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    巧設(shè)數(shù)學(xué)習(xí)題 培養(yǎng)高階思維

    2021-09-10 07:22:44蔣梅
    關(guān)鍵詞:創(chuàng)新學(xué)習(xí)高階思維

    蔣梅

    摘? 要:在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)階段,通過(guò)不同類(lèi)型數(shù)學(xué)課習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí);在中考綜合復(fù)習(xí)階段,通過(guò)讓學(xué)生從解答習(xí)題到改編習(xí)題,開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí). 在完成教師設(shè)計(jì)的習(xí)題問(wèn)題過(guò)程中,學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從解題到編題的進(jìn)階訓(xùn)練,學(xué)生的分析與綜合、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造性思維能力得到訓(xùn)練,培養(yǎng)了高階思維.

    關(guān)鍵詞:習(xí)題改編;創(chuàng)新學(xué)習(xí);高階思維

    發(fā)展思維是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中能力培養(yǎng)的核心. 培養(yǎng)學(xué)生的高階思維,提升學(xué)生的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù). 精心設(shè)計(jì)習(xí)題,是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的重要途徑之一. 高水平提問(wèn)的基本點(diǎn)包括:反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì);在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi),對(duì)學(xué)生思維形成挑戰(zhàn)性;具有可發(fā)展性,形成系列問(wèn)題;具有可模仿性,實(shí)現(xiàn)從“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問(wèn),展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過(guò)渡.

    通過(guò)精心設(shè)計(jì)習(xí)題問(wèn)題,可以讓學(xué)生在習(xí)題的解答過(guò)程中產(chǎn)生較高認(rèn)知水平的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)知能力. 本文按照不同階段數(shù)學(xué)習(xí)題承載的任務(wù),進(jìn)行分階段的習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì),力求培養(yǎng)學(xué)生的高階思維. 主要分為在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)階段,以習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí);在中考綜合復(fù)習(xí)階段,以改編習(xí)題的方式開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí).

    一、巧設(shè)習(xí)題問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)

    在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)階段,教師可以根據(jù)不同類(lèi)型的知識(shí)內(nèi)容,設(shè)計(jì)不同層次的習(xí)題,聚焦當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì),以學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)為出發(fā)點(diǎn),對(duì)學(xué)生的思維形成一定的挑戰(zhàn)性,這是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的基礎(chǔ).

    1. 在新授課教學(xué)中,習(xí)題問(wèn)題指向近階段的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容

    在正方形的新授課中,為鞏固正方形的性質(zhì),把正方形的性質(zhì)融入學(xué)生已有的知識(shí)體系中,設(shè)計(jì)了如下題目.

    題目1? 在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,

    (1)求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

    (2)如圖1,若BE平分∠DBC,交邊AC于點(diǎn)F,求∠ABF的度數(shù)和CF的長(zhǎng).

    (3)在(2)的條件下,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G,使BG = BD,連接DG,延長(zhǎng)BE交DG于點(diǎn)H. 求證:BE = DG.

    以上題目從鞏固正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系,到利用對(duì)角線平分對(duì)角這一性質(zhì),聯(lián)系已有的“等角對(duì)等邊”知識(shí),把正方形的鄰邊相等、四個(gè)角都是直角等性質(zhì)與等腰三角形“三線合一”、三角形全等知識(shí)相融合,將正方形的性質(zhì)融入學(xué)生已有的知識(shí)體系中. 問(wèn)題設(shè)計(jì)既指向正方形的性質(zhì),又把正方形的性質(zhì)與學(xué)生已有的三角形相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái).

    2. 在章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)中,習(xí)題問(wèn)題要有綜合性和思維挑戰(zhàn)性

    在章節(jié)復(fù)習(xí)課中,需要對(duì)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行整理,可以以習(xí)題為載體提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì)既要有知識(shí)的綜合性,也要對(duì)學(xué)生的思維形成一定的挑戰(zhàn)性.

    在四邊形的章末習(xí)題課中,筆者設(shè)計(jì)了如下一道題目.

    題目2? 如圖2,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合),連接DE,G是邊BC上一點(diǎn),連接EG.

    (1)若∠EDG = 45°,點(diǎn)F在線段EG上,且是點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn),求證:GF = GC.

    (2)若EG = AE + CG,求證:∠EDG = 45°.

    (3)過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE,交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接BH,用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系,并證明.

    第(1)小題需要利用正方形的鄰邊相等,融合軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形全等的知識(shí)來(lái)解決,在知識(shí)方面有一定的綜合性;第(2)小題是把第(1)小題的條件與結(jié)論進(jìn)行了互換,讓學(xué)生能學(xué)會(huì)逆向思考,拓展思維;第(3)小題綜合應(yīng)用正方形與等腰直角三角形的性質(zhì),是一個(gè)結(jié)論未知的開(kāi)放性問(wèn)題,對(duì)學(xué)生的思維具有挑戰(zhàn)性.

