)是________;

（2）直接寫出媽媽和商店的距離[y2] （米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，并在圖4中畫出其函數(shù)圖象;

（3）求t為何值時，兩人相距360米？

解析：此題考查在實(shí)際情境下，學(xué)生對一次函數(shù)的讀題、識圖能力，需要學(xué)生具備一定的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）要求要能用數(shù)學(xué)的思維方式觀察、分析現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決在日常生活和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中遇到的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力.

第（1）小題，由圖4可得小華的速度為[1 80030=][60]（米 / 分鐘），由圖3可知第10分鐘時小華和媽媽在途中相遇，所以兩者的速度之和為[1 80010=180]（米 / 分鐘）. 所以媽媽騎車的速度為120米 / 分鐘，是小華速度的2倍. 又因?yàn)閶寢岒T車從商店出發(fā)到家往返路程也是小華的2倍，所以若不裝載貨物時則應(yīng)該同時達(dá)到. 所以小華到達(dá)商店比媽媽返回商店早的5分鐘即為媽媽在家裝載貨物，時間為5分鐘. 而媽媽從商店出發(fā)到家需要[1 800120=15] （分鐘），所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為20. 此時s為小華走的路程[20×60=1 200] （米），所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M20，1 200]. 此題以填空的形式給出，要解答正確需要對整個過程有清晰的認(rèn)識，這是正確解答下面問題的前提.

有第（1）小題做鋪墊，第（2）小題難度不大. 可以先畫出函數(shù)圖象，如圖5，當(dāng)[0≤t<15]時，對應(yīng)圖象為OC段，[y2=120 t;] 當(dāng)[15≤t<20]時對應(yīng)圖象為CD段，[y2=1 800;] [20≤t≤35]時對應(yīng)圖象為DE段，利用待定系數(shù)法，設(shè)[y2=kt+b，] 將點(diǎn)[D20，1 800]和 [E35，0]分別代入，解得[y2=-120 t+4 200.] 所以[y2=][120 t 0≤t<15，1 800 15≤t<20，-120 t+4 200 20≤t≤35.]

第（3）小題需要分段討論.

① 相遇前，依題意有[60 t+120 t+360=1 800，] 解得[t=8];

② 相遇后，依題意有[60 t+120 t-360=1 800，] 解得[t=12];

③ 依題意，當(dāng)[t=20]時，媽媽從家里出發(fā)開始追趕小華，此時小華距商店為[1 800-20×60=600]（米），只需10分鐘，即[t=30]時，小華到達(dá)商店. 而此時媽媽距離商店為[1 800-10×120=600]（米）>360（米），所以[120t-5+360=1 800×2.] 解得[t=32.]

故t為[8，] 12或32分鐘時，兩人相距360米.

此題也可以結(jié)合圖5，直觀的發(fā)現(xiàn)分三段借助解析式求解.

【評析】此題從實(shí)際情境出發(fā)，以一次函數(shù)為載體，較好地考查了學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的抽象能力和建模思想. 在第（1）小題中，需要由邏輯推理得到“媽媽在家裝載貨物的時間為5分鐘”，其實(shí)也可以通過媽媽往返的速度相同，結(jié)合小華比媽媽早到5分鐘確定出媽媽返回的圖象為DE段，通過先畫出媽媽和商店的距離[y2] （米）與時間t（分鐘）的函數(shù)圖象，再通過數(shù)形結(jié)合輕松破解問題. 第（3）小題可以從“數(shù)”的角度分段求解，也可以從“形”的角度借助直觀想象解決問題. 如圖5，數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)解析式求解. 在2020年全國各地區(qū)中考試題中，如黑龍江鶴崗卷第25題、黑龍江牡丹江卷25題、江蘇淮安卷第24題、浙江寧波卷第22題、浙江衢州卷第22題、寧夏卷第24題等都對此有相關(guān)考查.

