難點(diǎn)剖析把脈 思路設(shè)計(jì)突破

摘? 要：文章就一道中考?jí)狠S題的最后一問(wèn)進(jìn)行解題教學(xué)嘗試，以學(xué)生的視角進(jìn)行探討，剖析學(xué)生思路受阻的原因，真實(shí)還原學(xué)生解題時(shí)面臨的難點(diǎn)和盲點(diǎn). 根據(jù)試題所蘊(yùn)含的核心概念及其外延展開(kāi)教學(xué)設(shè)想，設(shè)計(jì)系列問(wèn)題推動(dòng)教學(xué)探究，旨在逐一突破難點(diǎn)，并提煉解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法與基本“套路”，努力提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：解題教學(xué);精準(zhǔn)設(shè)計(jì);教學(xué)設(shè)想

中考?jí)狠S題的最后一問(wèn)通常是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的綜合考查，不僅為學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)、深度學(xué)習(xí)、展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提供了很好的展示機(jī)會(huì)，還對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力提出了更高的要求. 如何讓學(xué)生快速獲取正確的解題思路？怎樣才能突破與優(yōu)化解法？如何真正讓學(xué)生領(lǐng)悟試題所承載的本質(zhì)？其實(shí)，解法隱于問(wèn)題內(nèi)部，來(lái)源于試題本身. 我們不妨以學(xué)生的視角進(jìn)行解題分析，真實(shí)還原學(xué)生解題時(shí)面臨的難點(diǎn)和盲點(diǎn). 針對(duì)學(xué)生的解題困境，精準(zhǔn)設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，把問(wèn)題解決、經(jīng)驗(yàn)積累與思想滲透有機(jī)結(jié)合起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和思考，獲得可視化思維路徑，展現(xiàn)解法的發(fā)現(xiàn)歷程.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2019年湖北·十堰卷）已知拋物線[y=][ax-22+][c]經(jīng)過(guò)點(diǎn)A[-2，0]和[C0， 94，] 與x軸交于另一點(diǎn)B，頂點(diǎn)為D.

（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo).

（2）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），且[∠DEF=∠A，] 則[△DEF]能否為等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng);若不能， 試說(shuō)明理由.

（3）若點(diǎn)P在拋物線上，且[S△PBDS△CBD]= m，試確定滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).

二、難點(diǎn)剖析

本文只針對(duì)第（3）小題進(jìn)行分析討論. 第（3）小題以拋物線上架構(gòu)的三角形為載體，以動(dòng)（靜）態(tài)三角形面積計(jì)算為媒介，重點(diǎn)考查函數(shù)圖象中面積計(jì)算問(wèn)題的常規(guī)解題思路，以及轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用. 在實(shí)際解題中，學(xué)生可能遇到以下幾個(gè)難點(diǎn).

難點(diǎn)1：如何計(jì)算拋物線內(nèi)接三角形的面積？對(duì)于確定的三角形（靜態(tài)的三角形，如△CBD），如何計(jì)算其面積？解題的依據(jù)是什么？有多少種求解方法？對(duì)于動(dòng)態(tài)三角形（如△PBD），又將如何處理呢？因此，如何準(zhǔn)確、快速地計(jì)算出三角形的面積是確保問(wèn)題順利解決的首要條件.

難點(diǎn)2：由于點(diǎn)P的位置具有不確定性，加大了學(xué)生計(jì)算△PBD面積的難度，阻礙了部分學(xué)生繼續(xù)前進(jìn)的“步伐”. 因此，題目的難點(diǎn)還在于學(xué)生能否考慮到對(duì)點(diǎn)P的具體位置進(jìn)行分類(lèi)討論，并在此基礎(chǔ)上圍繞點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行畫(huà)圖分析，感受化動(dòng)為靜的過(guò)程，以及點(diǎn)P位置的改變導(dǎo)致求S△PBD方法的多樣與優(yōu)化. 如何分類(lèi)？分類(lèi)界點(diǎn)在哪里？分類(lèi)后又將如何計(jì)算？特別值得一提的是，學(xué)生對(duì)分類(lèi)后“點(diǎn)P在直線BD的下方”這種情形下的面積計(jì)算感到困難.