    3. 在階段綜合復(fù)習(xí)教學(xué)中,可設(shè)計(jì)系列習(xí)題問(wèn)題

    這里的階段綜合復(fù)習(xí),是指學(xué)期的期末考試復(fù)習(xí). 習(xí)題設(shè)計(jì)可以以一個(gè)基礎(chǔ)題為背景,在此基礎(chǔ)上不斷挖掘可以得到的系列結(jié)論.

    題目3? 如圖3,正方形ABCD中,AC是對(duì)角線,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),連接AE,點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE,垂足為點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)G.

    (1)若∠BAE = α,用含α的式子表示出∠AGF的大小;

    (2)求證:AE = FG;

    (3)線段CG與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?

    此題將正方形的對(duì)角線平分對(duì)角、三角形的內(nèi)角和與外角和的關(guān)系進(jìn)行融合. 在此基礎(chǔ)上,聯(lián)系等腰三角形的性質(zhì)與判定,再融入三角形全等和等腰直角三角形的邊角關(guān)系,形成一道開(kāi)放性的問(wèn)題. 這三道小題,前一個(gè)問(wèn)題為后一個(gè)問(wèn)題做了提示、鋪墊,問(wèn)題向開(kāi)放性發(fā)展,綜合性逐漸增加,思維難度逐漸增大,形成了系列問(wèn)題.

    二、從模仿到改編,開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí)

    在中考綜合復(fù)習(xí)階段,教師要設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)體系、滲透開(kāi)放性的習(xí)題問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)從“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí),激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問(wèn),展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過(guò)渡. 以下以四邊形綜合題專題復(fù)習(xí)為例,說(shuō)明如何用問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生從梳理知識(shí)體系到改編試題.

    1. 問(wèn)題導(dǎo)向,分析核心要素

    學(xué)生通過(guò)習(xí)題中的問(wèn)題引導(dǎo),完成對(duì)知識(shí)的回顧與梳理,加深理解,建立所有知識(shí)信息之間的聯(lián)系,自主建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

    在進(jìn)行四邊形專題復(fù)習(xí)時(shí),教師可以設(shè)計(jì)以下的題目.

    題目4? 如圖4,正方形ABCD中,AC是對(duì)角線,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且BE = BF,連接AE,AF,過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H,延長(zhǎng)FH交AC于點(diǎn)G.

    (1)找出圖中的基本圖形,并寫(xiě)出圖中相等的線段和相等的角;

    (2)線段GC與EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?

    試完成以下三個(gè)變式題的解答,并嘗試對(duì)題目4進(jìn)行改編.

    變式1:如圖5,在?ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),且AB = AE,連接EO并延長(zhǎng),交AD于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線,垂足為點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)G. 若∠ACB = 45°,求證:DF =[2]CG.

    變式2:如圖6,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合),連接AP,點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn),使得CQ = CP,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP,垂足為點(diǎn)H,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

    變式3:如圖7,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,點(diǎn)P是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接AP,點(diǎn)Q在直線BC上,且CQ = CP,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP,垂足為點(diǎn)H,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

    通過(guò)3道變式題幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚題目4的核心要素是等腰三角形和等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì). 這是實(shí)現(xiàn)學(xué)生自己改編試題和自主提問(wèn),以及展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí),實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)高階思維的前提.

    2. 任務(wù)分享,啟發(fā)學(xué)生深入思考

    把學(xué)生完成的改編習(xí)題進(jìn)行分享,分析、歸納出這些習(xí)題的共性,啟發(fā)學(xué)生深入思考. 以下是學(xué)生改編的部分習(xí)題.

    改編1:如圖8,在正方形ABCF中,點(diǎn)E在線段BC上,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D,使得BD = BE,連接AE. 過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE,垂足為點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N;過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC,垂足為點(diǎn)N,交CF于點(diǎn)H. 則線段HC與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

    改編2:如圖9,在△ABC中,AB = BC,∠ABC = 90°,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D,使得[DB=13BC]. 過(guò)點(diǎn)A作AF∥DC,且[AF=12DC,] 連接FC,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FC于點(diǎn)H,交AC于點(diǎn)N. 求證:[AF=2NC.]

    改編3:如圖10,在△AFC中,AF = AC,∠FAC = 90°,點(diǎn)D,E在線段CF上,且FD = EC. 連接AD,AE,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE,垂足為點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G. 求證:AN = 2GC.

    通過(guò)展示學(xué)生提出的有代表性的改編問(wèn)題,啟發(fā)學(xué)生歸納出改編習(xí)題時(shí)需抓住的關(guān)鍵要素. 在兩個(gè)等腰三角形中,其中一個(gè)等腰直角三角形的一個(gè)腰是另一個(gè)非等腰三角形底邊上的高,如圖11所示,等腰直角三角形ABC的直角邊AC也是等腰三角形APQ底邊PQ上的高. 改編時(shí),根據(jù)需要,可以適當(dāng)隱去部分線段. 這樣改編的題目的共同特點(diǎn)就是構(gòu)造三角形全等,利用等腰直角三角形的邊的關(guān)系解決問(wèn)題. 這為學(xué)生改編試題提供了思考的方向,是實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)高階思維的路徑之一.