4. 知識關(guān)聯(lián)，考查函數(shù)與方程不等式

例6 （貴州·遵義卷）如圖6，直線[y=kx+b]（k，b是常數(shù)[k≠0]）與直線[y=2]交于點(diǎn)[A4，2，] 則關(guān)于x的不等式[kx+b<2]的解集為 ________?.

解析：此題考查函數(shù)與不等式的關(guān)系，借助圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵. 直線[y=][kx+b]（k，b是常數(shù)，[k≠0]）與直線[y=2]交于點(diǎn)[A4，2，] 所以當(dāng)[x<4]時，[y<2.] 所以關(guān)于x的不等式[kx+b<2]的解集為[x<4.]

例7 （河北卷）如圖7，現(xiàn)要在拋物線[y=x4-x]上找點(diǎn)[Pa，b]，針對b的不同取值，所找點(diǎn)P的個數(shù)，三人的說法如下. 甲：若[b=5，] 則點(diǎn)P的個數(shù)為0;乙：若[b=4，] 則點(diǎn)P的個數(shù)為1;丙：若[b=3，] 則點(diǎn)P的個數(shù)為1. 下列判斷正確的是（ ?）.

（A）乙錯，丙對 （B）甲和乙都錯

（C）乙對，丙錯 （D）甲錯，丙對

解析：此題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，可以從“數(shù)”的角度，將點(diǎn)[Pa，b]代入拋物線[y=x4-x，] 得[4a-a2=b.] 甲：若[b=5]時，[4a-a2=5]，方程無解，對應(yīng)點(diǎn)P的個數(shù)為0;乙：若[b=4]時，[4a-a2=4，]方程有兩個相等實(shí)數(shù)根，對應(yīng)點(diǎn)P的個數(shù)為1;丙：若[b=3]時，[4a-a2=3]，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，對應(yīng)點(diǎn)P的個數(shù)為2，故選項(xiàng)C正確.

此題也可以從“形”的角度出發(fā)，由拋物線[y=x4-x]得頂點(diǎn)為[2，4]，則如圖8所示，借助幾何直觀即可得解.

【評析】例6中，求不等式[kx+b<2]的解集，只知直線過點(diǎn)[A4，2]，是不能確定直線解析式的. 但是借助一次函數(shù)的圖象，只需找到[y<2]，即直線在點(diǎn)A下方對應(yīng)的橫坐標(biāo)范圍即可. 例7找滿足條件的點(diǎn)的個數(shù)，等價于對應(yīng)方程解的個數(shù)問題，借助數(shù)形結(jié)合，直觀想象，使問題得解. 綜觀2020年全國各地區(qū)中考試題，對函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的考查非常廣泛，用函數(shù)的視角解決方程和不等式問題，是考查的一個核心.

二、典型解法評析

1. 關(guān)注最值問題考查，強(qiáng)化性質(zhì)應(yīng)用

二次函數(shù)最值問題的考查是中考的熱點(diǎn)，它也是二次函數(shù)的一個重要的性質(zhì)，往往將一般式轉(zhuǎn)換為頂點(diǎn)式，或是直接應(yīng)用頂點(diǎn)公式求最值. 值得注意的是，中考中許多涉及二次函數(shù)的試題，往往含字母系數(shù)，或是自變量的取值在一定范圍內(nèi)，求函數(shù)最值時通常需要分類討論，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來確定函數(shù)的最值.

例8 （湖北·孝感卷）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線[y=ax2+4ax+4a-6 a>0]與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

（1）當(dāng)[a=6]時，直接寫出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)：

A ? ? ?，B ? ? ?，C ? ? ?，D ? ? ?;

（2）如圖9，直線DC交x軸于點(diǎn)E，若[tan∠AED=][43]，求a的值和CE的長;

（3）如圖10，在（2）的條件下，若點(diǎn)N為OC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在第三象限的拋物線上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q，交AN于點(diǎn)F;過點(diǎn)F作[FH⊥DE，] 垂足為點(diǎn)H. 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，記[f =FP+FH.]

① 用含 t 的代數(shù)式表示 f;

② 設(shè)[-5<t≤m m<0，] 求[f]的最大值.

