巧設(shè)數(shù)學(xué)習(xí)題 培養(yǎng)高階思維

蔣梅

摘? 要：在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)階段，通過(guò)不同類(lèi)型數(shù)學(xué)課習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí);在中考綜合復(fù)習(xí)階段，通過(guò)讓學(xué)生從解答習(xí)題到改編習(xí)題，開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí). 在完成教師設(shè)計(jì)的習(xí)題問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了從解題到編題的進(jìn)階訓(xùn)練，學(xué)生的分析與綜合、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造性思維能力得到訓(xùn)練，培養(yǎng)了高階思維.

關(guān)鍵詞：習(xí)題改編;創(chuàng)新學(xué)習(xí);高階思維

發(fā)展思維是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中能力培養(yǎng)的核心. 培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，提升學(xué)生的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù). 精心設(shè)計(jì)習(xí)題，是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的重要途徑之一. 高水平提問(wèn)的基本點(diǎn)包括：反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì);在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，對(duì)學(xué)生思維形成挑戰(zhàn)性;具有可發(fā)展性，形成系列問(wèn)題;具有可模仿性，實(shí)現(xiàn)從“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問(wèn)，展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過(guò)渡.

通過(guò)精心設(shè)計(jì)習(xí)題問(wèn)題，可以讓學(xué)生在習(xí)題的解答過(guò)程中產(chǎn)生較高認(rèn)知水平的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)知能力. 本文按照不同階段數(shù)學(xué)習(xí)題承載的任務(wù)，進(jìn)行分階段的習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì)，力求培養(yǎng)學(xué)生的高階思維. 主要分為在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)階段，以習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí);在中考綜合復(fù)習(xí)階段，以改編習(xí)題的方式開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí).

一、巧設(shè)習(xí)題問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)

在基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)階段，教師可以根據(jù)不同類(lèi)型的知識(shí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)不同層次的習(xí)題，聚焦當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，以學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的思維形成一定的挑戰(zhàn)性，這是培養(yǎng)學(xué)生高階思維的基礎(chǔ).

1. 在新授課教學(xué)中，習(xí)題問(wèn)題指向近階段的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容

在正方形的新授課中，為鞏固正方形的性質(zhì)，把正方形的性質(zhì)融入學(xué)生已有的知識(shí)體系中，設(shè)計(jì)了如下題目.

題目1? 在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，

（1）求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

（2）如圖1，若BE平分∠DBC，交邊AC于點(diǎn)F，求∠ABF的度數(shù)和CF的長(zhǎng).

（3）在（2）的條件下，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使BG = BD，連接DG，延長(zhǎng)BE交DG于點(diǎn)H. 求證：BE = DG.

以上題目從鞏固正方形的對(duì)角線與邊長(zhǎng)的關(guān)系，到利用對(duì)角線平分對(duì)角這一性質(zhì)，聯(lián)系已有的“等角對(duì)等邊”知識(shí)，把正方形的鄰邊相等、四個(gè)角都是直角等性質(zhì)與等腰三角形“三線合一”、三角形全等知識(shí)相融合，將正方形的性質(zhì)融入學(xué)生已有的知識(shí)體系中. 問(wèn)題設(shè)計(jì)既指向正方形的性質(zhì)，又把正方形的性質(zhì)與學(xué)生已有的三角形相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái).

2. 在章節(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)中，習(xí)題問(wèn)題要有綜合性和思維挑戰(zhàn)性

在章節(jié)復(fù)習(xí)課中，需要對(duì)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行整理，可以以習(xí)題為載體提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 習(xí)題問(wèn)題設(shè)計(jì)既要有知識(shí)的綜合性，也要對(duì)學(xué)生的思維形成一定的挑戰(zhàn)性.

在四邊形的章末習(xí)題課中，筆者設(shè)計(jì)了如下一道題目.

題目2? 如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接DE，G是邊BC上一點(diǎn)，連接EG.

（1）若∠EDG = 45°，點(diǎn)F在線段EG上，且是點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，求證：GF = GC.

（2）若EG = AE + CG，求證：∠EDG = 45°.

（3）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DE，交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接BH，用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

第（1）小題需要利用正方形的鄰邊相等，融合軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形全等的知識(shí)來(lái)解決，在知識(shí)方面有一定的綜合性;第（2）小題是把第（1）小題的條件與結(jié)論進(jìn)行了互換，讓學(xué)生能學(xué)會(huì)逆向思考，拓展思維;第（3）小題綜合應(yīng)用正方形與等腰直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)結(jié)論未知的開(kāi)放性問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的思維具有挑戰(zhàn)性.

