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    一次為基礎薄弱生授課的啟示

    2021-09-10 07:22:44張艷馨連春興
    中國數(shù)學教育(初中版) 2021年6期
    關鍵詞:復習效率二次函數(shù)復習課

    張艷馨 連春興

    摘? 要:文章以敘事的方式展現(xiàn)了一節(jié)給基礎薄弱班級講授的二次函數(shù)復習課. 本節(jié)課沒有沿概念、解析式、圖象、性質的脈絡展開,而是通過一個簡單的問題情境構建二次函數(shù)模型,促進了學生的課堂參與度,為改善基礎薄弱班級的教學、提升復習效率提供了諸多有益的啟示.

    關鍵詞:二次函數(shù);復習課;復習效率

    一個特殊的機緣,在海南省支教的連春興老師(以下統(tǒng)稱“執(zhí)教教師”)走進了三亞市某校九年級的一個特殊班,并為他們上了一節(jié)二次函數(shù)的復習課. 這個班之所以特殊,是因為學生基礎普遍薄弱,課堂教學秩序較亂. 面對這樣的群體應該如何上課,尤其是復習課,該校教師一直在探索. 大家邀請執(zhí)教教師為該班上一節(jié)課,以便學習和交流. 因此,在毫無準備的情況下,一節(jié)“即興課”產生了.

    一、課堂概述

    由于事出突然,且學生的學習習慣不好、知識基礎薄弱,所以本節(jié)課知識含量較少,課堂上更多的是執(zhí)教教師在組織教學,調動學生的學習積極性. 為不失真,筆者不忍簡約,以敘事方式呈現(xiàn)這節(jié)二次函數(shù)復習課,并扼要概括.

    1. 聯(lián)絡感情,提出問題

    當執(zhí)教教師與聽課教師一行數(shù)人進入教室時,只見全班三十余名學生,有趴在桌子上睡覺的,有嬉笑打鬧的,有幾個男生竟躺在椅子上,腳放在桌子上,敲出陣陣聲響,沒有一點上課的意思.

    面對此景,執(zhí)教教師省略了“上課起立”環(huán)節(jié),親切、平靜地說:“同學們,請坐好,睡覺的同學請睜開眼睛,看看我這個來自北京的老頭,今天我想和大家一起幫你們的家長完成一項設計.”

    幾句別致的開場白吸引了學生的注意,除幾位進入夢鄉(xiāng)的學生外,大家紛紛坐好,目光集中到執(zhí)教教師身上. 這時,執(zhí)教教師并沒有著急叫醒睡著的學生,而是面帶笑容繼續(xù)說道:“你們都在海邊長大,都熟悉灘涂荒地. 村里領導為改善土質,發(fā)給每戶100米扎籬笆墻的材料,扎成平面是矩形的圍欄,圈養(yǎng)雞、鴨,或牛、羊,當然面積越大越好,請同學們探索矩形面積最大時的長和寬.”

    執(zhí)教教師邊說邊在黑板上寫出“100米籬笆墻、矩形面積最大、求矩形的長和寬”幾個關鍵詞.

    2. 解決問題,概括猜想

    此時,學生面面相覷,不知所云. 為了啟發(fā)學生,執(zhí)教教師在黑板上畫了一個扁長的矩形,標出其長為49米、寬為1米,并問大家這個方案是否可行.

    沉寂片刻,一名一直趴在桌子上的學生回答道:“老師,這個方案不行. 您畫的矩形面積是49平方米,我設計了一個長48米、寬2米的矩形,面積是96平方米,比您畫的矩形面積大.”

    看著這名對激發(fā)其他學生學習興趣立下大功的學生,執(zhí)教教師高興地說:“你真棒!看來你是裝睡啊.”一句詼諧的話語引發(fā)學生哄堂大笑,教室里沉悶的氣氛一掃而光,學生熱烈爭論起來. 執(zhí)教教師及時寫出大家的意見,將一串面積一個比一個大的矩形邊長先后呈現(xiàn)在黑板上,即1 × 49,2 × 48,3 × 47,…,23 × 27,24 × 26,25 × 25,最后,經過師生共同努力,確認當矩形的長和寬都為25米時矩形面積最大. 此時課堂氣氛達到高潮.

    執(zhí)教教師高度贊揚了為找到矩形最大面積做出貢獻的學生,表揚他們應用數(shù)學知識為家長排憂解難,提供利益最大化的設計方案. 此話一出,又一次引發(fā)學生會心的笑聲. 只見執(zhí)教教師凝住微笑,向大家發(fā)問:“哪位同學能用一句話概括一下我們發(fā)現(xiàn)的結論.”

    又是沉寂片刻,一名坐在前排的學生回答:“正方形面積比長方形面積大.”執(zhí)教教師聽到后,在黑板上畫了兩個面積懸殊的小正方形和大長方形,再次引發(fā)學生哈哈大笑. 執(zhí)教教師說:“從大家的笑聲來看,正方形面積比長方形面積大需要一個前提,誰能把這個前提補充上?”另一名學生補上了“周長不變”的前提.