解：（1）當(dāng)[a=6]時，拋物線的表達(dá)式為[y=6x2+][24x+18.] 令[y=0]，則[x=-1]或[x=-3.] 當(dāng)[x=0]時，[y=18.] 函數(shù)的對稱軸為[x=-2]，所以點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為[A-3，0， B-1，0， C0，18， D-2，-6.]

（2）因?yàn)閇y=ax2+4ax+4a-6，]

所以點(diǎn)[C0，4a-6.]

因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為直線[x=-2]，

所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為[-2，-6.]

由點(diǎn)C，D的坐標(biāo)易求得直線CD的表達(dá)式為[y=2ax+][4a-6.]

所以點(diǎn)[E3a-2，0.]

所以[tan∠AED=OCOE=6-4a3a-2=43.]

解得[a=23].

所以點(diǎn)C，E的坐標(biāo)分別為[C0，-103， E52，0.]

所以[CE=OC2+OE2=256.]

（3）① 如圖11，作ED與FP的延長線交于點(diǎn)J，由（2）知拋物線的表達(dá)式為[y=23x2+83x-103.]

所以點(diǎn)A[-5，0]，點(diǎn)[C0，-103.]

所以點(diǎn)[N0，-53.]

所以可求得直線AN的表達(dá)式為[y=-13x-53.]

設(shè)點(diǎn)[Pt， 23t2+83t-103]，則點(diǎn)[Ft，-13t-53.]

所以[PF=-23t2-3t+53].

又由點(diǎn)E，C易得直線CE的表達(dá)式為[y=][43x-103，]

所以點(diǎn)[Jt， 43t-103].

所以[FJ=-53t+53.]

因?yàn)閇FH⊥DE，] [JF∥Oy]，

所以[∠FHJ=∠EOC=90°，∠FJH=∠ECO.]

所以[△FJH∽△ECO.]

所以[FHEO=FJEC.]

所以[FH=-t+1.]

則[f=PF+FH=][-23t2-4t+83.]

② 因?yàn)閇f =-23t2-4t+83=-23t+32+263]（[-5<t≤][m]，且[m<0]）.

所以當(dāng)[-5<m<-3]時，[fmax=-23m2-4m+83];

當(dāng)[-3≤m<0]時，[fmax=263.]

【評析】此題在求解最值之前，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、二次函數(shù)求頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸等基礎(chǔ)知識，以及用含字母的式子表示線段長，利用相似三角形求線段長等知識. 用含字母的式子來表示線段長對學(xué)生而言有一定的難度，這些往往是最后借助二次函數(shù)求解最值問題的準(zhǔn)備. 而第（3）小題第②問中自變量[-5<t≤m，] 且[m<0]，m的值又不確定，需要對m的值進(jìn)行分類討論. 因?yàn)閇f=-23t+32+263]圖象的開口向下，在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小，頂點(diǎn)時函數(shù)取到最大值，所以當(dāng)[-5<m<-3]時，在對稱軸的左邊，當(dāng)[t=m]時，f取到最大值，當(dāng)[-3≤m<0]時，包含頂點(diǎn)，所以最大值為[263]. 此題比較全面地考查了對二次函數(shù)相關(guān)知識的應(yīng)用，尤其是第（3）小題第②問的最值更是需要學(xué)生對增減性和最值有較好地理解，強(qiáng)化了對性質(zhì)運(yùn)用的考查.

2. 關(guān)注系數(shù)考查，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合

對函數(shù)表達(dá)式中各項(xiàng)系數(shù)的符號問題的考查，尤其是對二次函數(shù)中各項(xiàng)系數(shù)的符號和數(shù)與形之間相互關(guān)聯(lián)的考查是歷年中考的熱點(diǎn)問題，也是2020年全國各地區(qū)中考中的熱點(diǎn)問題. 例如，湖北隨州卷第10題、廣東東莞卷第10題、廣東深圳卷第11題、貴州遵義卷第12題、黑龍江牡丹江卷第20題、湖南常德卷第7題等對此都有所考查. 此類問題需要學(xué)生對二次函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)a，b，c和判別式的符號與圖象的開口方向、對稱軸的位置、圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系等有明確的認(rèn)識，以及對已知點(diǎn)對應(yīng)滿足的代數(shù)式進(jìn)行化簡運(yùn)算的能力.

