微分幾何的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐
——以《可展曲面》為例

李 娜， 劉白羽， 張林桐

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

微分幾何是伴隨著微積分的創(chuàng)立而發(fā)展起來的數(shù)學(xué)分支，是數(shù)學(xué)類本科生的一門重要專業(yè)課.微分幾何是以微積分作為主要工具研究平面和空間中的曲線和曲面的幾何性質(zhì)[1]，從廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)理論，到數(shù)學(xué)大師陳省身給出的高斯-博內(nèi)定理的內(nèi)蘊(yùn)證明；從建筑中的優(yōu)美曲線與曲面，到工業(yè)加工和地圖繪制，無不體現(xiàn)著微分幾何的重要作用.

加強(qiáng)微分幾何的教學(xué)設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生體會(huì)“數(shù)”與“形”的巧妙結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生在“數(shù)”——邏輯思維能力與“形”——直覺思維能力的全面發(fā)展[2].為了提高微分幾何課程的教學(xué)效果，對(duì)課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)設(shè)計(jì)開展了研究與實(shí)踐，下面以《可展曲面》為例展開介紹.

2 可展曲面的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 內(nèi)容引入——溫故知新

由于可展曲面是一類特殊的直紋面，所以課程從復(fù)習(xí)直紋面開始引入.

溫故——通過動(dòng)畫演示引導(dǎo)學(xué)生觀察柱面、錐面與平面的關(guān)系(如圖1所示)，啟發(fā)學(xué)生觀察這兩種直紋面的特點(diǎn)，它們都可以沿著柱面或錐面的一條直母線將它剪開，攤平展開成平面.

圖1 柱面和錐面的展開演示

知新——這類可以攤平展開為平面的曲面就是可展曲面.

引導(dǎo)學(xué)生通過觀察柱面、錐面和平面之間存在的關(guān)系，復(fù)習(xí)等距變換的定義和充要條件，啟發(fā)學(xué)生利用等距變換給出可展曲面的定義.

溫故——如果兩個(gè)曲面之間的變換滿足局部上保持曲面上對(duì)應(yīng)曲線的長度不變，則稱為(局部)等距變換.變換T是等距變換的充分必要條件是曲面的第一基本量對(duì)應(yīng)相等.

知新——可以與平面建立局部等距變換的曲面稱為可展曲面.

2.2 內(nèi)容展開——形而上學(xué)

華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)無形時(shí)不直觀，形無數(shù)時(shí)難入微”.這里“數(shù)”就是指推理證明，而“形”就是幾何直觀.在微分幾何的教學(xué)過程中，不僅要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)也要充分利用數(shù)學(xué)軟件，通過直觀演示做到“數(shù)形結(jié)合”[3].

在教學(xué)設(shè)計(jì)中，本著“以學(xué)生為中心”的指導(dǎo)思想，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)知識(shí)基礎(chǔ)，采用從直觀演示到理論推理、從具體問題到一般方法、層層推進(jìn)的思路.在實(shí)際教學(xué)中，柱面、錐面可展性證明是相對(duì)簡(jiǎn)單，學(xué)生容易理解.而對(duì)于第三類可展曲面，即切線曲面，其可展性的證明方法是教學(xué)難點(diǎn).為了讓學(xué)生掌握切線曲面的可展性證明我們用圓柱螺線的切線曲面為例，首先通過紙張制作的教具(如圖2)讓學(xué)生觀察到圓柱螺線的切線曲面可以通過空間中的連續(xù)彎曲形變攤平成平面，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)切線曲面的可展性，并且從直觀上理解感受什么是曲面的可展性.

圖2 切線曲面的可展性教具

再借助數(shù)學(xué)軟件編程制作的動(dòng)畫(見https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM )向?qū)W生呈現(xiàn)圓柱螺線的切線曲面攤平成平面的完整過程，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察找到在形變過程前后曲面上保持不變的量，這些量將在后續(xù)的數(shù)學(xué)證明中起到關(guān)鍵作用[4].再讓學(xué)生根據(jù)已給出的可展曲面的定義，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)問題：如何利用微分幾何的知識(shí)從理論上證明圓柱螺線的切線曲面是可展曲面？帶動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要在切線曲面與平面之間找到一個(gè)等距變換，就可以得出證明的結(jié)論.在掌握了圓柱螺線的切線曲面的證明方法之后，對(duì)于一般曲線的切線曲面可展性證明，學(xué)生可以利用類似的方法自己給出.

