“留數(shù)的應(yīng)用”課堂教學(xué)的探索與實(shí)踐

殷政偉 姚金然 向文

摘要：《復(fù)變函數(shù)》是很多高等院校工科專業(yè)以及數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，其中“留數(shù)的應(yīng)用”這一節(jié)內(nèi)容豐富，知識(shí)點(diǎn)難度大，在教學(xué)過(guò)程中如果安排不當(dāng)很容易導(dǎo)致重點(diǎn)不突出，學(xué)生不理解等問(wèn)題。因此本文針對(duì)這一部分內(nèi)容設(shè)計(jì)了整個(gè)教學(xué)過(guò)程。首先采取“任務(wù)驅(qū)動(dòng)法”提出問(wèn)題，激起學(xué)生的好奇心與好勝心，然后采用啟發(fā)式，討論式等教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生分組討論，積極參與課堂教學(xué)，在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上采用講授法梳理整個(gè)知識(shí)體系，最后在傳授專業(yè)知識(shí)的過(guò)程中融入課程思政，使專業(yè)知識(shí)和課程思政同向而行，同頻共振，形成協(xié)同效應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)以“立德樹人”為教育根本任務(wù)的綜合教育理念。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù) 留數(shù)的應(yīng)用 啟發(fā)式教學(xué) 課程思政

復(fù)變函數(shù)是一門古老而又富有朝氣的數(shù)學(xué)學(xué)科的分支，早在19世紀(jì)，Cauchy， Weierstrass及Riemann等數(shù)學(xué)大家就已經(jīng)為這門學(xué)科奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)主要內(nèi)容是討論復(fù)數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，解析函數(shù)是其主要研究對(duì)象。復(fù)變函數(shù)論作為一種強(qiáng)有力的工具被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)的眾多領(lǐng)域，如理論物理、空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、自動(dòng)控制學(xué)、信息工程、電子工程及通訊等領(lǐng)域。

復(fù)變函數(shù)課程是很多高校工科專業(yè)的必修課。該課程內(nèi)容豐富且抽象，學(xué)生普遍反映晦澀難懂，所以在課堂教學(xué)中如何設(shè)計(jì)教學(xué)使學(xué)生們能夠積極主動(dòng)參與課堂，形成師生互動(dòng)，提高課堂教學(xué)效率是高校老師必須要考慮的一個(gè)重要課題。大多文獻(xiàn)從大局觀出發(fā)探討了復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)改革與實(shí)踐，但對(duì)于具體的章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)很少提及，實(shí)際上每一堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)是一門課程教學(xué)的精髓所在。講什么、怎么講、怎么設(shè)計(jì)問(wèn)題、如何討論、如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使學(xué)生更好地融入課堂等這些都是每堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)?；诖?，本文以“留數(shù)的應(yīng)用”課堂教學(xué)為例，從“課堂設(shè)計(jì)”出發(fā)，積極探索和實(shí)踐多種教學(xué)方法，并融入課程思政，實(shí)現(xiàn)專業(yè)課的知識(shí)教育和思想政治教育的融合，既教書又育人，在日常教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行世界觀、人生觀和價(jià)值觀教育。

1.以問(wèn)題為導(dǎo)向引入課題

鼓勵(lì)同學(xué)們進(jìn)一步理解這類積分問(wèn)題（1-4）的本質(zhì)形式，積極探索這類問(wèn)題的通用解法。同時(shí)也要提醒同學(xué)們問(wèn)題（4）就是本節(jié)課要攻克的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如果能夠解決問(wèn)題（4），那么就基本達(dá)成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)中的知識(shí)技能目標(biāo)。

這種由易到難，由淺入深，由個(gè)別到一般，層層遞進(jìn)設(shè)置問(wèn)題的方式，不僅容易勾起學(xué)生的興趣，更能激起學(xué)生的斗志。同時(shí)在求解過(guò)程中學(xué)生能夠真切體會(huì)到使用傳統(tǒng)方法求解這些定積分是幾乎行不通的。此時(shí)便可以很自然的啟發(fā)同學(xué)思考：既然在實(shí)積分的框架下采用傳統(tǒng)的求解方法無(wú)法解決這類積分問(wèn)題，那么是不是可以跳出實(shí)積分的框架，嘗試把這些問(wèn)題放到復(fù)積分的框架下進(jìn)行解決呢？這樣以“任務(wù)驅(qū)動(dòng)”的教學(xué)設(shè)計(jì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)不單是知識(shí)由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞，更鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)新經(jīng)驗(yàn)和原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的相互作用，充實(shí)和豐富自身的知識(shí)、能力。

2.應(yīng)用多教學(xué)方法解決問(wèn)題

在提出問(wèn)題（4）之后，采用啟發(fā)探究式教學(xué)方法引導(dǎo)同學(xué)們?nèi)ニ伎紗?wèn)題（4）的解決方案，鼓勵(lì)同學(xué)們分組討論，最后根據(jù)同學(xué)們的討論情況梳理要點(diǎn)，歸納總結(jié)。具體教學(xué)設(shè)計(jì)分為以下4個(gè)部分。