例9 （廣東·深圳卷）二次函數(shù)[y=ax2+bx+][c a≠0]的頂點(diǎn)坐標(biāo)為[-1，n]，其部分圖象如圖12所示. 以下結(jié)論錯誤的是（ ? ?）.

（A）[abc>0]

（B）[4ac-b2<0]

（C）[3a+c>0]

（D）關(guān)于x的方程[ax2+bx+c=n+1]無實(shí)數(shù)根

解：因?yàn)閽佄锞€開口向下，所以[a<0]. 由對稱軸為[x=-b2a=-1.] 得[b=2a<0.] 又因?yàn)閽佄锞€與y軸交于y軸正半軸，所以[c>0.] 所以[abc>0.] 所以選項(xiàng)A正確.

因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個交點(diǎn)，所以[b2-4ac>0]，即[4ac-b2<0]. 所以選項(xiàng)B正確.

因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為[x=-1]，拋物線與x軸的一個交點(diǎn)在[-3，0]和[-2，0]之間，所以拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在[0，0]和[1，0]之間. 當(dāng)[x=1]時，[y<0.] 所以[a+b+c<0.] 把[b=2a]代入，得[3a+c<0.] 所以選項(xiàng)C錯誤.

因?yàn)閽佄锞€開口向下，頂點(diǎn)為[-1，n]，所以函數(shù)有最大值n. 所以拋物線[y=ax2+bx+c]與直線[y=n+1]無交點(diǎn)，對應(yīng)一元二次方程[ax2+bx+c=n+1]無實(shí)數(shù)根. 所以選項(xiàng)D正確.

故此題選擇C.

【評析】此題為對二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系的典型考查，系數(shù)a的符號決定圖象的開口方向，當(dāng)[a<0]時，拋物線開口向下;當(dāng)[a>0]時，拋物線開口向上. 而b的符號取決于a的符號和對稱軸的位置，對稱軸在y軸的左側(cè)，則a，b同號;對稱軸在y軸的右側(cè)，則a，b異號. 常數(shù)c是拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo). 解決此類問題一般都需要判斷a，b，c的符號，在此題中即是選項(xiàng)A所考查的;由圖象與x軸的交點(diǎn)情況，確定判別式的符號，即選項(xiàng)B所考查的;而對于選項(xiàng)C的考查則需要在試題中尋找一個不等式和一個等式結(jié)合判斷，這里選擇“當(dāng)[x=1]時，得[a+b+c<0]”和“由對稱軸[x=-1]，得[b=2a]”，結(jié)合求解，這也是解決只含a，b，c中的兩個字母的不等式的解題策略;對于選項(xiàng)D則只需關(guān)注函數(shù)的最值，借助數(shù)形結(jié)合，直觀想象可解.

3. 關(guān)注面積問題的考查，巧用聯(lián)想轉(zhuǎn)化

例10 （重慶A卷）如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)E是x軸上一點(diǎn)，連接AE. 若AD平分[∠OAE，] 反比例函數(shù)[y=kx k>0，x>0]的圖象經(jīng)過AE上的兩點(diǎn)A，F(xiàn)，且[AF=EF]，[△ABE]的面積為18，則k的值為（ ?）.

（A）6 ? （B）12

（C）18 ? （D）24

解：如圖14，連接BD，OF，過點(diǎn)A作[AN⊥OE]于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作[FM⊥OE]于點(diǎn)M.

因?yàn)閇AN∥FM，AF=FE，]

所以[MN=ME，F(xiàn)M=12AN.]

