幾何直觀能力在格點(diǎn)試題中的表征

姜曉翔 倪金根

摘? 要：教學(xué)中，越來越重視對學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng). 格點(diǎn)試題中滲透著對于幾何直觀能力的深度考查，通過對格點(diǎn)試題進(jìn)行多角度分析，剖析幾何直觀能力在格點(diǎn)試題中的表征，即目標(biāo)定位和價值導(dǎo)向，能帶來更有價值的教學(xué)啟示.

關(guān)鍵詞：幾何直觀;格點(diǎn)試題;畫圖操作;圖形變換;數(shù)形結(jié)合;分類意識

近年來，以“格點(diǎn)”為背景的試題以其考查范圍廣、知識覆蓋面大、思維含量高、蘊(yùn)涵多種數(shù)學(xué)思想，以及區(qū)分度明顯等特征，越來越受到中考命題者的青睞. 自2006年以來，浙江省湖州市中考中出現(xiàn)了一大批思維含量較高的優(yōu)質(zhì)格點(diǎn)試題. 幾何直觀即依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，在解決格點(diǎn)試題的過程中，幾何直觀能力起著至關(guān)重要的作用. 筆者以2006年以來浙江省湖州市中考試卷中出現(xiàn)過的格點(diǎn)試題為例，芻議這類試題在考查學(xué)生幾何直觀能力時的目標(biāo)定位和價值導(dǎo)向.

一、格點(diǎn)試題的發(fā)展演變歷程

1. 起步階段的格點(diǎn)試題——方案最優(yōu)化和最值問題相結(jié)合

隨著新課程改革的推進(jìn)，全國各地區(qū)的中考試題也在不斷創(chuàng)新. 2006年中考浙江湖州卷填空題最后一道題是一道“青蛙跳”格點(diǎn)試題，由此正式拉開了浙江省湖州市中考格點(diǎn)試題發(fā)展歷程的序幕.

例1 （2006年浙江·湖州卷）一青蛙在如圖1所示的8 × 8的正方形（每個小正方形的邊長為1）網(wǎng)格的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上跳躍，青蛙每次所跳的最遠(yuǎn)距離為[5，] 青蛙從點(diǎn)A開始連續(xù)跳六次正好跳回到點(diǎn)A，則所構(gòu)成的封閉圖形的面積的最大值是? ? ?.

解析：如圖2，青蛙從點(diǎn)A開始連續(xù)跳六次正好跳回到點(diǎn)A，它所跳過的線段組成的圖形是六邊形，且邊長為[5，] 六邊形的面積為12.

【評析】此題起點(diǎn)較低，幾乎所有學(xué)生都能動手嘗試，這是命題者的初級考查目標(biāo)定位. 此題屬于方案最優(yōu)化類型，滿足條件的封閉圖形有多種可能，然而面積最大方案決定了答案的唯一性，考查了學(xué)生直觀想象和動手操作實(shí)踐的能力.

2. 探索階段的格點(diǎn)試題——幾何圖形的分類討論問題

“青蛙跳”格點(diǎn)試題的出現(xiàn)受到了廣泛關(guān)注與好評，由此湖州市中考格點(diǎn)試題進(jìn)入了進(jìn)一步嘗試與探索的階段，開始融入初中階段的核心幾何圖形，并嘗試結(jié)合分類討論來命制思維含量更高的試題.

例2 （2007年浙江·湖州卷）如圖3，點(diǎn)A是5 × 5網(wǎng)格圖形中的一個格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），圖中每個小正方形的邊長為1，以A為其中的一個頂點(diǎn)，面積等于[52]的格點(diǎn)等腰直角三角形（三角形的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn)）的個數(shù)是（? ? ）.

（A）10? ? ? ? ? ? ? ?（B）12

（C）14? ? ? ? ? ? ? ?（D）16

解析：由等腰直角三角形的面積等于[52，] 可知直角邊長分別為[5.] 分兩種情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)A位于直角頂點(diǎn)時，存在8種情況;（2）當(dāng)點(diǎn)A位于45°角的頂點(diǎn)時，同樣存在8種情況. 所以一共有16個滿足要求的等腰直角三角形. 故此題選擇選項(xiàng)D.

【評析】此題作為2007年中考試卷選擇題的最后一道題，起到了較好的區(qū)分效果. 分類討論既是此題的亮點(diǎn)也是難點(diǎn)，重復(fù)和遺漏是學(xué)生的主要丟分原因，因此此題的目標(biāo)定位是考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力. 學(xué)生需要先直觀想象出所有可能情形，再按照特定的順序去找，如此便能不重不漏地解決問題.