    3. 再度出發(fā),歸納問(wèn)題本質(zhì)

    欣賞同伴改編的試題后,再次引導(dǎo)學(xué)生思考:如圖11,能否抓住△AQM與△APQ有公共腰AQ,且這兩個(gè)等腰三角形的底邊QP與AM所在直線相交成的角為45°這兩個(gè)關(guān)鍵元素進(jìn)行改編呢?這個(gè)能否成為改編的核心要素呢?經(jīng)過(guò)思考,得到以下改編試題.

    (1)如果兩個(gè)等腰三角形有一腰重合,且頂角的頂點(diǎn)也重合.

    改編1:如圖12,在△ABC和△ABD中,AB = AC = AD,∠DBC = 45°,AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證:[CF=2AE.]

    改編2:如圖13,在△ABC和△ABD中,AB = AC = AD,∠DBC = 45°,AE⊥BD,垂足為點(diǎn)E,延長(zhǎng)EA交BC于點(diǎn)F. 求證:[CF=2AE.]

    (2)如果兩個(gè)等腰三角形有一腰重合,但頂角的頂點(diǎn)不相同,得到以下的改編試題.

    改編3:如圖14,在△ABC和△ACD中,AB = AC = CD,DA的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E,且∠DEC = 45°. 求證:[AD=2BE.]

    改編4:如圖15,在△ABC和△ACD中,AB = AC = CD,AD與BC交于點(diǎn)E,∠DEC = 45°. 求證:[AD=2BE.]

    通過(guò)對(duì)一道題從不同角度進(jìn)行改編,訓(xùn)練學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性. 讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際例子的分析,感受到改編試題需要抓住核心要素. 聚焦點(diǎn)不同,改編出的試題也各異. 由此可見(jiàn),改編試題的思維路徑是多樣的.

    改編試題時(shí),學(xué)生需要先分析清楚原題的核心元素,找到可以變化的因素,并且需要找到變化后存在的正確結(jié)論,這個(gè)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較高認(rèn)知水平的心智活動(dòng).

    三、從解題到編題,培養(yǎng)高階思維能力

    高階思維能力是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)識(shí)能力,也是解決“劣構(gòu)”性問(wèn)題所必要的理性思維. 高階思維能力包括分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造能力.

    1. 設(shè)計(jì)好習(xí)題問(wèn)題的內(nèi)容,培養(yǎng)分析與綜合的能力

    在解題階段,通過(guò)習(xí)題問(wèn)題的設(shè)計(jì),讓學(xué)生自己建構(gòu)、完善知識(shí)體系,這是一種思維的架構(gòu). 同時(shí),在解答習(xí)題的過(guò)程中,讓學(xué)生分析清楚已知條件和未知問(wèn)題,思考由已知條件可以得到哪些結(jié)論,在增加什么條件下可以得到哪些新的結(jié)論,要得到這個(gè)結(jié)論需要什么條件,在這樣的思考過(guò)程中提升分析與綜合的思維能力.

    2. 設(shè)計(jì)好習(xí)題問(wèn)題的層次,培養(yǎng)評(píng)價(jià)能力

    有層次性的習(xí)題問(wèn)題可以幫助學(xué)生抓住習(xí)題中的核心和關(guān)鍵,把思維逐漸引向深入. 學(xué)生在習(xí)題問(wèn)題的引導(dǎo)下,從直接應(yīng)用到思考開(kāi)放性問(wèn)題,到自己改編試題,可以自己對(duì)試題的核心要素進(jìn)行選擇與保留,在與同伴交流的過(guò)程中,通過(guò)對(duì)同伴的解答做出評(píng)價(jià),培養(yǎng)學(xué)生具備一定的評(píng)價(jià)能力.

    3. 利用好生成的資源,培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力

    從完成習(xí)題的解答,到改編習(xí)題,整個(gè)過(guò)程中,學(xué)生完成習(xí)題時(shí)存在的問(wèn)題,是教師進(jìn)一步改編和完善習(xí)題的基礎(chǔ). 學(xué)生改編的習(xí)題,是教師對(duì)學(xué)生思維能力與水平了解的一種方式,這些都是教學(xué)可用的生成性資源. 學(xué)生在改編習(xí)題的過(guò)程中,通過(guò)與同伴分享,相互啟發(fā),促進(jìn)其深入思考,這是實(shí)現(xiàn)個(gè)性化創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的一種重要方式.

    通過(guò)對(duì)不同階段數(shù)學(xué)教學(xué)習(xí)題的不同設(shè)計(jì),啟發(fā)學(xué)生從理解題意開(kāi)始,從解題到模仿編題,分析、歸納改編試題的共性,認(rèn)識(shí)到綜合試題的核心要素,并進(jìn)行個(gè)性化的試題改編,開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí),讓學(xué)生從做題到研究題,促使認(rèn)知水平的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)知能力發(fā)生,實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生高階思維的培養(yǎng).

    參考文獻(xiàn):

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    [3]張淑清. 挖掘真題價(jià)值? 引領(lǐng)教學(xué)方向:以2017年北京市中考一道幾何綜合題為例談幾何教學(xué)[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版),2019(5):49-52,57.

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