3. 在階段綜合復(fù)習(xí)教學(xué)中，可設(shè)計(jì)系列習(xí)題問(wèn)題

這里的階段綜合復(fù)習(xí)，是指學(xué)期的期末考試復(fù)習(xí). 習(xí)題設(shè)計(jì)可以以一個(gè)基礎(chǔ)題為背景，在此基礎(chǔ)上不斷挖掘可以得到的系列結(jié)論.

題目3? 如圖3，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G.

（1）若∠BAE = α，用含α的式子表示出∠AGF的大小;

（2）求證：AE = FG;

（3）線段CG與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

此題將正方形的對(duì)角線平分對(duì)角、三角形的內(nèi)角和與外角和的關(guān)系進(jìn)行融合. 在此基礎(chǔ)上，聯(lián)系等腰三角形的性質(zhì)與判定，再融入三角形全等和等腰直角三角形的邊角關(guān)系，形成一道開(kāi)放性的問(wèn)題. 這三道小題，前一個(gè)問(wèn)題為后一個(gè)問(wèn)題做了提示、鋪墊，問(wèn)題向開(kāi)放性發(fā)展，綜合性逐漸增加，思維難度逐漸增大，形成了系列問(wèn)題.

二、從模仿到改編，開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí)

在中考綜合復(fù)習(xí)階段，教師要設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)體系、滲透開(kāi)放性的習(xí)題問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)從“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問(wèn)，展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過(guò)渡. 以下以四邊形綜合題專題復(fù)習(xí)為例，說(shuō)明如何用問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生從梳理知識(shí)體系到改編試題.

1. 問(wèn)題導(dǎo)向，分析核心要素

學(xué)生通過(guò)習(xí)題中的問(wèn)題引導(dǎo)，完成對(duì)知識(shí)的回顧與梳理，加深理解，建立所有知識(shí)信息之間的聯(lián)系，自主建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.

在進(jìn)行四邊形專題復(fù)習(xí)時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)以下的題目.

題目4? 如圖4，正方形ABCD中，AC是對(duì)角線，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BE = BF，連接AE，AF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AE于點(diǎn)H，延長(zhǎng)FH交AC于點(diǎn)G.

（1）找出圖中的基本圖形，并寫(xiě)出圖中相等的線段和相等的角;

（2）線段GC與EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

試完成以下三個(gè)變式題的解答，并嘗試對(duì)題目4進(jìn)行改編.

變式1：如圖5，在?ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且AB = AE，連接EO并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G. 若∠ACB = 45°，求證：DF =[2]CG.

變式2：如圖6，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，使得CQ = CP，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP，垂足為點(diǎn)H，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

變式3：如圖7，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點(diǎn)P是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AP，點(diǎn)Q在直線BC上，且CQ = CP，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP，垂足為點(diǎn)H，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M. 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

通過(guò)3道變式題幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)清楚題目4的核心要素是等腰三角形和等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì). 這是實(shí)現(xiàn)學(xué)生自己改編試題和自主提問(wèn)，以及展開(kāi)創(chuàng)新學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)高階思維的前提.

2. 任務(wù)分享，啟發(fā)學(xué)生深入思考

把學(xué)生完成的改編習(xí)題進(jìn)行分享，分析、歸納出這些習(xí)題的共性，啟發(fā)學(xué)生深入思考. 以下是學(xué)生改編的部分習(xí)題.

改編1：如圖8，在正方形ABCF中，點(diǎn)E在線段BC上，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使得BD = BE，連接AE. 過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N;過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC，垂足為點(diǎn)N，交CF于點(diǎn)H. 則線段HC與DE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

改編2：如圖9，在△ABC中，AB = BC，∠ABC = 90°，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使得[DB=13BC]. 過(guò)點(diǎn)A作AF∥DC，且[AF=12DC，] 連接FC，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FC于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)N. 求證：[AF=2NC.]

改編3：如圖10，在△AFC中，AF = AC，∠FAC = 90°，點(diǎn)D，E在線段CF上，且FD = EC. 連接AD，AE，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)G. 求證：AN = 2GC.

通過(guò)展示學(xué)生提出的有代表性的改編問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生歸納出改編習(xí)題時(shí)需抓住的關(guān)鍵要素. 在兩個(gè)等腰三角形中，其中一個(gè)等腰直角三角形的一個(gè)腰是另一個(gè)非等腰三角形底邊上的高，如圖11所示，等腰直角三角形ABC的直角邊AC也是等腰三角形APQ底邊PQ上的高. 改編時(shí)，根據(jù)需要，可以適當(dāng)隱去部分線段. 這樣改編的題目的共同特點(diǎn)就是構(gòu)造三角形全等，利用等腰直角三角形的邊的關(guān)系解決問(wèn)題. 這為學(xué)生改編試題提供了思考的方向，是實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)高階思維的路徑之一.