3. 生長階段的格點(diǎn)試題——曲線型圖形問題的探索

在經(jīng)歷了前兩個階段的嘗試和探索之后，格點(diǎn)試題已逐步被廣大師生所重視，隨之而來的是對其進(jìn)一步地探索與研討. 然而，之前的格點(diǎn)試題所涉及的圖形均為直線型圖形（即由線段組成的幾何圖形），于是，命題者開始將格點(diǎn)試題進(jìn)行拓展延伸——由直線型圖形向曲線型圖形生長與發(fā)展，拋物線、圓等曲線型圖形加入格點(diǎn)試題也就勢在必行了.

例3 （2009年浙江·湖州卷）已知圖4中的每個小方格都是邊長為1的小正方形，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，試在圖中任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經(jīng)過81個格點(diǎn)中的個數(shù)是（? ? ）.

（A）6? ? ? ? ? ? ? ?（B）7

（C）8? ? ? ? ? ? ? ?（D）9

解析：對于此題，發(fā)現(xiàn)如圖5所示的拋物線[y=12x2-][12x]的圖象所經(jīng)過的格點(diǎn)數(shù)最多，即經(jīng)過的點(diǎn)為整點(diǎn)坐標(biāo)的個數(shù)最多，有8個，故此題選擇選項(xiàng)C.

例4 （2010年浙江·湖州卷）試在如圖6所示的12 × 12的網(wǎng)格圖形中任意畫一個圓，則所畫的圓最多能經(jīng)過169個格點(diǎn)中的? ? ? ? ? 個格點(diǎn).

解析：此題與例3有些類似，只要通過嘗試與操作，找到一個以中間的格點(diǎn)為圓心、5個單位長度為半徑的⊙O，就能過最多格點(diǎn)，格點(diǎn)數(shù)為12個，如圖7所示.

【評析】例3和例4兩道題屬于同類格點(diǎn)試題，分別為當(dāng)年中考浙江湖州卷選擇題最后一道題和填空題最后一道題，均為難度和區(qū)分度較大的壓軸題. 面對這樣的試題，學(xué)生難以快速找到解題思路，只能通過不斷地嘗試與操作，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系. 例3、例4和其他的格點(diǎn)試題略有不同，涉及的圖形為曲線圖形，學(xué)生在進(jìn)行直觀想象和畫圖操作時都遇到了困難，進(jìn)行嘗試與操作的次數(shù)也會增多. 平移變換作為幾何直觀能力的一種表征，在該類試題中所起的作用較大，利用數(shù)形結(jié)合思想中的“以數(shù)解形”來驗(yàn)證，進(jìn)而解決問題. 不難發(fā)現(xiàn)，該類試題的目標(biāo)定位增加了利用圖形變換的幾何直觀表征來化歸類似相關(guān)情形的分析.

4. 深化階段的格點(diǎn)試題——立意和素養(yǎng)的提升

格點(diǎn)試題發(fā)展到生長階段之后，已逐步涵蓋初中階段所學(xué)習(xí)的所有圖形，但是格點(diǎn)試題的題型仍然較為單一，思維含量也略顯不足，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透也很有限，似乎進(jìn)入了發(fā)展的瓶頸期. 然而，新定義的融入標(biāo)志著浙江省湖州市中考格點(diǎn)試題的發(fā)展正式進(jìn)入了一個質(zhì)的提升階段——深化階段.

例5 （2017年浙江·湖州卷）在每個小正方形的邊長為[1]的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn). 從一個格點(diǎn)移動到與之相距[5]的另一個格點(diǎn)的運(yùn)動稱為一次跳馬變換. 例如，在4 × 4的正方形網(wǎng)格圖形中（如圖8），從點(diǎn)A經(jīng)過一次跳馬變換可以到達(dá)點(diǎn)B，C，D，E等處. 現(xiàn)有20 × 20的正方形網(wǎng)格圖形（如圖9），則從該正方形的頂點(diǎn)M經(jīng)過跳馬變換到達(dá)與其相對的頂點(diǎn)N，最少需要跳馬變換的次數(shù)是（? ? ）.

（A）13? ?（B）14? ?（C）15? ?（D）16

解析：此題的解題思路較多，最自然的解法是先確定盡可能走對角線的方法，然后探究得到走3 × 3正方形網(wǎng)格的對角線最少需要2次完成. 若將20 × 20正方形網(wǎng)格先劃分出6個3 × 3正方形網(wǎng)格，剩下2 × 2正方形網(wǎng)格至少需要4次完成，則總共需要12 + 4 = 16（次）;若將20 × 20正方形網(wǎng)格先劃分出5個3 × 3正方形網(wǎng)格，剩下5 × 5正方形網(wǎng)格至少也需要4次完成，則總共需要10 + 4 = 14（次），故20 × 20正方形網(wǎng)格最少需要14次完成. 此題也可以用找規(guī)律法、坐標(biāo)法、方程整數(shù)解法等來解決.