    3. 證明猜想,引出主題

    隨后,執(zhí)教教師冷靜地分析道:“剛才同學們通過矩形長、寬的此消彼長,發(fā)現(xiàn)了‘當矩形周長不變時,正方形面積最大’,但這個發(fā)現(xiàn)僅僅建立在計算少數(shù)幾個矩形面積的基礎上. 在周長不變的前提下,矩形的長和寬可以隨意改變,如24.9 × 25.1,24.99 × 25.01等,我們很難憑計算一一驗證核實矩形的長和寬相等時面積最大,所以我們此處的發(fā)現(xiàn)只是個猜想,不能算是正確的命題,而數(shù)學中的真命題是需要經過嚴格證明的. 請問,哪位同學能證明周長是100米的矩形,長和寬相等時面積最大?”

    大概是執(zhí)教教師預感到學生解決這個問題會有困難,于是在黑板上畫出一個矩形,提示道:“這個矩形的周長是100米,面積隨邊長的變化而變化. 因此,我們可以設矩形的長為x(寬由幾名學生附和著說出是50 - x),那么,矩形的面積[S]能否由[x]來表示?”

    當一名學生在黑板上寫出[S=x50-x=-x2+50x],并識別出[S]是關于x的二次函數(shù)后,執(zhí)教教師又啟發(fā)道:“利用二次函數(shù)解析式可以證明矩形是正方形時,即當x = 25時,面積[S]取最大值. 那么,誰能來解決這個問題?”

    見學生相互對視,無一人回答,執(zhí)教教師解釋道:“解決這個問題時,可能有學生想到利用二次函數(shù)圖象確定頂點坐標,然后直接回答當橫坐標x = 25時,縱坐標[S]的最大值為625.”執(zhí)教教師隨手畫出如下圖所示的示意圖,繼續(xù)說道:“但這涉及如何畫函數(shù)圖象、確定頂點坐標及為什么二次函數(shù)圖象的頂點最高等一系列二次函數(shù)的性質. 這些知識大家可能遺忘了,我們明天復習. 今天我們解決此題不需要函數(shù)的性質,只需要運用八年級學習的配方法就足夠了,即[S=-x2-50x=][-x2-50x+252-252=-x-252+625.]觀察此式,只有當625 - 0時,[S]取最大值. 因為當625減其他正數(shù)時,[S]的值都不是最大的,625減負數(shù)時結果更大些,但完全平方數(shù)不可能為負,所以當[x-252=][0,] 即當[x=50-x=25,] 矩形為正方形時,矩形面積[S=625,] 為最大值. 于是,命題得證. 利用這種方法尋找最大(?。┲?,是二次函數(shù)有別于其他函數(shù)的獨有特征. 當二次函數(shù)解析式的系數(shù)a,b,c比較簡單時,大家可以利用配方法解決問題. 如果你們有興趣,不妨仿照此法,推導一下一般二次函數(shù)的頂點坐標公式,為明天的復習課做些準備.”至此,恰好下課.

    二、課后反思

    課后,筆者與執(zhí)教教師進行了深入交流,當問及他上課的感想時,他表達了兩個意思. 第一,這是一個特殊的班級. 首先,缺乏正常的家庭、學校管理教育,如上課之初許多學生的行為不規(guī)范;其次,數(shù)學基礎薄弱,如課堂上利用配方法解決最值問題時,教師被迫唱了“獨角戲”. 面對這樣的班級,我們要滿腔熱情、想方設法拉近與學生的情感距離,并實時給予恰當?shù)墓膭?,以讓學生擺脫破罐破摔的心態(tài),增強學好數(shù)學的自信心. 第二,在中考復習課中,基礎薄弱的學生由于遺忘、基礎不牢等原因,可能復習課形同新授課. 這種情況下,憑借概念羅列、例題選講這些傳統(tǒng)做法,學生很難參與其中,效果微乎其微. 而如何促進學生的課堂參與度,提升復習效果,把學科育人的目標落到實處,執(zhí)教教師在課堂教學中似乎給出了回答. 認真回味執(zhí)教教師的話,反思本節(jié)課各個環(huán)節(jié),除了包括他細膩的精神撫慰在內的適切教學行為外,在課堂設計上,至少有如下三個方面值得借鑒.