定理1圓柱螺線的切線曲面是可展曲面.

證(i) 寫出圓柱螺線切線曲面(如圖3所示)的參數(shù)方程及第一基本量.

圖3 圓柱螺線的切線曲面

設(shè)圓柱螺線的參數(shù)方程為a(t)=(cost,sint,t),t∈[0,2π]，圓柱螺線上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為a(t)，過Q點(diǎn)的切線上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為r(t,v).

于是可寫出圓柱螺線切線曲面的參數(shù)方程為

r(t,v)=a(t)+va′(t)=(cost-vsint,sint+vcost,t+v),

t∈[0,2π],v∈[0,+∞).

計(jì)算其第一基本量為

E=rt·rt=2+v2，F(xiàn)=rt·rv=2，G=rv·rv=2.

(ii) 建立圓柱螺線切線曲面與平面之間的等距變換.

注意到，圓柱螺線攤平后對(duì)應(yīng)平面上的藍(lán)色圓弧，保持弧長不變(如圖4所示)，同時(shí)通過動(dòng)畫可以看出藍(lán)色曲線的切線在攤平的過程中仍保持是藍(lán)色曲線的切線，再回顧曲線曲率的幾何意義為切線對(duì)于曲線弧長參數(shù)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，因此變換前后藍(lán)色曲線的曲率也保持不變.

圖4 圓柱螺線的切線曲面與平面之間的變換

根據(jù)圓柱螺線的參數(shù)方程a(t)=(cost,sint,t)可以計(jì)算出它的曲率為k=0.5.因此，圖4右圖中圓的半徑就是曲率的倒數(shù)等于2.

再利用變換前后對(duì)應(yīng)弧長相等，即|QP|=|Q′P′|，計(jì)算出變換后的P′點(diǎn)的坐標(biāo)為

于是建立

這時(shí)平面的第一基本量恰好和圓柱螺線切線曲面的第一基本量對(duì)應(yīng)相等.因此由等距變換的充要條件可得變換T是等距變換，這也就從理論上證明了圓柱螺線的切線曲面是可展曲面.

2.3 內(nèi)容推進(jìn)——數(shù)形結(jié)合

從前面的內(nèi)容講授可以看出，一個(gè)曲面是否是可展曲面可以通過尋找與平面之間的等距變換來判斷，但是這樣的判斷過程理論性太強(qiáng)，抽象而不夠直觀.另一方面，將教學(xué)內(nèi)容重新組織，在介紹完可展曲面的定義和例子之后，直接講授可展曲面充要條件.為此，借助數(shù)學(xué)軟件編程制作的動(dòng)畫演示，啟發(fā)學(xué)生觀察可展曲面的特點(diǎn)，從直觀上給出直紋面是可展曲面條件(如圖5所示)，再從理論上給出證明.

觀察直紋面上沿著同一條直母線上的點(diǎn)的切平面變化情況(圖5中的紅色線段表示該點(diǎn)處切平面的法向量, 自制動(dòng)畫演示視頻見https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM)，可以發(fā)現(xiàn)，柱面、錐面和切線曲面在同一條直母線上的切平面是相同的，這三種曲面都是可展曲面.而單葉雙曲面、雙曲拋物面和正螺面上沿一條直母線的切平面是不同的.再次提出問題：這三種曲面是否都不是可展曲面呢，為此給出下面的定理.

圖5 可展曲面沿直母線的切平面變化

定理2直紋面r(u,v)=a(u)+vb(u)沿同一條直母線切平面相同的充分必要條件是高斯曲率K=0.

證任取一條直母線(如圖6所示)上的兩點(diǎn)P1∶r(u,v1)，P2∶r(u,v2)，其中v1≠v2.計(jì)算可得直紋面的法向量為n(u,v)=ru×rv=(a′(u)+vb′(u))×b(u)，而一條直母線的切平面相同的充分必要條件是n(u,v1)∥n(u,v2)，即要滿足：

圖6 直紋面

因?yàn)関1≠v2，b(u)是方向向量，于是上式等價(jià)于混合積(a′(u),b′(u),b(u))=0.