3. 再度出發(fā)，歸納問(wèn)題本質(zhì)

欣賞同伴改編的試題后，再次引導(dǎo)學(xué)生思考：如圖11，能否抓住△AQM與△APQ有公共腰AQ，且這兩個(gè)等腰三角形的底邊QP與AM所在直線相交成的角為45°這兩個(gè)關(guān)鍵元素進(jìn)行改編呢？這個(gè)能否成為改編的核心要素呢？經(jīng)過(guò)思考，得到以下改編試題.

（1）如果兩個(gè)等腰三角形有一腰重合，且頂角的頂點(diǎn)也重合.

改編1：如圖12，在△ABC和△ABD中，AB = AC = AD，∠DBC = 45°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證：[CF=2AE.]

改編2：如圖13，在△ABC和△ABD中，AB = AC = AD，∠DBC = 45°，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，延長(zhǎng)EA交BC于點(diǎn)F. 求證：[CF=2AE.]

（2）如果兩個(gè)等腰三角形有一腰重合，但頂角的頂點(diǎn)不相同，得到以下的改編試題.

改編3：如圖14，在△ABC和△ACD中，AB = AC = CD，DA的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，且∠DEC = 45°. 求證：[AD=2BE.]

改編4：如圖15，在△ABC和△ACD中，AB = AC = CD，AD與BC交于點(diǎn)E，∠DEC = 45°. 求證：[AD=2BE.]

通過(guò)對(duì)一道題從不同角度進(jìn)行改編，訓(xùn)練學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性. 讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際例子的分析，感受到改編試題需要抓住核心要素. 聚焦點(diǎn)不同，改編出的試題也各異. 由此可見(jiàn)，改編試題的思維路徑是多樣的.

改編試題時(shí)，學(xué)生需要先分析清楚原題的核心元素，找到可以變化的因素，并且需要找到變化后存在的正確結(jié)論，這個(gè)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較高認(rèn)知水平的心智活動(dòng).

三、從解題到編題，培養(yǎng)高階思維能力

高階思維能力是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)識(shí)能力，也是解決“劣構(gòu)”性問(wèn)題所必要的理性思維. 高階思維能力包括分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造能力.

1. 設(shè)計(jì)好習(xí)題問(wèn)題的內(nèi)容，培養(yǎng)分析與綜合的能力

在解題階段，通過(guò)習(xí)題問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生自己建構(gòu)、完善知識(shí)體系，這是一種思維的架構(gòu). 同時(shí)，在解答習(xí)題的過(guò)程中，讓學(xué)生分析清楚已知條件和未知問(wèn)題，思考由已知條件可以得到哪些結(jié)論，在增加什么條件下可以得到哪些新的結(jié)論，要得到這個(gè)結(jié)論需要什么條件，在這樣的思考過(guò)程中提升分析與綜合的思維能力.

2. 設(shè)計(jì)好習(xí)題問(wèn)題的層次，培養(yǎng)評(píng)價(jià)能力

有層次性的習(xí)題問(wèn)題可以幫助學(xué)生抓住習(xí)題中的核心和關(guān)鍵，把思維逐漸引向深入. 學(xué)生在習(xí)題問(wèn)題的引導(dǎo)下，從直接應(yīng)用到思考開(kāi)放性問(wèn)題，到自己改編試題，可以自己對(duì)試題的核心要素進(jìn)行選擇與保留，在與同伴交流的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)同伴的解答做出評(píng)價(jià)，培養(yǎng)學(xué)生具備一定的評(píng)價(jià)能力.

3. 利用好生成的資源，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力

從完成習(xí)題的解答，到改編習(xí)題，整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生完成習(xí)題時(shí)存在的問(wèn)題，是教師進(jìn)一步改編和完善習(xí)題的基礎(chǔ). 學(xué)生改編的習(xí)題，是教師對(duì)學(xué)生思維能力與水平了解的一種方式，這些都是教學(xué)可用的生成性資源. 學(xué)生在改編習(xí)題的過(guò)程中，通過(guò)與同伴分享，相互啟發(fā)，促進(jìn)其深入思考，這是實(shí)現(xiàn)個(gè)性化創(chuàng)新的學(xué)習(xí)方式，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的一種重要方式.

通過(guò)對(duì)不同階段數(shù)學(xué)教學(xué)習(xí)題的不同設(shè)計(jì)，啟發(fā)學(xué)生從理解題意開(kāi)始，從解題到模仿編題，分析、歸納改編試題的共性，認(rèn)識(shí)到綜合試題的核心要素，并進(jìn)行個(gè)性化的試題改編，開(kāi)啟創(chuàng)新學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從做題到研究題，促使認(rèn)知水平的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)知能力發(fā)生，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生高階思維的培養(yǎng).

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