難點(diǎn)3：關(guān)于點(diǎn)P個(gè)數(shù)的求法，現(xiàn)行教材中沒(méi)有類(lèi)似的例、習(xí)題可以借鑒. 由于學(xué)生缺少解決此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的積累（包括用幾何畫(huà)板軟件演示等操作經(jīng)驗(yàn)的積累），普遍對(duì)“對(duì)于每個(gè)確定△PBD面積的點(diǎn)P，在拋物線上是否必定存在關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？”“存在幾個(gè)點(diǎn)P？”“根據(jù)什么來(lái)確定點(diǎn)P存在的個(gè)數(shù)？”等問(wèn)題感到困惑.

難點(diǎn)4：此題最大的難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)[S△PBDS△CBD=m]的理解. 如何看待m？如何感受m的取值與點(diǎn)P的個(gè)數(shù)間存在的必然聯(lián)系？這就需要有效地拆解條件，并思考：如何從形式上加以簡(jiǎn)化？如何從內(nèi)涵上加以轉(zhuǎn)化？如何用函數(shù)的眼光去解決問(wèn)題？

首先，從“形”入手. 從圖象直觀感知三角形的面積有如下變化規(guī)律：由于點(diǎn)C，B，D為三個(gè)定點(diǎn)，故分母S△CBD必為一個(gè)確定的值;再看分子，由于點(diǎn)P，B，D為“一個(gè)動(dòng)點(diǎn) + 兩個(gè)定點(diǎn)”，故需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論. 結(jié)合圖象，當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的上方（右側(cè)）時(shí)，發(fā)現(xiàn)S△PBD存在最大值;當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的下方（兩側(cè)）時(shí)，發(fā)現(xiàn)S△PBD的面積隨x的增大而增大（或減?。? 其次，從“數(shù)”入手，運(yùn)用函數(shù)解析式找準(zhǔn)面積之間的數(shù)量關(guān)系. 如果動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)用參數(shù)n表示，那么S△PBD可以用含參數(shù)n的代數(shù)式來(lái)表示. 可以挖掘出如下一般規(guī)律：如果用參數(shù)n表示點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，那么m就可以看作是一個(gè)關(guān)于n的二次函數(shù). 最后，數(shù)形結(jié)合，精準(zhǔn)定位m的取值與點(diǎn)P個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

基于學(xué)生面臨的諸多難點(diǎn)的分析，我們有必要針對(duì)第（3）小題所蘊(yùn)含的核心概念，以專(zhuān)題的形式對(duì)“面積及計(jì)數(shù)問(wèn)題”展開(kāi)教學(xué)設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)精準(zhǔn)的問(wèn)題系列推動(dòng)教學(xué)探究，使學(xué)生逐一突破難點(diǎn)，提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：情境引入.

引例? 如圖2，已知二次函數(shù)y = ax2 + bx + c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A[-1，0]，與y軸交于點(diǎn)C，且拋物線的頂點(diǎn)D[1，4]. 觀察圖象，你能得出哪些結(jié)論？

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置聯(lián)想式例題，便于學(xué)生主動(dòng)參與，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流，并對(duì)所得的結(jié)論進(jìn)行歸類(lèi)整理. 這些結(jié)論的獲得為后續(xù)學(xué)習(xí)“探究三角形面積的計(jì)算”做了很好的鋪墊.

環(huán)節(jié)2：?jiǎn)栴}探究.

問(wèn)題探究1：如何計(jì)算△BCD的面積？

預(yù)設(shè)解法1（直接計(jì)算法）：求出△BCD各條邊的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)△BCD為直角三角形，運(yùn)用三角形的面積公式求解.

預(yù)設(shè)解法2（割補(bǔ)法）：如圖3，過(guò)點(diǎn)D作[DE⊥Oy]于點(diǎn)E，由[S△BCD=S梯形OBDE-S△BOC-S△CDE]來(lái)求解.

預(yù)設(shè)解法3（割補(bǔ)法）：如圖4，連接OD，由[S△BCD=][S△OCD+S△OBD-S△BOC]來(lái)求解.

預(yù)設(shè)解法4（鉛錘法）：如圖5，過(guò)點(diǎn)D作[DF⊥Ox]交BC于點(diǎn)F，所以[S△BCD=12DF ? OB].（如圖6，三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半，即[S△BCD=12ah].）

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題探究1針對(duì)難點(diǎn)1而設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受靜態(tài)三角形面積求解的一般思路，比較多種求解方法.