2.1通過(guò)啟發(fā)式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生

首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)定義在單位圓周上的復(fù)積分的計(jì)算過(guò)程：

公式（9）的主要作用就是把實(shí)積分轉(zhuǎn)換成復(fù)積分，接下來(lái)利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分就可以了。最后給出具體實(shí)例進(jìn)一步鞏固和檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解和掌握情況，依據(jù)學(xué)生的反饋可以適當(dāng)?shù)卦黾踊騽h減例題。

2.4 在教學(xué)過(guò)程中提煉和培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是知識(shí)的傳授，也是思維活動(dòng)的教學(xué)，因此如何在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，養(yǎng)成良好思維品質(zhì)是教學(xué)改革的一個(gè)重要課題。本節(jié)課的教學(xué)主要體現(xiàn)了兩種數(shù)學(xué)思維：轉(zhuǎn)化思維和逆向思維。

轉(zhuǎn)化思維是指在解決問(wèn)題的過(guò)程中遇到障礙時(shí)，通過(guò)改變問(wèn)題的方向，從不同的角度，把問(wèn)題由一種形式轉(zhuǎn)換成另一種形式，尋求最佳方法，使問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單、更清晰。在本節(jié)教學(xué)中把實(shí)函數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)函數(shù)，把實(shí)積分轉(zhuǎn)換為復(fù)積分，即公式（7-9）均是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)和應(yīng)用。

逆向思維也叫求異思維，它是對(duì)司空見(jiàn)慣的似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)反過(guò)來(lái)思考的一種思維方式，敢于“反其道而行之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，從問(wèn)題的相反面深入地進(jìn)行探索。本節(jié)教學(xué)中公式（7）的推導(dǎo)正是逆向思維的具體應(yīng)用。

3.傳授知識(shí)的過(guò)程中融入課程思政

3.1在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)科學(xué)研究方法

縱觀問(wèn)題（4）的整個(gè)解決過(guò)程，其本質(zhì)就是把在實(shí)積分理論框架下無(wú)法解決的計(jì)算問(wèn)題放到復(fù)積分的理論框架下，然后采用復(fù)積分的計(jì)算技巧就可以輕松解決。從這個(gè)解決問(wèn)題的過(guò)程中可以啟發(fā)學(xué)生去感受、體會(huì)：在科學(xué)研究中，往往會(huì)遇到一些困難，在現(xiàn)有的理論框架下無(wú)法解決，或者即使勉強(qiáng)解決，也可能由于要求的數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)較多，解決形式較為繁瑣而無(wú)法被廣泛推廣，同時(shí)這也和數(shù)學(xué)要求的簡(jiǎn)潔美相違背。那么不妨?xí)簳r(shí)避其鋒芒，努力進(jìn)一步擴(kuò)大認(rèn)知范圍，拓寬自己的知識(shí)面，建立更大更廣泛更具有包容性的理論框架，那么在新的理論框架下，這些問(wèn)題可能就迎刃而解。

3.2在傳授知識(shí)的過(guò)程中融入人生感悟

教書、育人是教師的兩大職責(zé)。作為一名教師，不僅要傳遞知識(shí)，還要幫助學(xué)生樹立正確的人生觀，價(jià)值觀，世界觀。問(wèn)題（4）的解決過(guò)程蘊(yùn)含了豐富人生哲理和為人處世之道?？茖W(xué)研究中會(huì)遇到困難，人生亦是如此。當(dāng)我們遇到一些我們暫時(shí)無(wú)法解決的困難，可能在當(dāng)時(shí)的境況中，這些困難似乎是我們?nèi)松袩o(wú)法承受之重，這個(gè)時(shí)候不妨選擇性遺忘，去開(kāi)辟一些新的方向，其實(shí)熬過(guò)最困難的階段，你會(huì)發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)那些難以承受之重也不過(guò)是人生長(zhǎng)河中的一些浪花而已。畢竟“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”比“潮平兩岸闊，風(fēng)正一帆懸”更能給人巨大的成就感。

4.結(jié)論

本文主要探討了留數(shù)的應(yīng)用這部分內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)，但實(shí)際上這種以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，采用啟發(fā)式、探究式的教學(xué)方法具有一定的普適性，可以推而廣之。這種教學(xué)設(shè)計(jì)，一方面可以讓學(xué)生更好地融入課堂，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，另一方面探究的過(guò)程中去思考，質(zhì)疑，然后尋找到解決方案這一過(guò)程可以讓學(xué)生收獲到滿滿的成就感，而成就感正是主動(dòng)學(xué)習(xí)的催化劑。文章的最后在德育教育中，注重價(jià)值引領(lǐng)，培養(yǎng)學(xué)生的思想內(nèi)涵。

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