因?yàn)辄c(diǎn)A，F(xiàn)在反比例函數(shù)的圖象上，

所以[S△AON=S△FOM=k2.]

所以[ON=12]OM.

所以[ON=MN=EM.]

所以[ME=13OE.]

所以[S△FME=][13S△FOE.]

因?yàn)锳D平分[∠OAE，]

所以[∠OAD=][∠EAD.]

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以[OA=OD.]

所以[∠OAD=∠ODA=∠DAE.]

所以[AE∥BD.]

所以[S△AOE=S△ABE=18.]

又因?yàn)閇AF=EF，]

所以[S△EOF=12S△A0E=9.]

所以[S△FME=13S△FOE=3.]

所以[S△FOM=S△EOF-S△FME=9-3=6=][k2.]

所以[k=12].

故此題選擇B.

【評析】此題是反比例函數(shù)與三角形知識相結(jié)合的綜合題，涉及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、平行線的判定、角平分線、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積等核心知識，利用平行線進(jìn)行等積轉(zhuǎn)化，是解決此類問題的基本策略. 此題通過角平分線結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到[AE∥BD]，從而實(shí)現(xiàn)[S△ABE]與[S△A0E]的等積轉(zhuǎn)化，進(jìn)而聯(lián)想k的幾何意義，結(jié)合給定的比例關(guān)系求解.

此題也可以利用[AF=EF，] 得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是點(diǎn)F縱坐標(biāo)的2倍. 不妨設(shè)點(diǎn)[Aa，2b]，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為[2a，b]，從而得點(diǎn)E坐標(biāo)為[3a，0.] 所以[S△ABE=S△ADE][12 ? 3a ? 2b=18.] 所以[ab=6.] 所以[k=2ab=12.] 按比例關(guān)系設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)也是解決此類問題的有效途徑.

4. 關(guān)注存在性問題考查，強(qiáng)化分類討論

綜觀2020年全國各地區(qū)中考函數(shù)試題，發(fā)現(xiàn)存在性問題是一類常見試題，主要考查特殊三角形、平行四邊形、特殊平行四邊形、相似三角形的存在性問題，或是滿足線段或角或面積的特殊數(shù)量關(guān)系的動點(diǎn)存在性問題等. 此類問題通?？疾閷W(xué)生的識圖作圖、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)，蘊(yùn)涵函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，涵蓋的知識面廣，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 對于學(xué)生容易出現(xiàn)漏解的情況，常以壓軸題的形式呈現(xiàn). 例如，浙江湖州卷第24題、廣西玉林卷第26題、貴州黔東南州卷第26題、黑龍江大興安嶺卷第24題、湖北黃岡卷第25題、湖南郴州卷第26題、湖南常德卷第25題都考查了平行四邊形存在性問題;重慶A卷第25題考查了菱形存在性問題;黑龍江牡丹江卷第28題考查正了方形存在性問題;浙江衢州卷第23題考查了直角三角形存在性問題;貴州遵義卷第24題考查了等邊三角形存在性問題;湖北隨州卷第24題、廣東東莞卷第25題、湖北鄂州卷第24題等考查了相似三角形存在性問題;山東淄博卷第24題考查了一定面積關(guān)系存在性問題等.

例11 （貴州·黔東南州卷）如圖15，已知拋物線[y=ax2+][bx+c a≠0]與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)[C0，-3]，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為[D1，-4].

（1）求拋物線的解析式;

（2）在y軸上找一點(diǎn)E，使得[△EAC]為等腰三角形，試直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);

（3）點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，D為頂點(diǎn)，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，試求出點(diǎn)P，Q坐標(biāo);若不存在，試說明理由.

解：（1）因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為[D1，-4，]

設(shè)拋物線的解析式為[y=ax-12-4，]

將點(diǎn)[C0，-3]代入拋物線，得[a=1.]

所以拋物線的解析式為[y=x2-2x-3.]

（2）由拋物線的解析式[y=x2-2x-3]得點(diǎn)B，A的坐標(biāo)分別為[B3，0，A-1，0.]