問(wèn)題探究2：若點(diǎn)P是拋物線在第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得S△BCP = S△BCD，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)解法1（計(jì)算法）：如圖7，分別過(guò)點(diǎn)D，P作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)F，M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n[1<n<3]，利用含參數(shù)n的代數(shù)式表示線段PM的長(zhǎng)，根據(jù)PM = DF = 2，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)解法2（平行線法）：如圖8，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，求出直線DP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)計(jì)算面積值確定的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，讓學(xué)生感受動(dòng)態(tài)三角形面積求解的一般思路，以及從“數(shù)——計(jì)算”“形——平行線”兩種不同思維方式解法上的創(chuàng)新.

問(wèn)題探究3：若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，使得S△BCP = S△BCD，求滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)解法1（計(jì)算法）：如圖9，分別過(guò)點(diǎn)D，P作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)F，M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，利用含參數(shù)n的代數(shù)式表示線段PM的長(zhǎng)，根據(jù)PM = DF = 2，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)解法2（平行線法）：如圖10，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線，分別與y軸、拋物線交于點(diǎn)[E，P1，] 作點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)[E]，過(guò)點(diǎn)[E]作直線BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)P2，P3，則點(diǎn)P1，P2，P3即滿足條件的點(diǎn)P. 通過(guò)聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)P1，P2，P3 的坐標(biāo). 或者將點(diǎn)D向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度亦可.

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題探究3針對(duì)難點(diǎn)2而設(shè)計(jì)，解決當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上時(shí)的情形.

問(wèn)題探究4：若點(diǎn)P是拋物線在第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記△BCP的面積為S，求S的取值范圍.

預(yù)設(shè)解法1（割補(bǔ)法）：如圖11，連接OP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，利用含參數(shù)n的代數(shù)式表示△BCP的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得△BCP的面積的最大值，進(jìn)而求得S的取值范圍.

預(yù)設(shè)解法2（鉛錘法）：如圖12，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n， 利用含參數(shù)n的代數(shù)式表示△BCP的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求得△BCP的面積的最大值，進(jìn)而求得S的取值范圍.

預(yù)設(shè)解法3（平行線法）：如圖13，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的平行線，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“當(dāng)此平行線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，△BCP的面積最大”，進(jìn)而求得S的取值范圍.

問(wèn)題探究5：若拋物線上有且僅有三個(gè)點(diǎn)P1，P2，P3，使得△P1BC，△P2BC，△P3BC的面積均為定值S，求出定值S及P1，P2，P3三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

預(yù)設(shè)解法：如圖14，經(jīng)過(guò)問(wèn)題探究4的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BC上方且使得△BCP的面積最大時(shí)，才能保證在拋物線上有且僅有三個(gè)點(diǎn)P1，P2，P3，使得△P1BC，△P2BC，△P3BC的面積均為定值S，而定值就是點(diǎn)P位于直線BC上方時(shí)△BCP面積的最大值.

進(jìn)一步追問(wèn)：當(dāng)S為何值時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè)（如圖15所示）？當(dāng)S為何值時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)（如圖16所示）？

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題探究4和問(wèn)題探究5主要針對(duì)難點(diǎn)3設(shè)計(jì)，使學(xué)生初步感知并運(yùn)用幾何畫(huà)板軟件操作驗(yàn)證“對(duì)于每個(gè)確定△PBD面積的點(diǎn)P，在拋物線上是否存在關(guān)于直線BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？”從而提煉解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法與基本“套路”.

環(huán)節(jié)3：數(shù)學(xué)活動(dòng).

問(wèn)題探究6：如圖17，已知拋物線[y=12x2-32x-2]與x軸分別交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)所得△PBC的面積為S.

（1）求S的取值范圍;

（2）若△PBC的面積S為整數(shù)，則這樣的△PBC的個(gè)數(shù)共有多少？

預(yù)設(shè)解答如下.

（1）① 如圖18，當(dāng)-1 < x < 0時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P沿著拋物線由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積S隨x的增大而減小，0 < S < S△ACB，故0 < S < 5.

② 如圖19，當(dāng)0 < x < 4時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作[PG⊥Ox]于點(diǎn)G，交CB于點(diǎn)F，于是[S=12OB ? FP=-x-22+4，]所以當(dāng)x = 2時(shí)，S最大值 = 4. 所以0 < S[≤] 4.

綜上所述，0 < S < 5.

（2）① 當(dāng)-1 < x < 0時(shí)，S只能取1，2，3，4，即滿足條件的△PBC共有4個(gè).

② 當(dāng)0 < x < 4時(shí)，由于當(dāng)x = 2時(shí)，S最大值 = 4，故當(dāng)S = 4時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為1個(gè);當(dāng)S = 1，S = 2或S = 3時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)各為2個(gè)，即當(dāng)0 < x < 4時(shí)，滿足條件的△PBC共有7個(gè).