【評析】例5是2017年中考浙江湖州卷選擇題的壓軸題，題目通俗易懂，在考查數(shù)學(xué)知識的同時也兼顧了對數(shù)學(xué)思想與能力的考查. 雖然給出了新定義“跳馬變換”，但閱讀量少，圖形簡單，有利于消除學(xué)生緊張、焦慮、畏難等不良情緒. 圖形中從點(diǎn)A可以跳到B，C，D，E幾點(diǎn)這個信息的給出為學(xué)生指明了問題解決的方向，有助于增強(qiáng)學(xué)生的解題信心. 此題在解答過程中計算量小，思維含量大，體現(xiàn)了“少算多思”的命題特點(diǎn). 雖然起點(diǎn)是網(wǎng)格中的線段，但落腳點(diǎn)是圖形的變換，生長點(diǎn)是圖形的變化規(guī)律. 從圖形變換的角度來分析，它考查了學(xué)生對運(yùn)動過程中點(diǎn)的運(yùn)動路徑的探索，學(xué)生經(jīng)歷了操作、觀察、思考、推理等數(shù)學(xué)活動過程;從圖形的規(guī)律來分析，它考查了學(xué)生對規(guī)律的探索，學(xué)生經(jīng)歷了觀察分析、合理推測、猜想結(jié)論等數(shù)學(xué)思維過程. 無論哪一方面都較好地實(shí)現(xiàn)了對過程性目標(biāo)的考查，如果學(xué)生缺乏縝密的思維與扎實(shí)的基本功，則不易想到解題思路，這也體現(xiàn)了對學(xué)生能力考查的創(chuàng)新性. 綜上所述，例5需要學(xué)生具備一定的空間想象能力，滲透了數(shù)形結(jié)合與圖形變換等數(shù)學(xué)思想方法. 學(xué)生的幾何直觀能力在解決此題的過程中得以充分體現(xiàn).

5. 優(yōu)化階段的格點(diǎn)試題——與數(shù)學(xué)文化等深層次考查相結(jié)合

格點(diǎn)試題在經(jīng)歷了起步、探索、生長、深化階段之后，逐步走向成熟，然而如果用較高的標(biāo)準(zhǔn)來衡量，會發(fā)現(xiàn)很多試題中還缺少一些元素. 如果能融入數(shù)學(xué)文化等素養(yǎng)元素，定能起到優(yōu)化試題的效果. 接下來看一道經(jīng)典的格點(diǎn)試題——“格點(diǎn)弦圖”.

例6 （2018年浙江·湖州卷）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn). 以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖. 例如，在如圖10所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長為[65，] 此時正方形EFGH的面積為5. 問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長為[65]時，正方形EFGH的面積的所有可能值是? ? ? ? ? .（不包括5）

解析：格點(diǎn)試題的最大特性是需要分類討論，此題需要分三種情況討論.

情況1：如圖11，當(dāng)[DG=8，CG=1]時，滿足[DG2+][CG2=CD2.] 此時[HG=7，] 可得正方形EFGH的面積為49.

情況2：如圖12，當(dāng)[DH=13，CH=213]時，滿足[DH2+CH2=CD2.] 此時[HG=13，] 可得正方形EFGH的面積為13.

情況3：如圖13，當(dāng)[DG=7，CG=4]時，滿足[DG2+][CG2=CD2.] 此時[HG=3，] 可得正方形EFGH的面積為9.

故此題答案為9或13或49.

【評析】此題中，格點(diǎn)弦圖的新定義與弦圖數(shù)學(xué)文化的融入讓人眼前一亮，將格點(diǎn)問題推向了一個新的高度——畫圖操作層面. 可利用“直徑所對的圓周角是直角”借助圓規(guī)進(jìn)行畫圖嘗試. 分類討論層面，更是升級至二級分類，一級分類是對于大正方形的邊長AD進(jìn)行分類，二級分類是對小正方形的邊長HG進(jìn)行分類. 多數(shù)學(xué)生漏掉了答案“9”，原因就是忽略了對于大正方形的邊長AD進(jìn)行的一級分類. 數(shù)形結(jié)合層面，勾股定理的計算和驗(yàn)證確保了分類的存在性;圖形變換層面，弦圖中本就蘊(yùn)涵著的旋轉(zhuǎn)思想，決定了在變換過程中的四個直角三角形全等. 由此可見，幾何直觀能力在例6中達(dá)到了極高的價值體現(xiàn).