所以[AC=10.]

設(shè)點(diǎn)[E0，m]，則[AE=m2+1]，[CE=m+3.]

因?yàn)閇△ACE]是等腰三角形，分三種情況討論.

① 當(dāng)[AC=AE]時，[10=m2+1]，

解得[m=3]或[m=-3]（舍）.

所以點(diǎn)[E0，3.]

② 當(dāng)[AC=CE]時，[10=m+3]，

解得[m=-3±10.]

所以點(diǎn)[E0，-3+10]或[0，-3-10.]

③ 當(dāng)[AE=CE]時，[m2+1=m+3]，

解得[m=-43.]

所以點(diǎn)[E0，-43.]

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為[0，3， 0，-3+10][0，-3-10]，[0，-43];

（3）存在. 理由如下.

如圖16，因?yàn)轫旤c(diǎn)D的坐標(biāo)為[D1，-4]，將線段BD向上平移4個單位長度，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在拋物線上，這樣便可以找到存在的點(diǎn)Q，此時點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)就是點(diǎn)P. 所以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，

設(shè)點(diǎn)[Qt，4]，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線[y=x2-][2x-3]，得[t2-2t-3=4.]

解得[t=1+22]或[t=1-22].

所以點(diǎn)[Q11+22，4]或[Q21-22，4.]

分別過點(diǎn)[D，Q1]作 x 軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)F，G.

因?yàn)閽佄锞€[y=x2-2x-3]與x軸的右交點(diǎn)B的坐標(biāo)為[B3，0]，且[D1，-4.]

所以[FB=PG=3-1=2.]

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為[1+22-2=-1+22]或[1-22-2=-1-22.]

綜上所述，點(diǎn)[P1-1+22，0]，點(diǎn)[Q11+22，4]或點(diǎn)[P2-1-22，0]，點(diǎn)[Q21-22，4.]

【評析】此題是一道二次函數(shù)的綜合題. 第（1）小題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式. 第（2）小題則考查了等腰三角形的存在性問題，以AC為一邊在 y 軸上找一點(diǎn)E，使得[△EAC]為等腰三角形，通過設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)，表示出[△EAC]的三條邊長，將邊兩兩相等進(jìn)行分類討論. 此題也可以對以AC為底或以AC為腰進(jìn)行分類討論，屬于較為常規(guī)的存在性問題. 第（3）小題考查平行四邊形的存在性問題，明確以BD為一邊時的存在性問題. 筆者選用了平移BD的方法，找到平移后的位置，再進(jìn)行推理運(yùn)算. 此題也可以從平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)出發(fā)求解，因?yàn)辄c(diǎn)P，B都在x軸上，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的絕對值相等，先鎖定點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，再確定點(diǎn)P的坐標(biāo). 此題第（2）（3）小題分別考查了等腰三角形和平行四邊形的存在性問題，用好分類討論，抓住平行四邊形四個頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，是解決此類問題的有效途徑.

三、試題解法賞析

例12 （浙江·寧波卷）如圖17，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)[y=ax a>0]的圖象交于A，D兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），點(diǎn)B，C，E在反比例函數(shù)[y=]

[bx b<0]的圖象上，[AB∥Oy]，[AE∥CD∥Ox]，五邊形ABCDE的面積為56，四邊形ABCD的面積為32，則[a-b]的值為 ________，[ba]的值為 ________?.

解：（方法1）如圖18，連接AC，OB，OC，OE，

由題意得點(diǎn)A，D關(guān)于原點(diǎn)對稱.

所以點(diǎn)A，D的縱坐標(biāo)的絕對值相等.

又因?yàn)閇AE∥CD，]

所以點(diǎn)E，C縱坐標(biāo)的絕對值相等.

又因?yàn)辄c(diǎn)E，C在反比例函數(shù)[y=bx]的圖象上，

所以點(diǎn)E，C關(guān)于原點(diǎn)對稱.

所以點(diǎn)E，O，C三點(diǎn)共線.