綜上所述，滿足條件的△PBC共有11個(gè).

【設(shè)計(jì)意圖】以上數(shù)學(xué)活動(dòng)主要針對(duì)難點(diǎn)4設(shè)計(jì). 在教學(xué)中，真實(shí)還原學(xué)生解題的整個(gè)思維漸進(jìn)過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)，逐步滲透，通過(guò)師生、生生之間的多層次互動(dòng)，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)推動(dòng)教學(xué)探究，使學(xué)生進(jìn)一步直觀感受并深切感悟到“S的取值”與“點(diǎn)P的個(gè)數(shù)”之間存在的必然聯(lián)系，捕捉到“當(dāng)S的值為最大整數(shù)4時(shí)，在直線BC兩側(cè)的拋物線上各存在1個(gè)點(diǎn)P”這一關(guān)鍵信息. 據(jù)此進(jìn)一步得出當(dāng)S = 1，S = 2或S = 3時(shí)，在直線BC兩側(cè)的拋物線上各存在3個(gè)點(diǎn)P，讓學(xué)生對(duì)“點(diǎn)P個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)數(shù)”問(wèn)題能夠有深層次和多維度的理解，為最終的問(wèn)題（S不為整數(shù)）解決提供教學(xué)模型，積累解題經(jīng)驗(yàn)，包括幾何畫(huà)板軟件演示等操作經(jīng)驗(yàn)的積累.

環(huán)節(jié)4：學(xué)以致用.

問(wèn)題探究7：若點(diǎn)P在拋物線上，且[S△PBDS△CBD]= m，試確定滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).（題目第（3）小題）

經(jīng)驗(yàn)引領(lǐng)下的試題分析如下.

（1）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，計(jì)算S△CBD的值，并用含參數(shù)n的代數(shù)式表示S△PBD.

（2）計(jì)算特定情況下m的值. 當(dāng)點(diǎn)P在直線BD的上方時(shí)，易求得[m=-112n-42+13]. 當(dāng)n = 4時(shí)，m有最大值[13]，故[m=13]是點(diǎn)P個(gè)數(shù)的分界值.

（3）借助實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論. 如圖20，當(dāng)m =[13]時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3個(gè)，即直線BD上方的拋物線上只有1個(gè)點(diǎn)P，而直線BD下方的拋物線上有2個(gè)點(diǎn)P.

如圖21，當(dāng)0 < m <[13]時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4個(gè)，即在直線BD上方、下方的拋物線上各有2個(gè)點(diǎn)P.

如圖22，當(dāng)m >[13]時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2個(gè)，此時(shí)點(diǎn)P只在直線BD下方的拋物線上，且只有2個(gè)點(diǎn)P.

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，但不能簡(jiǎn)單地只為解題而解題. 當(dāng)學(xué)生非常順利地解答問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)多提問(wèn)學(xué)生. 例如，還有沒(méi)有更好的方法？你能發(fā)現(xiàn)什么有趣的結(jié)論？當(dāng)學(xué)生面對(duì)難題“卡殼”、一籌莫展時(shí)，教師可以適當(dāng)停留，和學(xué)生一起回歸試題本源，站在學(xué)生的角度分析條件、尋找原因，多問(wèn)幾個(gè)問(wèn)題. 例如，你想到了什么？你是怎么想到的？以學(xué)生的視角進(jìn)行解題分析，真實(shí)還原學(xué)生解題時(shí)面臨的難點(diǎn)和盲點(diǎn).

教師更應(yīng)針對(duì)學(xué)生的解題困難、客觀存在的挫折為契機(jī)，精準(zhǔn)設(shè)計(jì)符合學(xué)生實(shí)際、貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題及問(wèn)題鏈，以解惑、答疑、重塑知識(shí)體系為目標(biāo)，開(kāi)展豐富的解題活動(dòng)（本文從學(xué)生最為熟悉的“拋物線內(nèi)接三角形面積計(jì)算”出發(fā)），讓學(xué)生從已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)開(kāi)始展開(kāi)聯(lián)想與嘗試，幫助學(xué)生理清思路、梳理思維、尋找突破口，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)試題涉及的知識(shí)及蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概括，歸納知識(shí)與方法的本質(zhì)特征，最終讓大多數(shù)學(xué)生接受且問(wèn)題得到完美解決，并從中獲得必要的經(jīng)驗(yàn)與成就感，提升學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)、限時(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

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