由已學(xué)過的高斯絕妙定理可知可展曲面的高斯曲率必然等于零.另一方面，可以證明沿同一條直母線切平面相同的直紋面(即高斯曲率K=0)只有柱面、錐面、切線曲面以及它們?nèi)叩钠春?，因此也一定是可展曲?由此得到直紋面是可展曲面的充要條件為高斯曲率K=0.

2.4 拓展應(yīng)用——學(xué)以致用

微分幾何中的知識(shí)無論在生活中，還是在其他學(xué)科的理論研究中都發(fā)揮著重要的作用，為此我們給出了兩個(gè)有關(guān)可展曲面的實(shí)際應(yīng)用.通過介紹可展曲面在建筑和工業(yè)中的應(yīng)用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)的美，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，真正做到“學(xué)以致用”.

(i) 可展曲面在建筑上的應(yīng)用.可展曲面是一種可以在不被撕裂變形的情況下展開成平面的特殊曲面，因此在建筑業(yè)中有著其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì).如巴黎盧浮宮博物館的大金字塔中造型別致的樓梯，樓梯下側(cè)的曲面就是一種可展曲面——圓柱螺線的切線曲面.

(ii) 可展曲面在工業(yè)上的應(yīng)用.如圖7所示的Oloid曲面是由德國發(fā)明家保羅·沙茨在1929年發(fā)現(xiàn)的，它可以由兩個(gè)相互垂直并且過對(duì)方圓心的圓來生成(生成過程動(dòng)畫見https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM)，也是一種可展曲面.它有著奇特的幾何性質(zhì)，沒有角，并且可以在平面上連續(xù)滾動(dòng)，滾動(dòng)過程中曲面上的每一個(gè)點(diǎn)都會(huì)與平面接觸，同時(shí)重心也在左右扭動(dòng).工業(yè)上正是利用它的這些特點(diǎn)，設(shè)計(jì)出適合水族館中使用的攪拌器.這種攪拌器不但可以攪動(dòng)大量水體提高水中的含氧量，又由于曲面本身沒有角，所以相對(duì)更加平緩，對(duì)水族館中的生物來說也更加安全.

圖7 Oloid曲面

3 結(jié) 論

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是可展曲面的定義和可展曲面的判別.課程設(shè)計(jì)中注重?cái)?shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，注重增強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力和思想方法的培養(yǎng).本節(jié)內(nèi)容以柱面和錐面的可展性引入，借助圖形、動(dòng)畫、提問和互動(dòng)等多種教學(xué)形式和手段生動(dòng)展開，營造輕松活躍的課堂教學(xué)氛圍，通過直觀演示加深學(xué)生對(duì)抽象概念、性質(zhì)和定理的理解與掌握，直觀地展示什么樣的直紋面是可展曲面，循序漸進(jìn)地給出圓柱螺線切線曲面的可展性證明以及可展曲面的充要條件，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

本文以可展曲面為例詳細(xì)介紹了微分幾何中的教學(xué)設(shè)計(jì)理念，并結(jié)合對(duì)微分幾何課程教學(xué)設(shè)計(jì)的研究和實(shí)踐，不僅對(duì)青年教師參加教學(xué)競(jìng)賽具有借鑒意義，而且對(duì)于提高日常教學(xué)質(zhì)量和水平也具有一定的參考價(jià)值.在教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，要特別注重以下幾個(gè)方面：

(i) 溫故知新 在教學(xué)中有意識(shí)地將微分幾何與微積分思想和方法相聯(lián)系，挖掘課程的本質(zhì).注重學(xué)生科學(xué)思維方法的訓(xùn)練，幫助學(xué)生利用微分幾何的知識(shí)加深對(duì)微積分思想的理解、對(duì)微積分方法的應(yīng)用；

(ii) 數(shù)形結(jié)合 借助數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)化微分幾何中“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一，提高學(xué)生正確認(rèn)識(shí)問題、分析問題和解決問題的能力；

(iii) 學(xué)以致用 在教學(xué)設(shè)計(jì)中融入微分幾何的發(fā)展史以及在各學(xué)科中的應(yīng)用，幫助學(xué)生開闊知識(shí)面的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.