因?yàn)閇OE=OC，OA=OD，]

所以四邊形ACDE是平行四邊形.

由題意，得[a-b=a+b=2S△AOE=S△ADE=24.]

又因?yàn)閇S△AOC=S△AOE=S△AOB，]

所以點(diǎn)B，C到AD的距離相等.

所以[AD∥BC.]

所以[S△AOB=S△DOC=12.]

所以[S△BOC=8.]

所以[BCOD=S△BOCS△COD=812=23.]

延長CB交 x 軸于點(diǎn)F，設(shè)AB交[x]軸于點(diǎn)G，

則有[△BGF∽△AGO.]

所以[BGAG=BFAO=BFDO=13.]

所以[ba=BGAG=13.]

所以[ba=-13].

（方法2）同方法1，得[a-b=24，AD∥BC.]

如圖19，延長AB，DC交于點(diǎn)H，

則[△BCH∽△ADH.]

所以[BCAD=BHAH.]

因?yàn)閇S△ACB=32-24=8，]

所以[S△ADC∶S△ABC=24∶8=1∶3.]

所以[BC∶AD=1∶3.]

所以[HB∶HA=1∶3.]

設(shè)[BH=k，] 則[AH=3k，AG=HG=32k.]

所以[BG=12k.]

所以[BG∶AG=1∶3.]

所以[ba=BGAG=13.]

所以[ba=-13].

（方法3）同方法1，得[a-b=24，AD∥BC.]

如圖19，設(shè)[S△BCH=s.]

則[HBBA=HCCD.]

所以[S△BHCS△ABC=S△ACHS△ADC.]

所以[s8=8+s24.]

解得[s=4.]

所以[S△ADH=S△ADC+S△ABC+S△BCH=24+8+4=36.]

所以[S△AOG=14S△ADH=14×36=9.]

所以[a=18，] [b=-6.]

所以[ba=-13.]

【評析】此題主要考查反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義和平行線間的等面積轉(zhuǎn)化. 如圖18，反比例函數(shù)[y=ax a>0]中對a的幾何意義的理解為[a=2S△AOP]，反比例函數(shù)[y= bx b<0]中，[-b=b=2S△EOP]，所以[a-b]就是[△AOP]和[△EOP]面積和的2倍，即[△AOE]面積的2倍. 再利用反比例函數(shù)圖象中點(diǎn)的對稱性，得[S△AOE=][S△DEO.] 所以[a-b]就是[△ADE]的面積. 圖中[S△AOE=S△DOC=][S△AOB=12a-b]，[S△AED=S△ACD=S△ABD=a-b.] 求[ab]的值，關(guān)鍵在于[AD∥BC]的發(fā)現(xiàn)，以上解法中通過對稱性得[S△AOE=S△AOC.] 通過幾何意義，得[S△AOE=S△AOB.] 從而得[S△AOC=S△AOB.] 得[AD∥BC.] 此題還可借助[S△ACD=S△ABD，] 得[AD∥BC.] 進(jìn)而借助兩直線平行，利用相似或面積進(jìn)行比例的轉(zhuǎn)化，這也是求解反比例函數(shù)問題常用的轉(zhuǎn)化方法.

總之，綜觀2020年全國各地區(qū)中考試題中對函數(shù)內(nèi)容的考查，既關(guān)注對函數(shù)核心概念與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，又重視函數(shù)與“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”的關(guān)聯(lián)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)與其他知識的融合;關(guān)注數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用和基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累;關(guān)注對學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的考查，充分發(fā)揮了試題的導(dǎo)向作用. 引導(dǎo)數(shù)學(xué)教師認(rèn)真研究《標(biāo)準(zhǔn)》，研究試題考查的方向、類型和方式，總結(jié)解題策略，重視學(xué)生的思維形成過程，在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生理性思考的能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[2]張偉，宋先波，趙潔. 2018年中考“函數(shù)”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（1 / 2）：54-63.

[3]胡玲君. 2019年中考“函數(shù)”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2020（1 / 2）：63-71.