二、幾何直觀能力的價值體現(xiàn)與教學(xué)啟示

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題. 借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，并預(yù)測結(jié)果. 幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用. 上述六道格點(diǎn)試題反映了浙江省湖州市十多年來中考格點(diǎn)試題的發(fā)展歷程，在這些試題中，幾何直觀能力均有不同程度的體現(xiàn)，從中也能得到相關(guān)的教學(xué)啟示.

1. 鼓勵畫圖操作，展開圖形思考

從上述六道典型的格點(diǎn)試題中，不難發(fā)現(xiàn)每道試題均需要通過多次畫圖操作來直觀地展開圖形進(jìn)行思考. 然而，畫圖操作也需要講究策略，當(dāng)格點(diǎn)數(shù)較少時可直接畫圖進(jìn)行分析思考，但是當(dāng)格點(diǎn)數(shù)較多時，可以采用“局部畫圖 + 聯(lián)想整體”的畫圖操作策略，即通過局部分析，再類比聯(lián)想整體情況進(jìn)行思考.

總之，畫圖操作是解決格點(diǎn)試題的基礎(chǔ). 在教學(xué)中，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣是非常重要的. 可以通過多種途徑和方式使學(xué)生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路帶來的益處，能畫圖時盡量畫，其實(shí)質(zhì)是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數(shù)學(xué)過程變得直觀，有利于展開形象思維.

2. 關(guān)注圖形變換，挖掘本質(zhì)特征

幾何變換和圖形的運(yùn)動是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，它既是學(xué)習(xí)的對象，也是認(rèn)識數(shù)學(xué)的思想和方法. 在上述格點(diǎn)試題中，例3涉及拋物線的平移變換，例2和例6兩題涉及三角形的旋轉(zhuǎn)變換，通過對圖形變換的滲透與分析，方能做到不重不漏地找出全部正確的情況，進(jìn)而得出結(jié)果.

在教學(xué)中，教師要多引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在幾何圖形中的圖形變換，具體體現(xiàn)在三個層面：一是圖形本身自帶的圖形變換，如等腰三角形等軸對稱圖形、平行四邊形等中心對稱圖形;二是在一個圖形中的其中兩個部分存在著某種變換關(guān)系;三是構(gòu)造出某種變換下的對應(yīng)圖形. 充分利用變換去認(rèn)識、理解幾何圖形，并從中進(jìn)一步挖掘圖形的本質(zhì)特征，進(jìn)而解決問題，這是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的有效辦法.

3. 注重數(shù)形結(jié)合，精準(zhǔn)識別圖形

在義務(wù)教育階段，許多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容和概念都具有“數(shù)”和“形”兩個方面的特征，學(xué)會從這兩個方面認(rèn)識數(shù)學(xué)對象是非常重要的，即數(shù)形結(jié)合是認(rèn)識數(shù)學(xué)的基本方法，與其說是方法，不如說是基本要求. 上述格點(diǎn)試題中，例1、例2和例5中都出現(xiàn)了[5，] 即1 × 2矩形的對角線，例3和例4是求將兩種曲線放在平面直角坐標(biāo)系中，所經(jīng)過的整點(diǎn)坐標(biāo)，例6是求滿足大正方形的邊長為[65]時的小正方形面積. 以上這些均需要從數(shù)的角度去分析、求解及驗(yàn)證，正所謂“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，“數(shù)”需要“形”來展開形象思維，“形”需要“數(shù)”來精準(zhǔn)的識別和驗(yàn)證.

在教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生明白“數(shù)”與“形”之間存在著密不可分的關(guān)系，并逐漸發(fā)展成一種對“數(shù)”與“形”之間的轉(zhuǎn)化意識.

4. 加強(qiáng)分類意識，培養(yǎng)縝密思維

分類思想是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維是否縝密的關(guān)鍵要素. 上述六道格點(diǎn)試題中均用到了分類討論思想，其中，例1、例3、例4和例5需要利用分類思想找到滿足條件的答案，例2和例6則需要利用分類思想不重不漏地尋找到滿足條件的正確結(jié)果.

由此可見，格點(diǎn)試題與分類思想密不可分，因此，格點(diǎn)試題能較好地考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的縝密性. 在教學(xué)中，教師應(yīng)該抓住可以提升學(xué)生分類思想意識的教學(xué)時機(jī)，選擇合適的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性. 當(dāng)然，這不只體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，即使推廣到學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和生活中，分類意識及思維的縝密性也會充分彰顯其育人價值.

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘珍玖，金楊建.“小格點(diǎn)”彰顯“大格局”：2017年中考數(shù)學(xué)“格點(diǎn)”試題的價值探析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2017（11）：70-72.

[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解讀[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]褚杰新. 網(wǎng)格“跳”出新意? 精彩源于簡約[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2017（9）：43-45.