走近等角螺線

楊元韡

謎曰：小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳.擺下八卦陣，只等飛來將.

聰明的你肯定可以猜出講的是蜘蛛，后兩句講的是蜘蛛織網(wǎng)捕蟲的生動(dòng)情形.讓我們再來好好觀察一下蜘蛛的杰作：從外圈走向中心的那根螺旋線，越接近中心，每周間的距離越密，直到中斷.只有中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去.小精靈所畫出的曲線，就是幾何學(xué)中的等角螺線.

自然界還有很多蘊(yùn)藏著等角螺線的事物，最典型的是鸚鵡螺（如圖2），它的貝殼的幾何順序，竟是標(biāo)準(zhǔn)的等角螺線.令人驚奇的是，貝殼新增生出來的每一部位，都嚴(yán)格按照原先已有的等角螺旋結(jié)構(gòu)增生，從不會(huì)改變.同樣，如果你仔細(xì)觀察雛菊花蕊和向日葵籽的排列，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們在花盤上也排列出左右兩組相互交織的等角螺線.

等角螺線在自然界已經(jīng)神秘地存在了上萬年，但真正引起人們的研究興趣還是從1638年笛卡兒（R.Descartes，1596-1650）描述了等角螺線并給出了螺旋線的解析式開始的.此后的很多數(shù)學(xué)家對它進(jìn)行了深人的研究，研究成果最為豐碩的是數(shù)學(xué)家伯努利（J.Bernouli，1654-1705）.他對等角螺線在作某些變換后的曲線仍然是不變的性質(zhì)非常驚嘆，以至于在遺囑中要求后人將等角螺線刻在自己的墓碑上，并賦以頌詞：“縱然變化，依舊故我.”數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的癡迷可見一斑.

小伙伴們不禁要問，等角螺線究竟是怎樣的螺線呢？有什么特征呢？

首先，我們給它下一個(gè)定義.若一條曲線在每個(gè)點(diǎn)P處的切向量PT都與某定點(diǎn)O到此點(diǎn)P所成的向量OP夾角為一定角a，且定角a不是直角，我們把這樣的曲線稱為一條等角螺線（如圖3），其中0稱為它的極點(diǎn).等角螺線的極坐標(biāo)方程為r=aeθcota，其中θ稱為輻角，r稱為向徑，a，a為常數(shù)，且a>0（該方程推導(dǎo)過程較復(fù)雜，我們在進(jìn)人大學(xué)后有可能會(huì)學(xué)習(xí)到）.由于此方程的推導(dǎo)過程中用到了自然對數(shù)，所以等角螺線也被稱為對數(shù)螺線.

有了等角螺線的極坐標(biāo)方程后，就可以很容易解釋開頭所提到的蜘蛛網(wǎng)所體現(xiàn)出的螺線的特征.等角螺線是一-條無盡的曲線，向內(nèi)側(cè)方向，它永遠(yuǎn)向著極點(diǎn)繞，越繞越靠近極點(diǎn)，但又永遠(yuǎn)達(dá)不到極點(diǎn)，向外側(cè)方向，它向外無限延伸.

等角螺線還有著很有意思的數(shù)列性質(zhì).若輻角θ1，θ2，…，θn，…成等差數(shù)列，根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)，對應(yīng)的向徑r1，r2，…，rn，…成等比數(shù)列換句話說，若設(shè)Pn的極坐標(biāo)為（aeθncota，n，），則|OP1|，|OP2|，…，|OPn|，…成等比數(shù)列.如果又注意到

∠P1OP2，∠P2OP3，…，∠PnOPn+1，…這些角都相等，我們有△P1OP2，△P2OP3，…，△PnOPn+1，…都是相似的三角形，從而可以發(fā)現(xiàn)|P1P2|，|P2P3|，…，|PnPn+1|，…也成等比數(shù)列（如圖4）.

等角螺線還有一個(gè)有意思的幾何性質(zhì).對于一般的幾何圖形，若我們選定某個(gè)點(diǎn)為伸縮中心將圖形放大或者縮小，則可得到一個(gè)與原圖相似的圖形.在等角螺線中，若選極點(diǎn)為伸縮中心，則不論放大多少倍，或者縮小多少倍，所得的圖形是與原等角螺線全等！

美妙的等角螺線除了上面兩個(gè)有趣的性質(zhì)之外，還有很多其他有趣的性質(zhì)，小讀者們可以參考《數(shù)學(xué)文化素質(zhì)教育資源庫·數(shù)學(xué)之美》中有關(guān)資料來探究.正是由于它有很多特殊的性質(zhì)，在很多方面都有著極其重要的應(yīng)用.例如，在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面做成等角螺線的形狀，抽水就很均勻;在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成等角螺線的形狀，它就會(huì)按特定的角度來切割草料，又快又好.

自然界中除了等角螺線之外，還有很多有意思的螺線，比如阿基米德螺線、費(fèi)馬螺線等等，這些螺線也同樣有著迷人的地方值得你去欣賞、探究、發(fā)現(xiàn)！