    1. 教師要準確評估學生的認知水平

    一位初來乍到的教師上的“即興課”,難免存在這樣或那樣的遺憾. 但從整體上看,本節(jié)課進行得還是比較順利的,這很大程度上得益于執(zhí)教教師對學生基礎相對準確的預判. 在與執(zhí)教教師的交流中,得知他確信學習是少年兒童的天性,只要遇到感興趣的問題,且沒有超出他們的認知范圍,他們一定會熱衷參與、探究解決. 在本節(jié)課之初,執(zhí)教教師預判這個班的學生不會反感幫家長設計圍欄,應該能計算兩位數(shù)的乘法,知道矩形包括長方形和正方形,矩形面積等于長乘以寬,懂得比較數(shù)的大小,通過試數(shù)運算對比,得到“矩形的長和寬分別為25和25時,矩形面積最大”. 因此,這樣帶有激趣性質的問題情境,為本節(jié)課中學生順利進入狀態(tài)、積極參與課堂活動奠定了良好的基礎. 當然,一個好的問題情境的創(chuàng)設,不僅要符合學生的認知基礎,更重要的是隨著問題的解決,要逐步揭示知識主題. 正像本節(jié)課中,由“一個矩形周長不變,面積何時最大”的討論,生成猜想及證明,把學習活動一步步推向高潮,順利進入二次函數(shù)的主題,這是課堂教學的重心所在.

    2. 盡力追求自然平實、邏輯貫通的教學境界

    準確預判學生的認知基礎,只能幫我們確定課堂的思維起點,更重要的是,教師要創(chuàng)造條件,促使學生思維在課堂上合理延伸,而這恰恰是基礎薄弱學生的軟肋. 我們觀察數(shù)學成績不佳者在解決一個陌生問題時的思維狀態(tài),發(fā)現(xiàn)其共性特征是對基礎知識理解不到位而造成的思維無序. 最大限度地解決好“思維無序”問題,促成思維的合理延伸,追求自然平實、邏輯貫通的教學境界,是一個重要的教學策略. 反觀執(zhí)教教師的課,從在灘涂荒地上設計定長圍欄開始,到引導學生歸納猜想,發(fā)現(xiàn)正方形面積最大,再到構建二次函數(shù)模型,進行論證猜想正確,整個過程自然平實、邏輯貫通,沒有大起大落的思維轉換,學生只需沿著問題合理的發(fā)展走向持續(xù)思考,即使遇到二次函數(shù)最值這樣似乎關聯(lián)函數(shù)性質的問題,課堂上也沒有復習性質,而是利用二次三項式可以配方變形的獨有特質,順利解決問題. 這樣始終沿著一個線索思考問題、訓練解決問題的能力,對那些因基礎知識理解不到位而思維無序的學生來說,可謂“對癥下藥”.

    3. 關于“演繹式”復習與“歸納式”復習效率的思辨

    在關注“思維起點”“思維延伸”等問題后,我們自然進入對復習模式與效率的思辨. 一般而言,在單元復習之初,有的教師習慣先利用PPT展示本單元知識的邏輯結構、思維導圖等,然后再進行例題、練習題的訓練,我們不妨把這種復習方式稱為“演繹式”復習. 這樣做的好處是有利于學生整體把握知識. 對于優(yōu)等生來說有一定的合理性,但對于學困生來說,本就對平時學習的知識理解不到位,現(xiàn)在一起展示出那么多數(shù)量、位置、邏輯關系,學生對于這些結論是怎么來的,早已遺忘. 若由學生現(xiàn)場推演,顯然時間不允許,而不知來龍去脈的知識內容很難記憶,即便暫時記住,也不可能靈活運用. 因此,這種復習方式將大大減損復習效果. 這可能也是許多教師的教學困惑所在.

    觀察本節(jié)課,沒有沿二次函數(shù)的概念、解析式、圖象、性質的脈絡展開教學,而是從確定矩形的長和寬、計算面積出發(fā),不給問題貼任何知識的“標簽”,把學生推至解決問題的前沿,只要求他們利用自己原有的知識經驗解決問題,一步步形成猜想. 這種方式解決了“演繹式”復習的知識羅列使學生無從參與的弊端. 當然,與新授課相比,此處的知識生成節(jié)奏要盡量快一些,以學生能承受為主,我們不妨把這種復習方式稱為“歸納式”復習. 這種方式對于優(yōu)等生來說似乎沒有必要,但對于學困生來說,可以彌補平時學習的漏洞,在不斷解決問題中復習概念、歸納知識,在不斷歸納中穿插演繹,最終實現(xiàn)對知識的結構性把握,從而達到復習目的. 兩種復習方式的效率對比,優(yōu)劣立判.

    三、結束語

    教育關系著民族的未來,而數(shù)學教育在提升人的素養(yǎng)方面承擔著獨有的育人功能. 本節(jié)課是為基礎薄弱學生授課的實踐,局限性很大,執(zhí)教教師也無力改變什么,但他在改善基礎薄弱學生的學習狀態(tài)、提升學習效率方面所做的努力,卻給我們留下了一些有益的思考. 衷心希望廣大同行指正,并參與我們的討論.

    參考文獻:

    [1]連春興. 再論“問題導學”[J]. 中小學數(shù)學(高中版),2015(3):1-6.

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