三維Minkowski空間中的k-型偽零螺線(xiàn)

錢(qián)金花， 劉 杰

(東北大學(xué) 理學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110819)

在三維歐氏空間中，若一條曲線(xiàn)的切線(xiàn)和固定方向成固定角，則稱(chēng)其為一般螺線(xiàn)[1].近年來(lái)，歐氏空間中一般螺線(xiàn)的定義已經(jīng)被推廣到Lorentz-Minkowski空間中[2-4]. 本文給出k-型(k=1，2，3)偽零螺線(xiàn)及其軸的定義，并根據(jù)定義的偽零曲線(xiàn)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，討論各種偽零螺線(xiàn)的幾何性質(zhì).

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

其中：

〈α，α〉=〈β，γ〉=1，〈β，β〉=〈γ，γ〉=0，

〈α，β〉=〈α，γ〉=0.α(s)，β(s)，γ(s)分別稱(chēng)為曲線(xiàn)r(s)的切向量、主法向量和副法向量；κ(s)稱(chēng)為曲線(xiàn)r(s)的曲率函數(shù).

標(biāo)注1 本文所討論的偽零曲線(xiàn)均以弧長(zhǎng)s為參數(shù).

首先，設(shè)偽零曲線(xiàn)r(s)的單位切向量為

r′(s)=[ξ1(s)，ξ2(s)，ξ3(s)].

顯然-ξ12+ξ22+ξ32=1.不失一般性，設(shè)

這里f，g是s的光滑函數(shù).于是

另外，由〈r″(s)，r″(s)〉=0，經(jīng)過(guò)計(jì)算，有

(g2-1)f′=2fg′.

解上面的微分方程，可得

總結(jié)上面的推導(dǎo)過(guò)程，有如下結(jié)論.

其中：f，g是s的光滑函數(shù)，稱(chēng)其為結(jié)構(gòu)函數(shù)，且它們滿(mǎn)足

由引理2與引理1，容易得到如下結(jié)論.

標(biāo)注2 定義2中曲線(xiàn)r(s)的切向量α，主法向量β，副法向量γ都不是常向量.

2 主要結(jié)論

設(shè)非零常向量V是k-型偽零螺線(xiàn)r(s)的軸.那么V可以表示為[10]

V=v1α(s)+v2β(s)+v3γ(s) .

(2)

這里vi=vi(s)(i=1，2，3)是弧長(zhǎng)參數(shù)s的光滑函數(shù).顯然

v1=〈α，V〉，v2=〈γ，V〉，v3=〈β，V〉.

在式(2)兩端關(guān)于參數(shù)s求導(dǎo)，整理可得

(3)

2.1 1-型偽零螺線(xiàn)

證明 根據(jù)1-型偽零螺線(xiàn)的定義，有

〈α，V〉=v1=C0(C0≠0).

(4)

在式(4)兩端關(guān)于參數(shù)s求兩次導(dǎo)，可知r(s)的曲率函數(shù)κ(s)是任意函數(shù).

反之，對(duì)于任意偽零曲線(xiàn)r(s)，由式(3)和式(4)，總可以找到常向量

由定理1及引理3，不難得到下面的推論，具體證明略.

推論1 設(shè)r(s)是1-型偽零螺線(xiàn)，那么r(s)的軸V是類(lèi)空軸，且V可以由r(s)的結(jié)構(gòu)函數(shù)表示為

V=cα+(g′)-1(c1-cg)β.

這里c1，c∈R且c≠0.

2.2 2-型偽零螺線(xiàn)

證明 根據(jù)2-型偽零螺線(xiàn)的定義，有

〈β，V〉=v3=C0(C0≠0).

將v3=C0代入式(3)中，可得曲率函數(shù)κ(s)≡0.此時(shí)由式(1)可知主法向量β為常向量，顯然矛盾.證畢.

2.3 3-型偽零螺線(xiàn)

κ″(s)=κ′(s)κ(s).

進(jìn)一步，曲率函數(shù)κ(s)有以下三種形式：

①κ(s)=-2(s+c1)-1；

②κ(s)=2atana(s+c2)；

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

證明 根據(jù)3-型偽零螺線(xiàn)的定義，有

〈γ，V〉=v2=C0(C0≠0).

(5)

在式(5)兩端關(guān)于參數(shù)s求導(dǎo)，可得

〈α，V〉+κ〈γ，V〉=0.

(6)

將v2=C0及式(6)代入式(3)中，可得

κ″(s)=κ′(s)κ(s).

(7)

通過(guò)降階法解方程(7)，得到曲率κ(s)的具體表達(dá)式，如定理3中的①，②，③.

反之，當(dāng)曲率κ(s)滿(mǎn)足定理3中的①，②，③時(shí)，可以找到相應(yīng)的常向量V如下：

①當(dāng)κ(s)=-2(s+c1)-1時(shí)，有

②當(dāng)κ(s)=2atana(s+c2)時(shí)，有

V=-2catana(s+c2)α+cβ-

2ca2sec2a(s+c2)γ;

顯然三種情形均滿(mǎn)足〈γ,V〉=c≠0.證畢.

由定理3中的三種情形，有下面的推論.

推論2 設(shè)r(s)是3-型偽零螺線(xiàn)，那么

①當(dāng)κ(s)=-2(s+c1)-1時(shí)，軸V為類(lèi)光軸；

②當(dāng)κ(s)=2atana(s+c2)時(shí)，軸V為類(lèi)時(shí)軸；

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

由定理3、引理2、引理3，通過(guò)適當(dāng)?shù)膮?shù)變換，可以得到如下結(jié)論，具體證明略.

定理4設(shè)r(s)是3-型偽零螺線(xiàn)，那么r(s)的結(jié)構(gòu)函數(shù)為

①當(dāng)κ(s)=-2(s+c1)-1時(shí)，有

②當(dāng)κ(s)=2atana(s+c2)時(shí)，有

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

由定理4，引理2，有下面的推論.

推論3 設(shè)r(s)是3-型偽零螺線(xiàn)，那么

①當(dāng)κ(s)=-2(s+c1)-1時(shí)，

r(s)=(ln|s|，-ln|s|，s)；

②當(dāng)κ(s)=2atana(s+c2)時(shí)，

這里a>0且ci(i=1，2，3)∈R.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文在三維Minkowski空間中定義了k-型偽零螺線(xiàn)，并找到了各類(lèi)偽零螺線(xiàn)的軸.通過(guò)定義的結(jié)構(gòu)函數(shù)給出了各種螺線(xiàn)的具體表達(dá)式.這為今后在不定度量空間中開(kāi)展相關(guān)曲線(xiàn)的研究提供了一種新的思路.